Уравнение прямой

На прошлом уроке мы изучили уравнение окружности и научились определять по формуле ее центр, радиус и положение точки относительно окружности.

Продолжим работу с координатной плоскостью. Разберем основные формы уравнения прямой, научимся переходить от геометрического описания к аналитическому и уверенно использовать эти формулы в задачах.

Общее уравнение прямой

Чтобы вывести общее уравнение прямой через координаты точек, давайте вспомним понятие серединного перпендикуляра и его свойства.

Серединный перпендикуляр — это прямая, которая пересекает какой-либо отрезок под прямым углом в его середине. Любая точка, которая находится на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов этого отрезка.

Построим в координатных осях произвольную прямую $l$. Проведем отрезок $AB$ так, чтобы прямая $l$ являлась серединным перпендикуляром к нему. Отметим на прямой $l$ точку $M$, которая имеет некие координаты $(x; y)$.

Так как мы находимся в координатной плоскости, у точек $A$ и $B$ будут свои координаты $(x_1; y_1)$ $(x_2; y_2)$ соответственно.

Точка $M$ находится на серединном перпендикуляре, следовательно $AM = BM$.

Воспользуемся формулой расстояния между точками и запишем длины отрезков $AM$ и $BM$.

$AM = \sqrt{(x -x_1)^2 + (y -y_1)^2}$, $BM = \sqrt{(x -x_2)^2 + (y -y_2)^2}$.

Если $AM = BM$, то и $AM^2 = BM^2$, а $(x -x_1)^2 + (y -y_1)^2 = (x -x_2)^2 + (y -y_2)^2$.

Раскроем скобки.

$x^2 -2x x_1 + x_1^2 + y^2 -2y y_1 + y_1^2 = x^2 -2x x_2 + x_2^2 + y^2 -2y y_2 + y_2^2$.

Сократив одинаковые слагаемые $x^2$ и $y^2$ (они есть и слева, и справа), получим:

$-2x x_1 + x_1^2 -2y y_1 + y_1^2 = -2x x_2 + x_2^2 -2y y_2 + y_2^2$.

Перенесем все в левую часть и вынесем $2x$ и $2y$ за скобки:

$2x(x_2 -x_1) + 2y(y_2 -y_1) + x_1^2 -x_2^2 + y_1^2 -y_2^2 = 0$.

Разделим все равенство на $2$:

$x(x_2 -x_1) + y(y_2 -y_1) + \dfrac{x_1^2 -x_2^2 + y_1^2 -y_2^2}{2} = 0$.

Итак, мы получили уравнение серединного перпендикуляра к отрезку $AB$, то есть прямой $l$.

Обратите внимание: приравнивание длин двух отрезков $AM$ и $MB$ определяет не конкретную точку, а множество всех точек, равноудаленных от $A$ и $B$, а такое множество всегда является прямой.

Как видно, полученное уравнение содержит громоздкие выражения, в которые входят координаты точек $A$ и $B$.

Поскольку эти координаты являются конкретными числами, для удобства запись приводят к более краткому виду:

$$Ax + By + C = 0,$$
где $A$, $B$ и $C$ — некоторые ненулевые числа.

{"questions":[{"content":"Что описывает множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка $AB$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямая, проходящая через точку $A$.","Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.","Прямая, проходящая через точку $B$.","Прямая, проходящая через середину $AB$."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте, какие точки находятся на одинаковом расстоянии от двух фиксированных точек.","Если точка одинаково удалена от $A$ и $B$, значит, она лежит на линии, которая делит отрезок пополам и идет под прямым углом."]}]}

Частные случаи уравнения прямой

Частный случай в математике — это ситуация, когда некоторое утверждение, формула или объект получают более простой или более конкретный вид при выполнении дополнительных условий.

В нашем случае мы можем получить две частные ситуации, когда в уравнении $Ax + By + C = 0$ один из коэффициентов — либо $A$, либо $B$ — могут быть равны нулю.

Случай № 1: А = 0

Если мы подставим $A = 0$ в общее уравнение прямой, то получим:

$By + C = 0$.

Выразим $y$:

$y = -\dfrac{C}{B}$.

Так как $B$ и $C$ являются некоторыми числами, то $y = \text{const}$ (некоторой постоянной). График такого уравнения задает горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$.

Случай № 2: В = 0

Теперь подставим в общее уравнение прямой $B = 0$. Получим:

$Ax + C = 0$.

Выразим $x$:

$x = -\dfrac{C}{A}$.

Данное уравнение имеет вид $x = \text{const}$, то есть прямая становится вертикальной и параллельной оси $Oy$.

Уравнения координатных осей

Опираясь на предыдущие частные случаи, можно сказать, что каждая из осей также имеет свою формулу.

Ось $Ox$ — это горизонтальная ось, значит, каждая ее точка имеет координату $y = 0$.

Поэтому уравнение оси $Ox$: $y = 0$.

Ось $Oy$ является вертикальной осью, значит, ее уравнение: $x = 0$.

{"questions":[{"content":"Какое уравнение задает вертикальную прямую?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = 3$","$x = -4$","$y = -\\dfrac{C}{B}$","$y = 0$"],"explanations":["График — это горизонтальная линия.","Это вертикальная прямая, так как $x$ постоянно равно $−4$, а $y$ может быть любым.","Это горизонтальная прямая (значение $y$ фиксировано).","График имеет вид горизонтальной прямой (ось $x$)."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте: при каком коэффициенте, равном нулю, прямая становится вертикальной.","Если в уравнении $Ax + By + C = 0$ коэффициент $B = 0$, то переменная $y$ исчезает, и получается вертикальная прямая вида $x = \\text{const}$."]}]}

Уравнение прямой в угловой форме

Из курса алгебры нам известно уравнение прямой, которое имеет вид $y = kx + b$. Такое уравнение называется уравнением прямой в угловой форме. Оно представлено в более удобном, эталонном виде, где сразу понятно, как построена прямая.

Коэффициент $k$ отвечает за угол наклона прямой относительно оси $Ox$, а $b$ — в какой ординате прямая пересекает ось $Oy$.

Угловое уравнение выводится из уравнения общего вида $Ax + By + C = 0$.

Для этого выразим переменную $y$ из данного уравнения:

$By = -Ax -C$,

$y = -\dfrac{A}{B}x — \dfrac{C}{B}$.

Так как $A$, $B$ и $C$ — это коэффициенты (некоторые числа), то при делении одного коэффициента на другой появится некий третий коэффициент. И таким коэффициентам дали свое обозначение:

$k = -\dfrac{A}{B}$, $b = -\dfrac{C}{B}$.

Таким образом, от общего уравнения прямой $Ax + By + C = 0$ мы перешли к более простому и понятному уравнению $y = kx + b$.

Как по графику понять величину коэффициента $k$, вы узнаете при более позднем обучении, потому что он связан с тангенсом угла наклона прямой. Пока по знаку $k$ мы можем определить, в какую сторону отклонена прямая, а также понять угол ее наклона:

• если $k > 0$ — прямая отклонена вправо относительно оси $Oy$ и угол ее наклона острый относительно оси $Ox$,
• если $k < 0$ — прямая отклонена влево относительно оси $Oy$ и угол ее наклона тупой относительно оси $Ox$.

А вот знак и величину коэффициента $b$ по графику возможно увидеть уже сейчас. В какой точке прямая пересекает ось $y$, такому значению будет равен коэффициент $b$.

Итак, из рисунка $1$ видно, что $k > 0$, $b = -2$, из рисунка $2$ — $k < 0$, $b = 3$.

Вот этим и удобно угловое уравнение прямой, поэтому его чаще используют в математике. Если вы столкнулись с общим уравнением прямой (в нем $x$ и $y$ должны быть в первой степени), то всегда можно прийти к угловому виду.

{"questions":[{"content":"Приведите общее уравнение прямой $5x -2y + 8 = 0$ к угловой форме $y = kx + b$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = 2,5x + 4$","$y = -2,5x -4$","$y = 0,4x -1,6$","$y = 0,4x + 1,6$"],"answer":[0]}},"hints":["Выразите переменную $y$ через $x$.","Перенесите то, что с коэффициентом $x$ и свободный член вправо:<br />$-2y = -5x -8$.<br /><br />Поделите обе части на $(-2)$:<br />$y = \\dfrac{-5}{-2}x + \\dfrac{-8}{-2}$.<br /><br />Получите:<br />$y = 2,5x + 4$.<br /><br />Ответ: $y = 2,5x + 4$."]}]}

Это интересно

Когда инженеры и картографы работали над первой схематичной картой Лондонского метро (Гарри Бек, $1931$ год), они столкнулись с тем, что настоящие расстояния и направления делают схему почти нечитаемой.

Тогда было принято важное решение: заменить реальные линии на идеальные прямые под фиксированными углами.

Прямые на карте метро стали такими же «моделями», как и прямые, задаваемые уравнениями на координатной плоскости, — наглядными, удобными и однозначными.

На современных деньгах есть микролинии — очень тонкие линии одинакового шага. Чтобы машина могла проверять банкноту, каждая линия должна быть расположена ровно под одним углом, и это задается обычным уравнением прямой вида $y = kx + b$.

Если линия на купюре нанесена с ошибкой даже на долю миллиметра, автоматы могут ее не распознать и отклонят такую банкноту как подозрительную или поврежденную.

При тестировании принтеров важна точность механики. Внутри тестовых карт есть элементы, представляющие собой строго прямые линии, заданные уравнениями. Камера сканирует распечатку и проверяет, не отклонились ли точки от теоретической прямой.

Если отклонение больше нормы — принтер бракован или требует калибровки.

Системы автопилотирования используют геометрию прямо в процессе движения. Камеры считывают разметку на дороге, выделяют на ней множество точек и строят по ним уравнение прямой, которое описывает идеальную траекторию внутри полосы.

Затем автопилот сравнивает эту прямую с фактическим положением машины и по разнице вычисляет, как нужно поправить угол руля, чтобы автомобиль оставался в полосе.

Так формула из школьного курса помогает удерживать автомобиль на трассе.

Уравнения прямых встречаются не только в задачнике. Они помогают строить карты и навигационные схемы, распознавать объекты камерами, проверять технику, поддерживать работу цифрового оборудования.

И самое главное — они лежат в основе многих алгоритмов, которые должны находить связь между двумя величинами. Там, где нужно описать ровное, равномерное изменение, почти всегда появляется прямая.

Часто задаваемые вопросы