Уравнение линии, окружности, прямой

Данный тест охватывает три темы: уравнение линии, окружности и прямой. Здесь важно понимать, как выглядят разные виды уравнений и что означают их коэффициенты. Задания помогут проверить, насколько вы уверенно ориентируетесь в этом материале.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какому из уравнений принадлежит точка $A(2; -1)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = 2x^2 + x -5$","$y = -x^3 + 4x -2$","$y = x^2 -3x + 2$","$y = 2x^3 -x^2 -13$"],"answer":[3]}},"hints":["Подставьте координаты точки $A$ в каждое уравнение и проверьте, в каком из них выполняется равенство.","У точки $A$: $x = 2$ и $y = -1$. Сделаем подстановку в уравнение $y = 2x^3 -x^2 -13$:<br />$-1 = 2 \\cdot 2^3 -2^2 -13 = 16 -4 -13 = -1$. <br />Равенство верное — точка принадлежит этой линии."],"id":"0"},{"content":"Какая из точек принадлежит линии, заданной уравнением $y = \\dfrac{2x^2 -3}{x + 1}$?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$(1;\\ 2)$","$(0;\\ -3)$","$(-1;\\ 1)$","$(2;\\ 1)$"],"answer":[1]}},"hints":["Подставьте координаты каждой точки в уравнение. Выполните вычисления и проверьте, где получится верное равенство.","Проверьте точку $(0;\\ -3)$ :<br />$-3 = \\dfrac{2 \\cdot 0^2 -3}{0 + 1} = \\dfrac{-3}{1} = -3$, значит, точка $(0; -3)$ принадлежит линии."],"id":"0"},{"content":"Выберите уравнение окружности.[[choice-41]]","widgets":{"choice-41":{"type":"choice","options":["$(x + x_0)^2 + (y -y_0)^2 = R^2$","$(x -x_0)^2 -(y -y_0)^2 = R^2$","$(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = R^2$","$(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = -R^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Следите за знаками: в выражениях $(x -x_0)$ и $(y -y_0)$ должны стоять минусы. Радиус в квадрате — обязательно положительное число.","Окружность задается уравнением вида $(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = R^2$."],"id":"1"},{"content":"Чему равен радиус окружности, заданной уравнением $(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = 5$?[[choice-74]]","widgets":{"choice-74":{"type":"choice","options":["$5$","$\\sqrt{5}$","$25$","$2{,}5$"],"answer":[1]}},"hints":["В уравнении $(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = R^2$ число в правой части — квадрат радиуса, а не сам радиус.","Если $R^2 = 5$, то $R = \\sqrt{5}$."],"id":"1"},{"content":"Найдите центр окружности, заданной уравнением $(x -3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.[[choice-114]]","widgets":{"choice-114":{"type":"choice","options":["$(3,\\ 2)$","$(-3,\\ 2)$","$(3,\\ -2)$","$(-3,\\ -2)$"],"answer":[2]}},"hints":["Уравнение окружности имеет вид $(x -x_0)^2 + (y -y_0)^2 = R^2$, где $(x_0,\\ y_0)$ — координаты центра.","Нужно подставить такие числа, чтобы в скобках получился ноль.<br />Если в скобках $(x -3)$ и $(y +2)$, значит, $x_0 = 3$, $y_0 = -2$.<br /><br />Ответ: центр окружности имеет координаты $(3,\\ -2)$."],"id":"2"},{"content":"Как выглядит уравнение окружности с центром в начале координат?[[choice-166]]","widgets":{"choice-166":{"type":"choice","options":["$(x -0)^2 + (y -0)^2 = R$","$x^2 + y^2 = R^2$","$x + y = R$","$(x + 0)^2 + (y + 0)^2 = -R^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Если центр окружности находится в начале координат, то его координаты - в точке $(0,\\ 0)$. <br />Подставьте эти значения в общее уравнение $(x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2$.","При подстановке $(0,\\ 0)$ уравнение принимает вид $x^2 + y^2 = R^2$."],"id":"2"},{"content":"Какое из уравнений является общим уравнением прямой?[[choice-260]]","widgets":{"choice-260":{"type":"choice","options":["$x^2 + y^2 = R^2$","$y = kx + b$","$Ax + By + C = 0$","$y = ax^2 + bx + c$"],"explanations":["","Это угловое уравнение прямой.","",""],"answer":[2]}},"hints":["В уравнении прямой переменные $x$ и $y$ всегда стоят в первой степени.","Уравнение вида $Ax + By + C = 0$ — это общее уравнение прямой."],"id":"3"},{"content":"Какое из уравнений задаёт прямую на плоскости?[[choice-334]]","widgets":{"choice-334":{"type":"choice","options":["$x^2 + y^2 = 25$","$x^2 -3x + 2 = 0$","$2x -3y + 7 = 0$","$y = \\dfrac{4}{x}$"],"answer":[2]}},"hints":["Прямая задается уравнением, где $x$ и $y$ находятся в первой степени и не участвуют в делении, корне или квадрате.","Уравнение $2x -3y + 7 = 0$ соответствует общей форме прямой $Ax + By + C = 0$."],"id":"3"},{"content":"Какое из уравнений задает прямую?[[choice-419]]","widgets":{"choice-419":{"type":"choice","options":["$y = \\dfrac{2x^2 + 1}{x -1}$","$(x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$","$4x + y = 5$","$y = \\sqrt{x + 2}$"],"answer":[2]}},"hints":["Уравнение прямой не содержит квадратов, корней и деления переменных. Переменные $x$ и $y$ — только в первой степени.","$4x + y = 5$ — это прямая: уравнение можно привести к виду $4x + y -5 = 0$, что соответствует общему уравнению прямой $Ax + By + C = 0$."],"id":"4"},{"content":"Какое из уравнений является общим уравнением прямой?[[choice-524]]","widgets":{"choice-524":{"type":"choice","options":["$x^2 + y^2 = R^2$","$y = mx + c$","$Ax + By + D = 0$","$y = ax^2 + bx$"],"explanations":["","Это угловое уравнение прямой.","",""],"answer":[2]}},"hints":["В уравнении прямой переменные $x$ и $y$ всегда находятся в первой степени.","Общее уравнение прямой выглядит так: <br />$Ax + By + D = 0$."],"id":"4"},{"content":"Что произойдет с прямой $Ax + By + C = 0$, если $A = 0$?[[choice-651]]","widgets":{"choice-651":{"type":"choice","options":["Станет вертикальной.","Станет горизонтальной.","Пересечет ось икс под прямым углом.","Пересечет ось икс под тупым углом."],"answer":[1]}},"hints":["Если $A = 0$, переменная $x$ исчезает из уравнения. Останется только $y$.","Получится уравнение вида $By + C = 0$, то есть $y = \\text{const}$ — это горизонтальная прямая."],"id":"5"},{"content":"Что произойдет с прямой $Ax + By + C = 0$, если $B = 0$?[[choice-770]]","widgets":{"choice-770":{"type":"choice","options":["Превратится в окружность.","Станет вертикальной.","Станет горизонтальной.","Пересечет ось игрек под острым углом."],"answer":[1]}},"hints":["Если $B = 0$, переменная $y$ исчезает.","Получится уравнение вида $Ax + C = 0$, то есть $x = \\text{const}$ — это вертикальная прямая."],"id":"5"},{"content":"Какое из уравнений является угловым уравнением прямой?[[choice-948]]","widgets":{"choice-948":{"type":"choice","options":["$(x -1)^2 + (y + 2)^2 = 36$","$y = \\sqrt{2x + 3}$","$y = \\sqrt{2}x -4$","$y = \\dfrac{x^2 -1}{x + 1}$"],"answer":[2]}},"hints":["Угловое уравнение прямой — это формула вида $y = kx + b$.","Даже если коэффициент при $x$ выглядит необычно (например, $\\sqrt{2}$), главное, чтобы $x$ и $y$ были в первой степени."],"id":"6"},{"content":"Что показывает коэффициент $k$ в угловом уравнении прямой $y = kx + b$?[[choice-1112]]","widgets":{"choice-1112":{"type":"choice","options":["Расстояние от начала координат до прямой.","Угол наклона прямой.","Точку пересечения с осью $Oy$.","Точку пересечения с осью $Ox$."],"answer":[1]}},"hints":["Коэффициент $k$ связан с углом между прямой и осью $Ox$.","$k$ отвечает за угол наклона прямой."],"id":"6"},{"content":"Что показывает коэффициент $b$ в угловом уравнении прямой $y = kx + b$?[[choice-1264]]","widgets":{"choice-1264":{"type":"choice","options":["Координату точки пересечения прямой с осью $Oy$.","Длину отрезка между двумя точками на прямой.","Наклон прямой.","Координату точки пересечения прямой с осью $Ox$."],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы найти $b$, подставьте $x = 0$. Получите $y = b$, то есть точку, где прямая пересекает ось $Oy$.","Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения с осью $Oy$. Она читается напрямую из уравнения."],"id":"7"},{"content":"Выберите угловое уравнение прямой.[[choice-1427]]","widgets":{"choice-1427":{"type":"choice","options":["$y = \\dfrac{x + 2}{x -1}$","$y = 3x^2 -1$","$y = -0,5x + 2$","$(x -1)^2 = 9$"],"answer":[2]}},"hints":["Угловое уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Переменные стоят только в первой степени.","Переменные $x$ и $y$ не участвуют в делении друг на друга."],"id":"7"}],"mix":1}</textarea></pre></div>