Теорема синусов, косинусов. Площадь треугольника, параллелограмма

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC=12$, $\\angle C=30^\\circ$, $\\angle B=45^\\circ$. Найдите сторону $AB$.<br><br>[[image-553]][[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6\\sqrt{6}$","$6\\sqrt{3}$","$6\\sqrt{2}$","$4\\sqrt{6}$"],"answer":[2]},"image-553":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/1-3.svg","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь формулой теоремы синусов:<br /> $\\frac{BC}{\\sin\\angle A}=\\frac{AC}{\\sin\\angle B}=\\frac{AB}{\\sin\\angle C}$.","Из теоремы синусов: <br />$\\dfrac{AC}{\\sin45^\\circ}=\\dfrac{AB}{\\sin30^\\circ}$.<br />Тогда $AB= \\dfrac{AC \\cdot \\sin30^\\circ}{\\sin45^\\circ}=12\\cdot\\dfrac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt2}{2}}=\\dfrac{6}{\\frac{\\sqrt2}{2}}=\\dfrac{12}{\\sqrt{2}} =6\\sqrt{2}$. <br /><br />Ответ: $6\\sqrt2$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AB=10$, угол $\\angle C=30^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности около этого треугольника.<br><br>[[image-235]][[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$5$","$10$","$\\dfrac{10}{\\sqrt3}$","$\\dfrac{20}{\\sqrt3}$"],"answer":[1]},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/1-3.svg","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Используйте связь теоремы синусов и радиуса описанной окружности:<br /><br /> $\\frac{BC}{\\sin\\angle A}=\\frac{AC}{\\sin\\angle B}=\\frac{AB}{\\sin\\angle C} = 2R$.<br />","Для удобства выразите сторону $AB$ и составьте уравнение:<br />$AB=2R\\sin\\angle C$.<br />Подставьте исходные значения:<br />$10=2R\\sin30^\\circ$<br />$2R\\cdot\\frac{1}{2}=10$. <br />Значит, $R=10$. <br /><br />Ответ: $10$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известны $AB=9$, $AC=7$ и угол $\\angle A=60^\\circ$. Найдите сторону $BC$.<br><br>[[image-306]][[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{67}$","$\\sqrt{79}$","$8$","$\\sqrt{97}$"],"answer":[0]},"image-306":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/1-3.svg","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь теоремой косинусов:<br />$BC^2=AB^2+AC^2-2\\cdot AB\\cdot AC\\cos\\angle A$.","Подставьте:<br />$BC^2=9^2+7^2-2\\cdot9 \\cdot7 \\cos60^\\circ=81+49-126\\cdot\\frac12=130-63=67$. <br />Значит, $BC=\\sqrt{67}$. <br /><br />Ответ: $\\sqrt{67}$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=7$, $AC=9$, $BC=10$. Найдите $\\cos\\angle A$.<br><br>[[image-362]][[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{5}{21}$","$\\dfrac{3}{7}$","$\\dfrac{1}{3}$","$\\dfrac{7}{15}$"],"answer":[0]},"image-362":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/1-3.svg","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь теоремой косинусов для угла $A$:<br /> $BC^2=AB^2+AC^2-2\\cdot AB\\cdot AC\\cos\\angle A$.","Выразите из формулы косинус угла $A$:<br /><br />$\\cos\\angle A=\\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\\cdot AB\\cdot AC}$.<br />Подставьте исходные значения:<br /> <br />$\\cos\\angle A=\\dfrac{7^2+9^2-10^2}{2\\cdot7\\cdot9}=\\dfrac{49+81-100}{126}=\\dfrac{30}{126}=\\dfrac{5}{21}$. <br /><br />Ответ: $\\dfrac{5}{21}$."]},{"content":"Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=8$, $AC=11$, а угол между ними $\\angle A=30^\\circ$.<br><br>[[image-423]][[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$22$","$44$","$11$","$88$"],"answer":[0]},"image-423":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/2-1.svg","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь формулой площади треугольника: <br />$S=\\frac12\\cdot AB\\cdot AC\\cdot\\sin\\angle A$.","Подставьте данные из задачи:<br />$S=\\frac12\\cdot8\\cdot11\\cdot\\sin30^\\circ=44\\cdot\\frac12=22$. <br /><br />Ответ: $22$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ стороны $AB=10$ и $AC=6$, а его площадь $S=15$. Найдите угол $\\angle A$.<br><br>[[image-489]][[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$"],"answer":[0]},"image-489":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/2026-03-20_10-02-25-optimized.png","width":"300"}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь формулой площади треугольника: <br />$S=\\frac12\\cdot AB\\cdot AC\\cdot\\sin\\angle A$.","Подставьте значения:<br />$15=\\frac12\\cdot10\\cdot6\\cdot\\sin\\angle A$. <br /><br />Тогда $\\sin\\angle A=\\dfrac{15}{30}=\\dfrac12$. <br />Следовательно, $\\angle A = 30^\\circ$. <br /><br />Ответ: $30^\\circ$."]},{"content":"Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны $9$ и $7$, а угол между ними $60^\\circ$.<br><br>[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{63\\sqrt{3}}{2}$","$\\dfrac{63}{2}$","$63\\sqrt{3}$","$\\dfrac{9\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь формулой площади параллелограмма: <br />$S=ab\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами.","Подставьте исходные значения:<br />$S=9\\cdot7\\cdot\\sin60^\\circ=63\\cdot\\dfrac{\\sqrt3}{2}=\\dfrac{63\\sqrt3}{2}$. <br /><br />Ответ: $\\dfrac{63\\sqrt3}{2}$."]},{"content":"Площадь параллелограмма равна $30$, его стороны равны $12$ и $5$. Найдите угол между этими сторонами.<br><br>[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$120^\\circ$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Если линзу переместить вдоль главной оптической оси так, что расстояние от точечного источника света до линзы станет равным $3,5F$, то изображение источника будет находиться справа от линзы на расстоянии $b > a$ от неё.","hints":["Воспользуйтесь формулой площади параллелограмма:<br />$S=ab\\sin\\alpha$.","Подставьте значения:<br /><br />$30=12\\cdot5\\cdot\\sin\\alpha$. <br /><br />Тогда $\\sin \\alpha=\\dfrac{30}{60}$.<br />Следовательно, $\\angle\\alpha = 30^\\circ$. <br /><br />Ответ: $30^\\circ$."]}],"mix":1}