Теорема синусов, теорема косинусов, формулы площади с использованием синуса

В этом уроке разберем сразу несколько очень полезных формул. Все они помогают связывать стороны, углы и площади фигур. Особенно это удобно тогда, когда высоту не видно сразу, а найти какие-то элементы нужно уже сейчас.

Теорема косинусов

Теорема косинусов — это почти теорема Пифагора, только не для прямоугольного треугольника, а для любого. Если мы знаем две стороны треугольника и угол между ними, то можем найти третью сторону.

Для удобства и простого понимания формул в математике используют такие обозначения:

в треугольнике $ABC$ сторона $a$ лежит напротив угла $A$, сторона $b$ — напротив угла $B$, сторона $c$ — напротив угла $C$.

Теорема косинусов
$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot cos \angle C$

Если, например, $\angle C = 90^\circ$, а $\cos 90^\circ = 0$, то получаем знакомую формулу:

$$c^2 = a^2 + b^2.$$

То есть теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов.

При помощи этой теоремы возможно вычислить любую сторону, если известны какие-либо две стороны и угол между ними. Следовательно,

$a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos \angle A$,

$b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos \angle B$.

Обратите внимание, если требуется вычислить сторону $a$, то ставится $ \cos \angle A$. Так же и с другими элементами.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какая из формул задает теорему косинусов?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$b^2 = a^2 + c^2 -2ac \\cdot \\cos \\angle B$","$a^2 = b^2 + c^2 -2bc \\cdot \\cos \\angle B$","$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \\cdot \\cos \\angle B$","$b^2 = a^2  -c^2 + 2ac \\cdot \\cos \\angle B$"],"answer":[0]}},"hints":["Обратите внимание, какая сторона вычисляется, и косинус какого угла указан. <br />Должно быть соответствие.","Вспомните теорему Пифагора и знак, который стоит между квадратами катетов."]}]}

Теорема синусов

Теорема синусов также связывает сторону и противолежащий ей угол. Только теперь это «парная» формула. То есть отношения пар: «сторона — противоположный угол» равны.

Теорема синусов
$\dfrac{a}{\sin \angle A} = \dfrac{b}{\sin \angle B} = \dfrac{c}{\sin \angle C} = 2R$,
где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Как видно, в формуле также присутствует радиус описанной окружности. Это довольно важная деталь, потому что теорема синусов связывает не только стороны и углы треугольника, но и сам треугольник с описанной около него окружностью.

Обычно на это не всегда обращают внимание, но такая запись бывает очень полезна: с ее помощью можно находить радиус описанной окружности или, наоборот, использовать уже известный радиус в решении.

Решение

Скрыть

Сделаем чертеж.

Выберем нужную нам пару из теоремы синусов, которая удовлетворяет условию задачи и приравняем к радиусу:

$\dfrac{BC}{\sin \angle A} = 2R$.

Тогда $BC = 2R \cdot \sin \angle A$.

Подставим значения:

$BC = 2 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ$.

Вычислим:

$BC = 12 \cdot \dfrac{1}{2}$,

$BC = 6$.

Ответ: $BC = 6$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $a = 4$, $\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 45^\\circ$. Чему равна сторона $b$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4\\sqrt{2}$","$4\\sqrt{3}$","$4$","$ \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, чему равен $ \\sin 45^ \\circ$ и $ \\sin 30^ \\circ$.","По теореме синусов:<br /><br />$\\dfrac{a}{\\sin \\angle A} = \\dfrac{b}{\\sin \\angle B}$.<br /><br />Подставим данные:<br /><br />$\\dfrac{4}{\\sin 30^\\circ} = \\dfrac{b}{\\sin 45^\\circ}$.<br /><br />Отсюда<br /><br />$b = \\dfrac{4 \\cdot \\sin 45^\\circ}{\\sin 30^\\circ}$<br /><br />$b = \\dfrac{4 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\dfrac{1}{2}} = 4\\sqrt{2}$<br /><br />Ответ: $4\\sqrt{2}$."]}]}

Площадь треугольника с использованием синуса угла

Обычно площадь треугольника находят по формуле, которая вам уже известна:

$S = \dfrac{1}{2}ah$, где $h$ — высота.

Высоту не всегда удобно искать напрямую. Но, если известны две стороны и угол между ними, можно сразу использовать формулу площади треугольника, используя синус угла.

$$S = \dfrac{1}{2}ab \cdot \sin \angle C$$

Доказательство

Скрыть

Изобразим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и проведем из него высоту $CH$.

Запишем площадь треугольника привычной для нас формулой:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Рассмотрим на прямоугольный треугольник $BCH$. У него:

$\sin \angle B = \dfrac{CH}{BC}$.

Отсюда $CH = BC \cdot \sin \angle B$.

Подставим это в исходную формулу площади и получим:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $MNP$ стороны $MN$ и $MP$ равны $10$ и $7$ соответственно, а $ \\sin \\angle M = 0,7$. Чему равна площадь треугольника $MNP$? [[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/6-01-15.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$24, 5$","$49$","$4,9$","$2,45$"],"answer":[0]}},"hints":["Используйте формулу для нахождения площади:<br /><br />$S_{MNP} = \\dfrac{1}{2} \\cdot MN \\cdot MP \\cdot \\sin \\angle M$.","Подставьте данные из условия в формулу:<br /><br />$S_{MNP} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 7 \\cdot 0,7 = 24,5$."]}]}

Площадь параллелограмма через синус

Если мы достроим любой треугольник до параллелограмма, то увидим, что он состоит из двух равных треугольников $ABC$ и $BDC$:

Попробуйте доказать равенство треугольников самостоятельно.

А когда треугольники равны, то равны и их площади, значит, площадь параллелограмма будет равна удвоенной площади треугольника:

$S_{парал.} = (\dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A) \cdot 2 = AB \cdot AC \cdot \sin \angle A$.

Следовательно, для параллелограмма также можно использовать формулу площади, содержащую синус угла. С той лишь разницей, что в формуле площади параллелограмма будет отсутствовать $\dfrac{1}{2}$:

$S = ab \cdot \sin \angle A$, где $a$ и $b$ — соседние стороны параллелограмма, а $\angle A$ — угол между ними.

{"questions":[{"content":"В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны $10$ и $6$ соответственно, а $\\sin \\angle A = \\dfrac{3}{4}$. Чему равна площадь параллелограмма?[[image-1]][[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/2dz_15.svg","width":"300"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$45$","$22,5$","$90$","$30$"],"answer":[0]}},"hints":["Площадь параллелограмма можно найти по двум соседним сторонам и синусу угла между ними:<br /><br />$S = ab \\cdot \\sin \\angle A$.","Подставим данные в формулу:<br /><br />$S_{ABCD} = 10 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac{3}{4} = 45$."]}]}

Это интересно

Обычно кажется, что синусы и косинусы появились уже в школьных учебниках, но на самом деле история у них очень древняя.

Еще в Вавилоне, больше трех тысяч лет назад, люди работали с числами, связанными со сторонами прямоугольных треугольников.

Одну из таких находок сегодня знают как табличку Plimpton $322$ — ее иногда называют далеким предком тригонометрии. Это таблица с числами (примерно 1800 год до н. э.), которую часто связывают с прямоугольными треугольниками и тем, что мы сейчас называем «пифагоровыми тройками».

Примеры таких троек: $(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15)$ и множество других. В одном из прошлых уроков мы рассматривали египетский треугольник как одну из пифагоровых троек.

Позже греческий ученый Гиппарх составил первые таблицы для вычислений в треугольниках. Поэтому его нередко называют отцом тригонометрии.

А слово «синус» вообще появилось довольно необычно. Оно пришло в математику из-за цепочки переводов: индийский термин, связанный с дугой, через арабские тексты превратился в латинское слово sinus. Так название, появившееся много веков назад, дошло до наших учебников почти без изменений.

Интересно и то, что тригонометрия долгое время была нужна не школьникам, а астрономам.

С ее помощью люди пытались измерять расстояния до небесных тел, предсказывать затмения и лучше понимать устройство мира.

Но тригонометрия нужна не только для истории математики. В наше время она используется в строительстве, архитектуре, навигации, картографии, компьютерной графике и даже в разработке компьютерных игр. С ее помощью находят расстояния, углы, высоты и координаты объектов.

Получается, формулы, которые на уроке выглядят как просто еще одна тема по геометрии, на самом деле помогают решать вполне реальные задачи в современном мире.

Часто задаваемые вопросы