Карточки
Тесты
Зави
Теорема синусов, косинусов. Площадь треугольника, параллелограмма
Теорема синусов, теорема косинусов, формулы площади с использованием синуса
В этом уроке разберем сразу несколько очень полезных формул. Все они помогают связывать стороны, углы и площади фигур. Особенно это удобно тогда, когда высоту не видно сразу, а найти какие-то элементы нужно уже сейчас.
Теорема косинусов
Теорема косинусов — это почти теорема Пифагора, только не для прямоугольного треугольника, а для любого. Если мы знаем две стороны треугольника и угол между ними, то можем найти третью сторону.
Для удобства и простого понимания формул в математике используют такие обозначения:
в треугольнике $ABC$ сторона $a$ лежит напротив угла $A$, сторона $b$ — напротив угла $B$, сторона $c$ — напротив угла $C$.
Теорема косинусов
$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot cos \angle C$
Если, например, $\angle C = 90^\circ$, а $\cos 90^\circ = 0$, то получаем знакомую формулу:
$$c^2 = a^2 + b^2.$$
То есть теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов.
При помощи этой теоремы возможно вычислить любую сторону, если известны какие-либо две стороны и угол между ними. Следовательно,
$a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos \angle A$,
$b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos \angle B$.
Обратите внимание, если требуется вычислить сторону $a$, то ставится $ \cos \angle A$. Так же и с другими элементами.
Задача
В треугольнике две стороны равны $5$ и $8$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найти третью сторону.
Решение
Скрыть
Пусть $c$ — искомая нами сторона. Тогда, исходя из теоремы косинусов, имеем:
$c^2 = 5^2 + 8^2 -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$,
$c^2 = 25 + 64 -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2}$.
Выполним вычисления:
$c^2 = 25 + 64 -40$,
$c^2 = 49$,
$c = 7$.
Ответ: $7$.
Теорема синусов
Теорема синусов также связывает сторону и противолежащий ей угол. Только теперь это «парная» формула. То есть отношения пар: «сторона — противоположный угол» равны.
Теорема синусов
$\dfrac{a}{\sin \angle A} = \dfrac{b}{\sin \angle B} = \dfrac{c}{\sin \angle C} = 2R$,
где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Как видно, в формуле также присутствует радиус описанной окружности. Это довольно важная деталь, потому что теорема синусов связывает не только стороны и углы треугольника, но и сам треугольник с описанной около него окружностью.
На это не всегда обращают внимание, но такая запись бывает очень полезна: с ее помощью можно находить радиус описанной окружности или, наоборот, использовать уже известный радиус в решении.
Задача
В треугольнике $ABC$ радиус описанной окружности равен $6$, $\angle A = 30^\circ$. Найдите сторону $BC$.
Решение
Скрыть
Сделаем чертеж.
Выберем нужную нам пару из теоремы синусов, которая удовлетворяет условию задачи, и приравняем к радиусу:
$\dfrac{BC}{\sin \angle A} = 2R$.
Тогда $BC = 2R \cdot \sin \angle A$.
Подставим значения:
$BC = 2 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ$.
Вычислим:
$BC = 12 \cdot \dfrac{1}{2}$,
$BC = 6$.
Ответ: $BC = 6$.
Площадь треугольника с использованием синуса угла
Обычно площадь треугольника находят по формуле, которая вам уже известна:
$S = \dfrac{1}{2}ah$, где $h$ — высота.
Высоту не всегда удобно искать напрямую. Но, если известны две стороны и угол между ними, можно сразу использовать формулу площади треугольника с синусом угла.
$$S = \dfrac{1}{2}ab \cdot \sin \angle C$$
Доказательство
Скрыть
Изобразим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и проведем из него высоту $CH$.
Запишем площадь треугольника привычной для нас формулой:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. У него:
$\sin \angle B = \dfrac{CH}{BC}$.
Отсюда $CH = BC \cdot \sin \angle B$.
Подставим это в исходную формулу площади и получим:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B$.
Что и требовалось доказать.
Площадь параллелограмма через синус
Если мы достроим любой треугольник до параллелограмма, то увидим, что он состоит из двух равных треугольников $ABC$ и $BDC$:
Попробуйте доказать равенство треугольников самостоятельно.
А когда треугольники равны, то равны и их площади, значит, площадь параллелограмма будет равна удвоенной площади треугольника:
$S_{парал.} = (\dfrac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A) \cdot 2 = AB \cdot AC \cdot \sin \angle A$.
Следовательно, для параллелограмма также можно использовать формулу площади, содержащую синус угла. С той лишь разницей, что в формуле площади параллелограмма будет отсутствовать $\dfrac{1}{2}$:
$S = ab \cdot \sin \angle A$, где $a$ и $b$ — соседние стороны параллелограмма, а $\angle A$ — угол между ними.
Это интересно
Обычно кажется, что синусы и косинусы появились уже в школьных учебниках, но на самом деле история у них очень древняя.
Еще в Вавилоне, больше трех тысяч лет назад, люди работали с числами, связанными со сторонами прямоугольных треугольников.
Одну из таких находок сегодня знают как табличку Plimpton $322$ — ее иногда называют далеким предком тригонометрии. Это таблица с числами (примерно 1800 год до н. э.), которую часто связывают с прямоугольными треугольниками и тем, что мы сейчас называем «пифагоровыми тройками».
Примеры таких троек: $(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15)$ и множество других. В одном из прошлых уроков мы рассматривали египетский треугольник как одну из пифагоровых троек.
Позже греческий ученый Гиппарх составил первые таблицы для вычислений в треугольниках. Поэтому его нередко называют отцом тригонометрии.
А слово «синус» вообще появилось довольно необычно. Оно пришло в математику из-за цепочки переводов: индийский термин, связанный с дугой, через арабские тексты превратился в латинское слово sinus. Так название, появившееся много веков назад, дошло до наших учебников почти без изменений.
Интересно и то, что тригонометрия долгое время была нужна не школьникам, а астрономам.
С ее помощью люди пытались измерять расстояния до небесных тел, предсказывать затмения и лучше понимать устройство мира.
Но тригонометрия нужна не только для истории математики. В наше время она используется в строительстве, архитектуре, навигации, картографии, компьютерной графике и даже в разработке компьютерных игр. С ее помощью находят расстояния, углы, высоты и координаты объектов.
Получается, формулы, которые на уроке выглядят как просто еще одна тема по геометрии, на самом деле помогают решать вполне реальные задачи в современном мире.
Часто задаваемые вопросы
Когда известны две стороны и угол между ними или когда известны все три стороны и нужно найти угол.
Если один из углов треугольника равен $90^\circ$, то теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.
Теорему синусов применяют тогда, когда в треугольнике известна пара: сторона и противолежащий ей угол. Если при этом известен еще один угол или еще одна сторона, можно найти остальные элементы треугольника.
Это особенно важно в теореме синусов. Если перепутать сторону и противолежащий ей угол, решение получится неверным.
Нет, не всегда. Для простых задач часто хватает записи
$\dfrac{a}{\sin \angle A} = \dfrac{b}{\sin \angle B} = \dfrac{c}{\sin \angle C}$.
Но полная формула полезна, потому что дает больше возможностей в решении.
Нужно брать угол между теми двумя сторонами, которые стоят в формуле. Например, если в формуле есть $AB$ и $AC$, то нужен угол $\angle A$.
Да, можно. Формула остается верной и для остроугольных, и для тупоугольных треугольников.
Потому что параллелограмм можно разбить на два равных треугольника. Поэтому в формуле для треугольника есть множитель $\dfrac{1}{2}$, а для параллелограмма его нет.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий