Уравнение окружности

На прошлом уроке мы узнали о том, что любую линию на координатной плоскости можно задавать уравнением. Формула связывает координаты точек и позволяет описывать линию не рисунком, а точными отношениями между $x$ и $y$.

Сегодня рассмотрим один из самых важных примеров — окружность. У нее есть четкая геометрическая структура, поэтому уравнение выводится особенно наглядно.

Формула окружности

Прежде чем вывести формулу, вспомним, что окружность — это множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от центра.

Перед тем как записать формулу, представим себе окружность на координатной плоскости. Это удобно: и центр, и любая точка имеют координаты. А расстояние между точками мы уже умеем находить по формуле:

$d = \sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$, где $d$ — длина отрезка, а $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты его концов.

Допустим, точка $O$ — центр окружности и имеет координаты $(x_{0}; y_{0})$. Возьмем произвольную точку $M(x; y)$. Тогда расстояние между точками $O$ и $M$ мы можем вычислить по формуле:

$$OM = \sqrt{(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2}}.$$

Из рисунка видно, что отрезок $OM$ есть ни что иное, как радиус окружности $R$. Если на линии окружности взять еще какую-либо точку со своими координатами, то расстояние от центра окружности до этой точки также будет равно $R$.

Так как для всех точек окружности выполняется одно и то же условие $OM = R$, то его можно записать так:

$$\sqrt{(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2}} = R.$$

Уберем корень, возведя обе части в квадрат:

$$(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2} = R^{2}.$$

Множество всех точек $M(x; y)$, удовлетворяющих этому уравнению, и есть формула окружности. Ее центр имеет координаты $O(x_{0}; y_{0})$, а радиус равен $R$.

{"questions":[{"content":"Каков радиус окружности, которая описывается уравнением $(x + 1)^{2} + (y — 2)^{2} = 9$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$2$","$3$","$9$"],"answer":[2]}},"hints":["Радиус окружности находится в правой части уравнения: <br />$$(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2} = R^{2}.$$","Подумайте, какое число нужно возвести в квадрат, чтобы получить $9$."]}]}

Расположение окружности

На предыдущем уроке мы обсуждали, что по уравнению линии возможно определить некоторые параметры. Принадлежит ли точка линии, где расположена сама линия и какой вид она имеет.

Например, если уравнение имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, то можно утверждать — это парабола. А если $y = kx + b$ — прямая и так далее.

Сегодня мы познакомились с уравнением окружности. Поэтому, когда вы увидите формулу $(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2} = R^{2}$, значит, перед вами окружность.

Теперь разберемся, как по формуле окружности понять, где она находится относительно системы координат.

Рассмотрим случай, когда центр окружности $O$ находится в начале координат (в точке $(0; 0)$). Из уравнения окружности, мы знаем, что ее центр имеет координаты $O(x_0; y_0)$. Значит, если подставить в формулу начальные координаты $(0; 0)$, то уравнение окружности примет вид:

$$x^2 + y^2 = R^2.$$

И наоборот, когда нам встретится такая формула, становится понятно, что центр окружности находится в начале координат.

А как определить по формуле $(x -3)^2 + (y + 2)^2 = 16$, как расположена окружность относительно системы координат?

Из формулы окружности нам известно, что от $x$ и $y$ вычитаются координаты центра окружности, следовательно ее центр имеет координаты $(3; -2)$, а радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Зная координаты центра и величину радиуса, мы можем легко построить чертеж.

Таким образом, глядя на формулу окружности, можно определить координаты ее центра и величину радиуса, а значит, и понимать где расположена сама окружность.

Чтобы не запутаться со знаками координат центра, когда вы видите какое-либо уравнение окружности, под $x$ и $y$ нужно подставить такие числа, чтобы в скобках получился $0$.

Например: пред вами уравнение вида $(x + 7) + (y + 1)^2 = 25$, значит, координаты центра $O(-7; -1)$. Так как при подстановки в формулу именно этих чисел получится ноль.

{"questions":[{"content":"Определите координаты центра окружности $(x + 5)^{2} + (y — 3)^{2} = 49$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-5; 3)$","$(5; 3)$","$(-5; -3)$","$(5; -3)$"],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, какие числа нужно подставить в скобки, чтобы получился $0$."]}]}

Неявное уравнение окружности

Как вы заметили, уравнение окружности выглядит довольно громоздко и содержит скобки. Значит, данные скобки возможно раскрыть.

Например, перед нами уравнение окружности $(x -4)^2 + (y + 3)^2 = 36$. Когда оно записано в таком виде, говорят, что перед нами уравнение в явном виде. То есть, сразу возможно определить, что пред нами окружность.

Раскроем скобки, применив формулу сокращенного умножения:

$x^2 -8x + 16 + y^2 + 6y + 9 = 36$.

Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + y^2 -8x + 6y + 16 + 9 -36 = 0$,

$x^2 + y^2 -8x + 6y -11 = 0$.

Как видно, уравнение кардинально поменяло свой вид. Такое уравнение окружности называется неявным. И по нему довольно сложно определить как координаты центра окружности, так и ее радиус.

Но если в формуле присутствует $x^2$, $y^2$, $x$ и $y$ (либо может присутствовать одна из переменных: или $x$, или $y$) , значит, перед вами неявный вид уравнения окружности.

Обратите внимание, произведения $xy$ быть не должно.

Чтобы вновь прийти к явному виду, воспользуемся алгебраическим методом выделения полного квадрата.

В данной формуле $x^2 + y^2 -8x + 6y -11 = 0$ сгруппируем $x^2$ с $x$, а $y^2$ с $y$:

$$(x^2 -8x) + (y^2 + 6y) -11 = 0.$$

Понятно, что $8x$ и $6y$ — это удвоенное произведение. Если каждый из этих коэффициентов разделить на $2$, то получим $4$ и $3$ соответственно.

Следовательно, до полного квадрата для $x$ нам не хватает $16$, а для $y$ — $9$. Но мы не можем просто так добавить эти числа в скобки. Зато мы можем прибавить и вычесть одно и то же число в любом уравнении, и оно не изменится.

$$(x^2 -8x + 16) -16 + (y^2 + 6y + 9) -9 -11 = 0.$$

Свернем каждое выражение, стоящее в скобках, в квадрат, сложим свободные члены и перенесем их вправо:

$$(x -4)^2 + (y + 3)^2 = 36.$$

Таким образом, мы снова имеем уравнение окружности в явном виде.

Неявное уравнение окружности также может иметь такой вид: $y = \sqrt{4y -x^2 + 10}$. Либо подобный, то есть содержать знак квадратного корня. Чтобы перейти к явному виду, нужно возвести обе части уравнения в квадрат. Далее выделить полный квадрат — поступить так, как было описано выше.

{"questions":[{"content":"Какое из уравнений является явным видом уравнения окружности $x^2 + y^2 = 4y$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2 + (y -2)^2 = 4$","$(x -2)^2 + y^2 = 4$","$x^2 + (y + 2)^2 = 4$","$(x + 2)^2 + y^2 = 4$"],"answer":[0]}},"hints":["Сгруппируйте выражения с $y$ и дополните его до полного квадрата.","Перенесем $4y$ влево:<br />$x^2 + y^2 -4y = 0$.<br />Сгруппируем игреки:<br />$x^2 + (y^2 -4y) = 0$.<br />Дополним до полного квадрата: <br />$x^2 + (y^2 -4y + 4) -4 = 0$.<br />Свернем по формуле и перенесем свободный член вправо: <br />$x^2 + (y -2)^2 = 4$.<br /><br />Ответ: $x^2 + (y -2)^2 = 4$."]}]}

Это интересно

Исторически уравнение окружности появилось намного позже самой окружности. Древние греки прекрасно умели строить окружности циркулем, но не имели координат и не могли записать ее формулу.

Появление уравнения стало возможным только после введения Декартом координатной плоскости.

Уравнение окружности в виде $(x -x_{0})^{2} + (y -y_{0})^{2} = R^{2}$ используется не только в математике, но и в маршрутизации.

Например, если устройство знает, что находится на расстоянии $10$ метров от маршрутизатора Wi-Fi, то все возможные его позиции образуют окружность радиусом $10$ метров.

Если расстояние известно до нескольких точек, пересечение таких окружностей показывает, где именно находится устройство.

В компьютерной графике окружности часто строят не вручную, а по формуле. Программа помечает те точки экрана, которые удовлетворяют уравнению окружности, — так появляются круглые кнопки, индикаторы и элементы интерфейса.

Уравнение окружности полезно в ситуациях, когда нужно вычислять расстояния и определять положение объектов: в навигации, в работе GPS, в цифровой графике, в инженерных задачах и даже в играх, где нужно найти область вокруг персонажа.

Понимание этой формулы помогает разобраться, как работают многие современные технологии.

Часто задаваемые вопросы