Единичная полуокружность. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Ранее мы рассматривали тригонометрические функции на основе прямоугольного треугольника только для острых углов. Однако в математике часто встречаются углы, которые больше $90^\circ$, и для их описания прежнего подхода недостаточно.

Мы уже знакомы с координатной системой, умеем находить координаты точек и длины отрезков, выводили уравнение окружности. Эти темы напрямую связаны с расширением понятия угла и с определением тригонометрических функций для любых значений.

В этом уроке мы разберем, как синус, косинус и тангенс определяются через координаты на плоскости, и как с помощью этого подхода изучить новые формулы — формулы приведения.

Единичная полуокружность. Определение синуса, косинуса, тангенса

Для того чтобы увидеть углы более $90^\circ$, рассмотрим систему координат. Построим полуокружность радиуса $1$ с центром в начале координат. Эта полуокружность лежит в верхней полуплоскости и называется единичной, потому что ее радиус равен $1$.

На этой полуокружности можно откладывать углы от $0^\circ$ до $180^\circ$, начиная от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки. Каждый угол задает точку на полуокружности.

Если соединить эти точки с началом координат, то получатся углы. Причем, $\angle \alpha < 90^\circ$, $\angle \beta > 90^\circ$.

Из рисунка видно: $OA$ и $OA_1$ — это радиусы окружности, и их длина равна $1$.

Чтобы ввести понятия синуса и косинуса через систему координат, построим прямоугольный треугольник.

Для этого из точки $A$ опустим перпендикуляр на ось $Ox$ и обозначим основание перпендикуляра как точку $B$. Тогда треугольник $OAB$ — прямоугольный, где $OA = 1$, $OB = x$, $AB = y$.

По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

• синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  $\sin \alpha = \dfrac{AB}{OA} = \dfrac{y}{1} = y$;
• косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  $\cos \alpha = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{x}{1} = x$.

Таким образом, синус угла $\alpha$ равен $y$-координате точки $A$, а косинус — ее $x$-координате.

Из более раннего курса нам известно, что тангенс угла — это отношение синуса угла к его косинусу:

$$\tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$$

Следовательно, тангенс тупого угла будет иметь, так же как и косинус, отрицательное значение.

{"questions":[{"content":"Какая из следующих формул правильно определяет синус угла на единичной полуокружности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin \\alpha = x$","$\\sin \\alpha = \\dfrac{x}{y}$","$\\sin \\alpha = y$","$\\sin \\alpha = \\dfrac{1}{y}$"],"answer":[2]}},"hints":["Точка на единичной полуокружности имеет координаты $(x; y)$.","Синус определяется как вторая координата точки."]}]}

Наибольшие и наименьшие значения синуса и косинуса

На единичной полуокружности каждая точка $A(x; y)$ соответствует некоторому углу $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$. Поскольку радиус окружности равен $OA = 1$, для всех точек на дуге выполняется равенство:

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Это означает, что значения синуса и косинуса не могут быть больше $1$ или меньше $(-1)$.

Рассмотрим характерные случаи:

• $\sin \alpha = 0$, когда $y = 0$, то есть точка $A$ лежит на оси $Ox$. Это происходит при $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$.
• $\sin \alpha = 1$, когда $y = 1$. Это вершина полуокружности, то есть $\alpha = 90^\circ$.
• $\cos \alpha = 0$, когда $x = 0$, то есть точка $A$ лежит на оси $Oy$. Это также происходит при $\alpha = 90^\circ$.
• $\cos \alpha = 1$, когда $x = 1$, то есть точка $A$ совпадает с $(1; 0)$. Это соответствует углу $\alpha = 0^\circ$.
• $\cos \alpha = -1$, когда $x = -1$, то есть точка $A$ совпадает с $(-1; 0)$. Это соответствует углу $\alpha = 180^\circ$.

Таким образом, максимальные и минимальные значения синуса и косинуса достигаются в особых точках на окружности, и это напрямую связано с координатами этих точек.

Причем, если $\sin \alpha = 1$, то $\cos \alpha = 0$ и наоборот.

Тангенс и котангенс — это дробные выражения: $\tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Поэтому какая-либо из функций не существует, если знаменатель равен нулю:

• $\tg \alpha$ не существует при $\cos \alpha = 0$ (то есть при $\alpha = 90^\circ$);
• $\ctg \alpha$ не существует при $\sin \alpha = 0$ (то есть при $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$).

Тангенс равен нулю, если числитель равен нулю:

• $\tg \alpha = 0$, когда $\sin \alpha = 0$ (при $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$);

Котангенс равен нулю, если $x = 0$:

• $\ctg \alpha = 0$, когда $\cos \alpha = 0$ (при $\alpha = 90^\circ$).

{"questions":[{"content":"При каком значении угла выполняется равенство $\\cos \\alpha = -1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\alpha = 0^\\circ$","$\\alpha = 90^\\circ$","$\\alpha = 180^\\circ$","$\\alpha = 270^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните, что ось $Ox$ — это ось косинуса.","Координата $(-1)$ находится слева на оси $Ox$, что соответствует углу $180^\\circ$."]}]}

Основное тригонометрическое тождество

Как было замечено выше, если на единичной полуокружности взять точку $A(x; y)$, то радиус окружности $OA = 1$ и выполняется равенство:

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Ранее мы установили, что $x = \cos \alpha$, а $y = \sin \alpha$. Подставим эти выражения в равенство и получим:

$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1.$$

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством. Оно выполняется для любого значения угла $\alpha$, при котором определены синус и косинус.

{"questions":[{"content":"Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin \\alpha + \\cos \\alpha = 1$","$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$","$\\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 1$","$\\cos^2 \\alpha -\\sin^2 \\alpha = 1$"],"answer":[1]}},"hints":["На единичной полуокружности выполняется равенство $x^2 + y^2 = 1$, так как радиус равен 1.","Вспомните, что $\\sin \\alpha = y$, а $\\cos \\alpha = x$."]}]}

Формулы приведения

Иногда угол в выражении синуса или косинуса записан не просто как $\alpha$, а как $(180^\circ -\alpha)$ или $(90^\circ -\alpha)$. Чтобы упростить такие выражения, используют формулы приведения.

Формулы приведения помогают преобразовывать (привести) тупые углы в острые, одну функцию в другую. Именно поэтому они носят название — «приведения».

Например, вам требуется вычислить синус $150^\circ$. Для этого нужно представить $150^\circ$ в виде разности $(180^\circ -30^\circ)$.

Затем, с помощью формулы привести угол к виду:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ -30^\circ) = \sin 30^\circ = 0,5$.

Тем самым понимая, что $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0,5$.

Данные формулы доказываются в более позднем курсе алгебры, поэтому их преобразования нужно просто запомнить.

Рассмотрим два основных случая, чтобы увидеть как работают формулы приведения:

1. Угол $(180^\circ -\alpha)$

Пусть $\angle \alpha < 90^\circ$. Тогда угол $(180^\circ -\alpha)$ — тупой. Если отметить оба угла на единичной окружности, то соответствующие точки окажутся симметричными относительно оси $Oy$.

• Координата $y$ у этих точек одинакова, поэтому
  $\sin(180^\circ -\alpha) = \sin \alpha$;
• Координата $x$ меняет знак, поэтому
  $\cos(180^\circ -\alpha) = -\cos \alpha$.

2. Угол $(90^\circ -\alpha)$

Формулы приведения также позволяют свести одну функцию к другой или изменить знак в зависимости от четверти.

Угол $(90^\circ -\alpha)$ тоже острый и лежит в первой четверти. Если отметить углы $\alpha$ и $(90^\circ -\alpha)$ на окружности (попробуйте это сделать сами), видно, что координаты соответствующих точек как будто меняются местами.

• Значение синуса становится равным косинусу:
  $\sin(90^\circ -\alpha) = \cos \alpha$;
• Значение косинуса становится равным синусу:
  $\cos(90^\circ -\alpha) = \sin \alpha$.

$\sin(90^\circ -\alpha) = \cos \alpha, \cos(90^\circ -\alpha) = \sin \alpha$,
при $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ,$
$\sin(180^\circ -\alpha) = \sin \alpha, \cos(180^\circ -\alpha) = -\cos \alpha,$
при $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ.$

{"questions":[{"content":"Как упростить выражение $\\cos(180^\\circ -\\alpha)$ с помощью формулы приведения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cos \\alpha$","$-\\cos \\alpha$","$\\sin \\alpha$","$-\\sin \\alpha$"],"answer":[1]}},"hints":["При значении угла $(180^\\circ — \\alpha)$ точка переходит во вторую четверть.","Во второй четверти косинус отрицательный, а функция остается той же."]}]}

Это интересно

Тригонометрические функции возникли ещё в Древней Греции. Первыми таблицы синусов составляли астрономы: им нужно было рассчитывать положения звезд и планет.

Позже тригонометрия стала важной частью навигации — моряки по звездам определяли свое местоположение и прокладывали курс.

Формулы, которые мы сейчас изучаем на координатной окружности, появились в таком виде благодаря развитию аналитической геометрии в XVII веке. Введение системы координат позволило описывать углы, точки и расстояния при помощи чисел и функций.

Именно тогда стало удобно определять синус и косинус как координаты точки на окружности.

Сегодня тригонометрические функции применяются в самых разных областях:

• в инженерии — при расчетах колебаний, нагрузок, конструкций;
• в программировании — для построения анимаций, моделирования движения и обработки изображений;
• в медицине — электрические волны, производимые при работе сердца, отображаются на графике в виде периодических функций;
• в звуковой технике — синусоида лежит в основе звуковой волны;
• в архитектуре и дизайне — для создания изогнутых форм и расчета углов между элементами конструкции.

А главное — вся система тригонометрии строится на простом геометрическом объекте: единичной окружности. Именно она связала вместе углы, функции, уравнения и реальные задачи.

Часто задаваемые вопросы