Решение треугольников. Измерительные работы

На предыдущих уроках мы познакомились с тригонометрическими функциями, их формулами и теоремами, связывающими стороны и углы треугольника. Сегодня рассмотрим, как применять эти знания при решении треугольников и измерительных работах на местности.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов, то есть трех сторон и трех углов, по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим этот треугольник.

В этой теме мы не будем снова выводить формулы. Наша задача — научиться понимать, какую теорему удобно взять в каждом из случаев и в каком порядке выполнять вычисления.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Как становится понятно, решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных элементов с помощью каких-либо известных. И первый вариант, когда нам известны две стороны и угол между ними (как всегда опираемся на изученные ранее теоремы).

При таких изначальных данных сначала удобно найти третью сторону, используя теорему косинусов. После этого можно найти один из оставшихся углов, а затем и последний угол.

Для удобства и краткости будем использовать привычные обозначения в треугольнике $ABC$: стороне $a$ противолежит угол $A$, стороне $b$ — угол $B$, стороне $c$ — угол $C$.

Чтобы объяснение выглядело более наглядно, рассмотрим задачу.

Решение

Скрыть

Сделаем чертеж и запишем дано.

Дано: $c=5$, $a=8$, $\angle B=60^\circ$.

Найти: $b$, $\angle C$, $\angle A$.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $b$:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$.

Подставим значения:

$b^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^\circ$.

Вычислим:

$b^2=64+25-80\cdot \dfrac12=49$,

$b=7$.

Теперь выразим косинус угла $C$ из формулы $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ и вычислим его:

$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Подставим значения:

$\cos C=\dfrac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\dfrac{49+64-25}{112}=\dfrac{88}{112}=\dfrac{11}{14}$.

Заметьте, что значение косинуса получилось не табличное. В этом случае нужно обратиться к таблице Брадиса или использовать интернет.

Следовательно,

$\angle C \approx 38{,}2^\circ$.

Тогда

$\angle A=180^\circ-\angle B -\angle C$,

$\angle A=180^\circ-60^\circ-38{,}2^\circ=81{,}8^\circ$.

Ответ: $a=7$, $\angle C \approx 38{,}2^\circ$, $\angle A \approx 81{,}8^\circ$.

{"questions":[{"content":"Что находят первым, если известны две стороны и угол между ними?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Другой угол","Третью сторону","Радиус вписанной окружности","Сумму двух оставшихся углов"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Если известны две стороны треугольника и угол между ними, первым шагом удобно найти третью сторону по теореме косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma$, где $\\gamma$ — известный угол между сторонами $a$ и $b$.","hints":["Сначала применяют теорему косинусов.","Она помогает найти сторону, которая лежит напротив известного угла."]}],"mix":1}

Решение треугольника по стороне и двум углам

Здесь удобнее начать не со сторон, а с углов. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Значит, сначала легко найти третий угол, а затем уже по теореме синусов вычислить две неизвестные стороны.

В таких задачах особенно важно не перепутать, какая сторона лежит напротив какого угла, поэтому всегда делаем чертеж.

Решение

Скрыть

Сделаем чертеж и запишем дано.

Дано: $a=8$, $\angle B=30^\circ$, $\angle C=60^\circ$.

Найти: $\angle A$, $b$, $c$.

Найдем третий угол по теореме о сумме углов треугольника:

$ \angle A=180^\circ-\angle B-\angle C $,

$ \angle A=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ $.

Используя теорему синусов, вычислим сторону $b$:

$ \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.

Выразим сторону $b$ из формулы и подставим значения:

$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$,

$b=\dfrac{8\cdot \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ}=\dfrac{8\cdot \frac{1}{2}}{1}=4$,

Теперь вычислим сторону $c$, используя туже теорему синусов:

$ \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$.

Выразим $c$ из формулы:

$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}$.

Подставим значения:

$c=\dfrac{8\cdot \sin 60^\circ}{1}=8\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$,

Ответ: $\angle A=90^\circ$, $b=4$ см, $c=4\sqrt{3}$.

{"questions":[{"content":"Какой шаг выполняют первым, если известны сторона и два угла?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Найти третий угол по сумме углов треугольника.","Применить теорему косинусов, чтобы найти вторую сторону.","Найти площадь треугольника по стороне и двум углам.","Построить высоту к известной стороне."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните какую теорему можно использовать, если в треугольнике известны два угла.","После этого удобно применить теорему синусов."]}]}

Решение треугольника по трем сторонам

Если известны все три стороны, то стороны искать уже не нужно. Значит, задача состоит в нахождении углов.

После нахождения одного угла по теореме косинусов, можно найти второй также по теореме косинусов или теореме синусов. Здесь уже можно выбрать более удобный для себя вариант. А третий угол уже — по сумме углов треугольника.

Итак, мы рассмотрели основные случаи решения треугольников. В каждом из них по известным элементам треугольника можно вычислить остальные его стороны и углы. Главное в таких задачах понять, какие элементы даны, и выбрать удобный порядок вычислений.

Теперь рассмотрим, как эти способы используются при измерительных работах, когда нужную длину или высоту нельзя измерить непосредственно.

Измерительные работы

Во многих случаях нужную величину невозможно измерить напрямую. Так например, высоту здания, ширину реки или расстояние до острова. Зато можно измерить доступный отрезок на земле и углы, под которыми виден нужный объект.

После этого реальная ситуация переводится на язык геометрии, составляется треугольник, и задача решается уже знакомыми способами.

Рассмотрим, как определить высоту маяка, который находится на некотором расстоянии от берега, учитывая, что расстояние на берегу, а также углы возможно измерить. Для этого существуют измерительные приборы.

Например, при помощи дальномера можно определить расстояние на местности, а при помощи астролябии (угломера) — величину угла.

Задача

На берегу выбрали две точки наблюдения $B$ и $C$, лежащие на одной прямой с основанием маяка.

Точка $B$ расположена ближе к маяку, чем точка $C$, причем $BC=30$ $м$.

Угол подъема к вершине маяка из точки $B$ равен $60^\circ$, а из точки $C$ равен $30^\circ$. Определить высоту маяка.

Решение

Скрыть

Сделаем чертеж, соответственно условию задачи. Назовем точкой $H$ основание маяка, а точкой $A$ — его верхушку.

Пусть высота маяка равна $h$, а $BH = x$. Тогда $CH=x + 30$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ запишем тангенс угла $B$:

$\tg 60^\circ=\dfrac{h}{x}$,

$\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}$.

Выразим высоту $h$:

$h=x\sqrt{3}$.

Теперь запишем тангенс угла $C$ для треугольника $ACH$:

$\tg 30^\circ=\dfrac{h}{x+30}$,

$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{h}{x+30}$.

Выразим $h$:

$h=\dfrac{x+30}{\sqrt{3}}$.

Приравниваем выражения для $h$:

$x\sqrt{3}=\dfrac{x+30}{\sqrt{3}}$.

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$3x=x+30$,

$2x=30$,

$x=15$.

Таким образом $h=15\sqrt{3}$.

Что приближенно равно $h \approx 26$ м.

Ответ: высота маяка $ \approx 26$ $м$.

Измерение расстояния до недоступной точки

Мы рассмотрели, как можно определить высоту предмета. Покажем теперь, как с помощью тех же приемов находят расстояние до недоступной точки.

Задача

Спасатели заметили на воде буй $C$ и решили определить расстояние до него, чтобы оценить, сколько времени потребуется, чтобы добраться до буя на лодке.

Для этого на берегу выбрали точки $A$ и $B$, причем $AB=60$ м, и измерили углы между береговой линией и направлениями на буй: $\angle A=45^\circ$, $\angle B=30^\circ$. Найти расстояние от точки $A$ до буя.

Решение

Скрыть

Выполним чертеж.

Сначала найдем третий угол треугольника $ABC$:

$ C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ $.

Теперь применим теорему синусов. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, значит,

$ \frac{AC}{\sin 30^\circ}=\frac{AB}{\sin 105^\circ} $.

Отсюда

$ AC=\frac{60\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} $,

$ AC=\frac{60\cdot \frac{1}{2}}{\sin 105^\circ}=\frac{30}{\sin 105^\circ} $.

Так как

$ \sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $,

то

$ AC=\frac{120}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=30(\sqrt{6}-\sqrt{2}) $.

Приближенно

$ AC\approx 31{,}1 $ $м$.

Ответ: расстояние от точки $A$ до буя примерно равно $31{,}1$ $м$.

Итак, решение треугольников имеет не только теоретическое, но и практическое значение. Оно позволяет по известным расстояниям и углам находить такие величины, которые невозможно измерить напрямую. Именно поэтому эта тема важна не только в геометрии, но и в измерительных работах.

Это интересно

Треугольные измерения долгое время были главным инструментом картографов и геодезистов. С их помощью составляли карты, измеряли расстояния между башнями, холмами, берегами рек и определяли высоты объектов еще тогда, когда не было ни лазерных дальномеров, ни спутниковой навигации. Такой способ измерений называется триангуляцией.

Решение треугольников важно не только для картографии. В архитектуре и строительстве с его помощью рассчитывают наклон крыши, длину стропил, угол подъема лестницы, форму опорных конструкций мостов и других сооружений. Во многих случаях именно треугольник помогает выполнить точный расчет.

Измерительные работы особенно нужны там, где прямое измерение неудобно, трудно или опасно. Так находят высоту скал, ширину рек, расстояние до удаленных объектов и другие величины, которые невозможно определить обычной рулеткой.

Интересно, что похожие идеи применяются и в современной технике. В навигации, робототехнике и системах определения положения объект находят не прямым измерением, а по расстояниям и углам до известных точек.

Если используются углы, это связано с триангуляцией. Если используются главным образом расстояния, такой способ близок к трилатерации. Именно на этих идеях основаны и современные спутниковые системы навигации.

Часто задаваемые вопросы