Уравнение линии на плоскости

На предыдущих уроки мы научились работать с координатами в плоскости: находить координаты вектора, вычислять расстояние между двумя точками и определять координаты середины отрезка. Все эти умения позволяют описывать отдельные точки и связи между ними.

Но в геометрии часто нужно работать не с одной точкой, а с целой последовательностью точек, которые образуют линию: прямую, окружность, параболу и другие. Возникает вопрос: как задать такую линию точно и однозначно?

Понятие уравнения линии

Из курса алгебры нам известны названия некоторых линий. Таких как прямая, парабола или гипербола. Эти линии всегда выглядят примерно одинаково, поэтому каждая из них имеет собственное название.

На координатной плоскости любую линию можно задать уравнением — выражением, которое связывает координаты точек.

Так например:

• прямая — $y = kx + b$;
• парабола — $y = ax^2 + bx + c$;
• гипербола — $y = \dfrac{k}{x}$.

То есть, если существует правило, связывающее $x$ и $y$, и все точки линии подчиняются этому правилу, то его можно записать как уравнение.

Из этого следует важный критерий:

Точка принадлежит линии, если при подстановке ее координат уравнение верно.

Это универсальное свойство любых графиков: и прямых, и кривых.

Решение

Скрыть

Для того чтобы определить принадлежность точки гиперболе, нужно подставить координаты этой точки в уравнение гиперболы.

Если выполняется равенство — точка принадлежит графику, не выполняется — не принадлежит.

Подставим в уравнение $y = \dfrac{3}{x}$ координаты точки $A (-3; -1)$:

$-1 = \dfrac{3}{-3}$,

$-1 = -1$ $\Rightarrow$ точка $A$ принадлежит гиперболе, то есть находится на линии ее кривой.

Подставим координаты точки $B (-3; 1)$:

$1 = \dfrac{3}{-3}$,

$1 \neq -1$ $\Rightarrow$ точка $B$ не принадлежит гиперболе, то есть не находится на линии ее кривой.

Ответ: точка $A$ принадлежит гиперболе, точка $B$ — не принадлежит.

Эта простая задача показывает, как определить принадлежность точки к какому-либо графику.

{"questions":[{"content":"Какому из уравнений принадлежит точка $A(-2; 5)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = -3x -1$","$y = -2x -1$","$y = \\dfrac{1}{2}x + 4$","$y = 5x + 3$"],"answer":[0]}},"hints":["Если точка принадлежит уравнению, должно выполняться равенство.","Подставьте $x = -2$ и $y = 5$ в каждое уравнение и проверьте, где получается верное равенство."]}]}

Зачем в математике задавать линии уравнениями

На координатной плоскости любую линию можно изобразить графически, но одного рисунка недостаточно.

В задачах важны не только примерные очертания, но и точные свойства: какие точки принадлежат линии, где она пересекает оси, как она изменяется, как ее сравнить с другой кривой.

Чтобы описывать линии не «на глаз», а строго, в математике используют уравнения.

Уравнение линии — это правило, которому удовлетворяют все точки этой линии. Если точка $(x; y)$ подставлена в уравнение и равенство выполняется, точка лежит на линии; если $\neq$, точка находится вне нее.

Такой подход позволяет работать с линиями строго и получать любые характеристики аналитически, без построений.

Уравнения дают сразу несколько важных возможностей:

Однозначное описание линии.

График можно нарисовать по-разному, а уравнение задает его точно. Две разные формулы никогда не опишут одну и ту же линию полностью. Это позволяет сравнивать линии, классифицировать их и однозначно определять.

Проверка принадлежности точки.

Чтобы понять, лежит ли точка на линии, достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, выполняется ли равенство. Это намного быстрее, чем определять это по рисунку.

Поиск точек пересечения.

Если две линии заданы уравнениями, их взаимное положение определяется решением системы этих уравнений.

Исследование свойств линии.

По виду уравнения можно определить: возрастает линия или убывает, есть ли у нее максимум или минимум. А также увидеть другие критерии, с которыми вы познакомитесь в более старших классах.

Удобство вычислений.

Рисунок дает представление, но точные расчеты выполняют только с формулами.

{"questions":[{"content":"Почему с уравнением линии работать удобнее, чем с ее рисунком?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что уравнение выглядит красивее.","Потому что по уравнению можно вычислить любые точки линии.","Потому что линия всегда прямая.","Потому что уравнение короче, чем рисунок."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте: как определить, принадлежит ли точка линии, если у вас нет ее формулы?"]}]}

Это интересно

Первое уравнение линии появилось задолго до координат.

В древнегреческой геометрии прямые описывали не числами, а словами: «линия, проходящая через точки…». Но это было неудобно: каждое предложение превращалось в длинное описание. И только после появления координат уравнения стали коротким и точным способом говорить о линиях.

Рене Декарт объединил алгебру и геометрию: он предложил использовать числа для описания точек. Теперь стало возможно «переводить» геометрические объекты в уравнения.

Это позволило исследовать линии с помощью привычных операций: сложения, вычитания, решения уравнений. Геометрия стала намного проще и мощнее.

Уравнение линии хранит в себе сведения о всех точках сразу. Чтобы описать линию словами, понадобилось бы бесконечное число предложений, а уравнение справляется одним равенством.

Чтобы понять, пересекаются ли две линии, достаточно решить систему уравнений. Если есть решение — есть точка пересечения. Если решений нет — линии параллельны или совпадают. Гораздо быстрее, чем пытаться увидеть точные координаты на чертеже.

Прямая может описывать рост температуры, стоимость товара, движение объекта. Поэтому уравнения линий — это не абстракция, а универсальный инструмент для анализа любых зависимостей.

Окружность, парабола, эллипс — это тоже линии, просто их уравнения выглядят иначе. Поэтому слово «линия» в координатной геометрии — гораздо шире, чем просто прямая.

Часто задаваемые вопросы