Длина вектора и отрезка. Координаты середины отрезка. Задачи

Мы познакомились с координатами вектора и освоили операции, которые позволяют легко их использовать в вычислениях. Осталось добавить несколько полезных инструментов, связанных с расстояниями и положением точек.

На этом уроке узнаем, как вычислять длину вектора по его координатам. А также научимся находить координаты его середины.

Эти приемы часто встречаются в задачах и позволяют обходиться без дополнительных построений.

Длина вектора и отрезка

Когда мы учились определять координаты вектора, то раскладывали его по двум неколлинеарным векторам, где строили, по сути, прямоугольный треугольник.

Один катет идет по оси $x$, другой — по оси $y$, а сам вектор играет роль «наклонной стороны» и имеет координаты: $\vec{a} = (x; y)$.

Поэтому длину вектора (его модуль) можно воспринимать как длину гипотенузы прямоугольного треугольника.

Следовательно, чтобы ее найти, нужно применить теорему Пифагора, где катеты будут играть роль координат вектора, а гипотенуза — длину самого вектора:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

То же самое работает и для вектора, заданного точками. Если известны точки с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то сначала находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$$\vec{AB} = (x_2 -x_1; y_2 -y_1).$$

Затем вычисляем его длину. То есть, если вектор задан координатами точек, то его длина вычисляется по формуле:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$.

Заметим, что при вычислении модуля (длины) вектора, его координаты возводятся в квадрат. Поэтому не имеет значения, какие координаты из каких (начала или конца) вычитать.
Ведь $(x_{2} -x_{1})^{2} = (x_{1} -x_{2})^{2}$ — любое число в квадрате неотрицательно.

Данная формула носит название «расстояние между двумя точками», поэтому она справедлива для нахождения длины любого отрезка по координатам его концов. И записывается она так:

$d = \sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$, где $d$ — длина отрезка, а $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты его концов.

{"questions":[{"content":"Найдите длину вектора $\\vec{AB}$, если $A(-3; 2)$, $B(5; -4)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10$","$\\sqrt{68}$","$2\\sqrt{15}$","$14$"],"answer":[0]}},"hints":["Используйте формулу для нахождения модуля вектора по координатам точек:<br />$|\\vec{AB}| = \\sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$.","$|\\vec{AB}| = \\sqrt{(5 -(-3))^{2} + (-4 -2)^{2}} = \\sqrt{8^2 + (-6)^2} = \\sqrt{64 + 36} = 10$.<br /><br />Ответ: $10$."]}]}

Координаты середины отрезка

Когда мы смотрим на вектор как на отрезок, у которого есть начало и конец с собственными координатами, часто нужно понять, какие координаты имеет его середина.

Потому что середина — это точка, которая находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка.

Такие вычисления могут понадобиться, например для того, чтобы вычислить координаты центра окружности, если нам известны координаты концов диаметра.

Поскольку точка $O$ является серединой отрезка $AB$, то логично предположить, что координаты точки $O(x; y)$ — есть среднее арифметическое координат точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$.

Если даны точки $A(x_{1}; y_{1})$ и $B(x_{2}; y_{2})$, то координаты точки $O$ — середины отрезка $AB$ — равны
$$O \left(\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2};\ \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}\right).$$

Доказательство

Скрыть

Пусть середина отрезка $AB$ — точка $O(x; y)$. Точка $A$ имеет координаты $(x_1; y_1)$, а точка $B$ — координаты $(x_2; y_2)$.

Если точка $O$ — середина отрезка $AB$, то $\vec{AO} = \vec{OB}$.

Вычислим координаты этих векторов:

$\vec{AO} = (x -x_{1}; y -y_{1})$, $\vec{OB}(x_{2} -x; y_{2} -y)$.

Так как $\vec{AO} = \vec{OB}$, приравняем соответствующие координаты:

$x -x_{1} = x_{2} -x$, $y -y_{1} = y_{2} -y$.

Выразим из первого равенства $x$, а из второго — $y$:

$x = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}$, $y = \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}$.

Таким образом, координаты точки $O(x; y)$, середины отрезка $AB$, где $A(x_{1}; y_{1})$ и $B(x_{2}; y_{2})$, равны

$$x = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}, y = \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Найдите координаты середины отрезка $AB$, если $A(-6; 3)$ и $B(2; -5)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-2; -1)$","$(-4; -4)$","$(-3; -1)$","$(-2; -4)$"],"answer":[0]}},"hints":["Воспользуйтесь формулой середины отрезка:<br />$x = \\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}$, $y = \\dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}$.","Подставьте координаты и вычислите:<br />$x = \\dfrac{-6 + 2}{2} = -2$, $y = \\dfrac{3 + (-5)}{2} = -1$.<br /><br />Ответ: $(-2; -1)$."]}]}

Задачи на нахождение длин сторон и координаты точки

Рассмотрим некоторые примеры задач, чтобы понять как используется формула нахождения длины отрезка по координатам.

Решение

Скрыть

Решение

Скрыть

Дано: $A(-3; 2)$, $x_{B} = 5$, $AB = 10$.

Найти: $y_{B}$.

Используем формулу расстояния между точками и подставим в нее известные значения:

${AB} = \sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$.

$10 = \sqrt{(5 -(-3))^{2} + (y_{B} -2)^{2}}$.

Упростим выражение и возведем обе части в квадрат:

$10 = \sqrt{64 + (y_{B} -2)^{2}}$,

$100 = 64 + (y_{B} -2)^{2}$.

Получим неполное квадратное уравнение:

$(y_{B} -2)^{2} = 36$.

Следовательно, возможны два случая:

$y_{B} -2 = 6$ или $y_{B} -2 = -6$.

Отсюда:

$y_{B} = 8$ или $y_{B} = -4$.

Получилось два значения ординаты, потому что точек на расстоянии $10$ от $A$ при фиксированной абсциссе $5$ существует две: одна лежит выше точки $A$, другая — ниже.

Обе они находятся на одной вертикальной прямой $x = 5$ и равноудалены от точки $A$, поэтому условию задачи подходят оба варианта.

Ответ: $y_1 = -4$, $y_2 = 8$.

{"questions":[{"content":"Выберите верную формулу для длины отрезка $d$, если его концы имеют координаты $A(x_{1}; y_{1})$ и $B(x_{2}; y_{2})$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$d = \\sqrt{(x_{2} -x_{1})^{2} + (y_{2} -y_{1})^{2}}$","$d = \\sqrt{(x_{2} + x_{1})^{2} -(y_{2} + y_{1})^{2}}$","$d = \\sqrt{(x_{2} -x_{1}) + (y_{2} -y_{1})}$","$d = \\sqrt{(x_{2} + x_{1}) -(y_{2} + y_{1})}$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что длина вектора вычисляется по теореме Пифагора.","В формуле должны быть квадраты разностей по каждой координате."]}]}

Задачи на нахождение координаты середины отрезка

Также рассмотрим две задачи, чтобы понять, в каких случаях и как применять формулу на нахождение координаты середины отрезка.

Решение

Скрыть

Решение

Скрыть

Дано: $A(2; -1)$, $B(-4; 3)$, $C(6; 5)$.

Найти: длину медианы $BM$.

Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому найдем координаты середины стороны $AC$ — точки $M$. Для этого используем формулу середины отрезка:

$\left(\dfrac{x_{A} + x_{C}}{2}; \dfrac{y_{A} + y_{C}}{2}\right)$.

Подставим координаты точек $A$ и $C$:

$M\left(\dfrac{2 + 6}{2}; \dfrac{-1 + 5}{2}\right) = (4; 2)$.

Теперь вычислим длину медианы $BM$ с помощью формулы расстояния между точками:

$BM = \sqrt{(x_{M} -x_{B})^{2} + (y_{M} -y_{B})^{2}}$.

Подставим координаты точек $B(-4; 3)$ и $M(4; 2)$:

$BM = \sqrt{(4 -(-4))^{2} + (2 -3)^{2}} = \sqrt{8^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$.

Ответ: $BM = \sqrt{65}$.

{"questions":[{"content":"Выберите верную формулу для координат середины отрезка $AB$, если $A(x_{1}; y_{1})$ и $B(x_{2}; y_{2})$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left(\\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2}; \\dfrac{y_{1} + y_{2}}{2}\\right)$","$\\left(\\dfrac{x_{1} -x_{2}}{2}; \\dfrac{y_{1} -y_{2}}{2}\\right)$","$\\left(x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}\\right)$","$\\left(\\dfrac{x_{2} -x_{1}}{2}; \\dfrac{y_{2} -y_{1}}{2}\\right)$"],"answer":[0]}},"hints":["Координата середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.","Правильная формула включает сумму координат, деленную на $2$."]}]}

Это интересно

Векторы кажутся простыми стрелками на координатной плоскости, но на самом деле это один из самых универсальных инструментов, которые придумало человечество. И чем дальше развивается техника, тем важнее становятся идеи, которые мы используем в обычных задачах.

Сегодня векторы встречаются буквально везде.

Ваш телефон определяет местоположение с помощью нескольких спутников, и каждая точка, которую он получает, — это решение системы уравнений с векторами расстояний в трехмерном пространстве.

Компьютерные игры строят движение персонажей и работу камеры на нормированных векторах направления, а тени и освещение считаются по вектору света.

Даже в живой природе можно увидеть векторную логику.

Пчелы, выполняя свой «танец», передают направление к цветам через угол между двумя направлениями — почти так же, как мы описываем угол между векторами.

Наш мозг тоже работает с направлениями: нейроны в зрительной коре реагируют на векторные характеристики линий и форм, и именно это помогает нам узнавать предметы.

В цифровом мире векторы встречаются не только в картинках, но и в звуке.

Музыку представляют как набор многомерных векторов, и благодаря этому работают фильтры, эффекты и обработка аудиосигналов.

Даже маршрутизация в интернете использует векторные представления расстояний между узлами сети, чтобы находить наиболее быстрый путь для передачи данных.

И все это — продолжение тех самых идей, с которыми мы работаем на уроках: длина, направление, координаты, углы. Небольшие формулы превращаются в язык, на котором описывается движение света, сигналов, объектов и информации в современном мире.

Часто задаваемые вопросы