Координаты векторов

На прошлом уроке мы познакомились с разложением вектора по двум неколлинеарным векторам. Теперь, опираясь на это, мы можем перейти к новому способу описывать векторы — через числа.

Именно разложение помогает понять, откуда берутся координаты вектора и как они связаны с направлением и длиной.

Что такое единичные векторы

Нам известно, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Поэтому, если вектор $\vec{a}$ лежит на координатной плоскости, то его можно представить как сумму двух векторов. Один из них идет вдоль оси $x$ ($\vec{x}$), другой — вдоль оси $y$ ($\vec{y}$).

Из курса алгебры, мы знаем, что на координатных осях принято брать единичные отрезки. Это значит, что за единицу мы можем взять одну или более клеток. Либо одна клетка может быть равна двум, трем или более единицам. Смотря какой масштаб нам нужен.

Когда говорят о векторах, то один единичный отрезок по оси $x$ называют единичным вектором $\vec{i}$, а по оси $y$ — единичным вектором $\vec{j}$.

Для чего это нужно? Если мы выпустим из начала координат некий вектор $\vec{a}$, то с помощью единичных векторов $\vec{i}$ и $\vec{j}$ можно увидеть на сколько продвинулся вектор $\vec{a}$ вдоль оси $x$ и вдоль оси $y$.

Такое движение по осям и называется координатами вектора.

Из рисунка видно, что $\vec{a}$ передвинулся по оси $x$ на $1,5\vec{i}$ и на $2,5\vec{j}$ по оси $y$. Векторы $\vec{i} = 1$ и $\vec{j} = 1$, поэтому координаты вектора $\vec{a}$ равны $(1,5; 2,5)$.

Запись вектора с координатами имеет такой вид:

$$\vec{a} = (1,5; 2,5).$$

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что любой вектор можно разложить на сумму двух векторов, при помощи единичных:

$$\vec{a} = \alpha \vec{i} + \beta \vec{j},$$ где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — единичные векторы по осям $ox$ и $oy$, а $\alpha$ и $\beta$ — их количество.

{"questions":[{"content":"Определите координаты вектора $c$.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/6-01-4.svg","width":"298"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$(6; 2)$","$(2; 6)$","$(3; 1)$","$(1; 3)$"],"answer":[0]}},"hints":["Посчитайте количество единичных векторов по оси $x$ и по оси $y$.","Первая координата в скобках записывается по икс, вторая по игрек."]}]}

Определение координат вектора

Итак, координаты вектора — это количество единичных векторов по осям икс и игрек. Чтобы это понять, мы построили вектор, который выходил из начала координат и находился в первой координатной четверти.

Но векторы могут располагаться в разных четвертях, пересекать сами оси и иметь различные направления. Как же определить координаты любого вектора?

Для этого приведем пример: возьмем две точки с какими-нибудь координатами: $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$.

Построим вектор $\vec{AB}$, проходящий через это точки.

Для того чтобы узнать координаты вектора, мы из координат конца вектора вычитаем координаты начала.

$$\vec{AB} = (x_2 -x_1; y_2 -y_1).$$

Если поменять направление вектора $\vec{AB}$, и переместить его в другую четверть, то ничего не изменится. Его координаты по-прежнему будут вычисляться так же: $(x_2 -x_1; y_2 -y_1)$.

{"questions":[{"content":"Определите координаты $\\vec{CD}$.[[image-1]][[choice-4]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/9-01-3.svg","width":"300"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$(2; 3)$","$(-2; -3)$","$(-2; 3)$","$(2; -3)$"],"answer":[1]}},"hints":["Для определения координат воспользуйтесь формулой: $\\vec{CD} = (x_2 -x_1; y_2 -y_1)$, где $x_1$ и $y_1$ - координаты начала вектора (точки $C$), а $x_2$ и $y_2$ - координаты конца вектора (точки $D$).","Координаты точки $C (-2; 5)$, точки $D (-4; 2)$. Тогда $\\vec{CD} = (-4 -(-2); 2 -5) = (-2; -3)$.<br /><br />Ответ: $\\vec{CD} = (-2; -3)$."]}]}

Вычисление координат вектора по его изображению

Когда векторы вычерчены на клетчатой бумаге (а, в основном, это происходит именно так), то их координаты вычислить еще проще.

Достаточно посчитать количество клеток от начала вектора до конца по горизонтали и по вертикали. Их количество покажет числовое значение вектора.

Как мы помним, у векторов еще есть и направление. Это покажет стрелка:

• стрелка направлена вправо и вверх, то координаты $x$ (абсцисса) и $y$ (ордината) будут положительны,
• влево и вниз — отрицательны.

Что абсолютно логично. Так как право — это сторона увеличения (мы пишем слева направо, числа на числовой прямой справа больше, чем слева), а вверх — это рост.

Соответственно, вниз и влево — уменьшение, поэтому перед числовым значением нужно поставить знак «минус».

Причем, не имеет значения, в какой четверти расположен вектор. Мы смотрим, в какую из сторон «смотрит» стрелка, и по ней определяем знак координаты. Поэтому векторы обычно изображают в первой четверти.

Рассмотрим рисунок:

• Вектор $\vec{a}$ имеет длину $3$ клетки, значит, его координата по иксу — $(3)$, стрелка «смотрит» вправо, значит, $(+3)$. По высоте у него $2$ клетки, следовательно, по оси $y$ координата $(2)$, стрелка вверх — $(+2)$ $\Rightarrow$ $\vec{a} = (3; 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ — две клетки в длину, стрелка вправо — координата по оси $x$: $(+2)$. Высота — три клетки, стрелка вниз — координаты по $y$: $(-3)$ $\Rightarrow$ $\vec{b} = (2; -3)$.
• Вектор $\vec{c}$ — влево и вниз $\Rightarrow$ $\vec{с} = (-3; -1)$.
• Вектор $\vec{f}$ — влево, вверх $\Rightarrow$ $\vec{f} = (-3; 2)$.

Все эти координаты векторов можно проверить по формуле, приведенной выше, и убедиться в правильности. Проверьте это самостоятельно.

Обратите внимание на векторы $e$ и $d$, которые расположены в $IV$ четверти. Стрелка вектора $\vec{e}$ направлена строго вверх и не отклонена ни вправо, ни влево. Это значит, что координата по оси икс равна нулю, а по игреку — $(+2)$ (вверх на две клетки) $\Rightarrow$ $\vec{e} = (0; 2)$.

Вектор $\vec{d}$, соответственно, имеет координаты $(-4; 0)$.

{"questions":[{"content":"Вычислите координаты векторов $\\vec{S_1}$, $\\vec{S_2}$ и $\\vec{S_3}$ по клеткам.[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/koordinatytest5.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\vec{S_1} = (4; 0)$, $\\vec{S_2} = (0; 6)$, $\\vec{S_3} = (-6; -4)$.","$\\vec{S_1} = (4; 0)$, $\\vec{S_2} = (0; 6)$, $\\vec{S_3} = (6; 4)$.","$\\vec{S_1} = (2; 0)$, $\\vec{S_2} = (0; 3)$, $\\vec{S_3} = (-3; -2)$.","$\\vec{S_1} = (0; 2)$, $\\vec{S_2} = (3; 0)$, $\\vec{S_3} = (3; 2)$."],"answer":[0]}},"hints":["Обратите внимание на единичный отрезок: одна клетка равна двум единицам.","Вектор $\\vec{S_1}$ направлен строго вправо, значит, его ордината равна нулю, а абсцисса — (4).<br />Вектор $\\vec{S_2}$ направлен строго вверх, значит, его абсцисса равна нулю, а ордината — (6).<br />Стрелка вектора $\\vec{S_3}$ направлена влево и вниз, следовательно и абсцисса, и ордината будут отрицательны — (-6; -4).<br /><br />Ответ: $\\vec{S_1} = (4; 0)$, $\\vec{S_2} = (0; 6)$, $\\vec{S_3} = (-6; -4)$."]}]}

Это интересно

Векторы издавна применялись в морском деле: навигаторы использовали их для вычисления курса судна, объединяя «ветер» и «течение» как два вектора. Тогда никто не знал термина «вектор», но все уже пользовались его смыслом.

Координаты вектора позволяют переводить геометрию на язык чисел. То, что раньше нужно было чертить, теперь можно просто посчитать. Благодаря этому геометрические задачи становятся алгебраическими, а значит, решаются быстрее и точнее.

Именно поэтому координатный способ изучения векторов считается мостом между геометрией и алгеброй.

На практике координаты векторов лежат в основе большинства современных технологий. При строительстве они помогают рассчитывать положение конструкций и направление нагрузок.

В физике — описывать движение тел, силы и ускорения.

В компьютерных программах и играх — управлять каждым объектом на экране, будь то точка, персонаж или самолет.

Интересно, что тот же принцип используется и в трехмерном моделировании: чтобы оживить объект, компьютер меняет его координаты — именно так создаются анимации, спецэффекты и виртуальные миры.

Таким образом, понятие координат вектора объединяет математику, физику и современные технологии. Оно позволяет говорить на одном языке о самых разных явлениях — от движения корабля до работы компьютерной графики.

Часто задаваемые вопросы