Координаты вектора

В этом тесте собраны основные задания по теме координат вектора. Он охватывает несколько важных вопросов: как определить координаты вектора, как разложить его по двум неколлинеарным векторам, как вычислить длину вектора и длину отрезка, а также как найти координаты середины отрезка.

Вопросы теста помогут систематизировать материал и проверить, насколько уверенно вы ориентируетесь в основных формулах и способах вычислений.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Как в лемме формулируется связь между коллинеарными ненулевыми векторами $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec{b} = k\\vec{a}$","$\\vec{b} = \\vec{a} + k$","$\\vec{b} = \\vec{a} -k$","$\\vec{b} = k -\\vec{a}$"],"answer":[0]}},"hints":["В лемме сказано, что если векторы коллинеарны, то один выражается через другой умножением на некоторое число."],"id":"0"},{"content":"Как влияет знак числа $k$ в равенстве $\\vec{b} = k\\vec{a}$ на вектор $\\vec{b}$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Если $k > 0$ — векторы сонаправлены; если $k < 0$ — направлены в противоположные стороны.","От знака $k$ ничего не зависит.","Если $k < 0$, вектор $\\vec{b}$ становится короче; если $k > 0$ — длиннее.","Если $k = 0$, вектор $\\vec{b}$ поворачивается на $90^{\\circ}$."],"answer":[0]}},"hints":["Число $k$ задает направление полученного вектора.","Если $k > 0$ — векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$сонаправлены; если $k < 0$ — противоположно направлены."],"id":"0"},{"content":"За что отвечает коэффициент $k$ в равенстве $\\vec{b} = k\\vec{a}$?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["Только за длину вектора $\\vec{b}$.","Только за направление вектора $\\vec{b}$.","За длину и за направление вектора $\\vec{b}$.","Ни за что, это просто число в записи."],"answer":[2]}},"hints":["Если $k > 1$, вектор $\\vec{b}$ становится длиннее $\\vec{a}$; если $0 < k < 1$ — короче.","Знак числа $k$ также отвечает за направление: при $k > 0$ векторы сонаправлены, при $k < 0$ — противоположно направлены."],"id":"1"},{"content":"Что утверждает лемма о коллинеарных ненулевых векторах $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-60]]","widgets":{"choice-60":{"type":"choice","options":["Коллинеарные векторы можно записать в виде: $\\vec{b} = k\\vec{a}$.","Коллинеарные векторы должны иметь одинаковые координаты.","Коллинеарные векторы всегда равны по длине.","Коллинеарные векторы существуют только при $k > 0$."],"answer":[0]}},"hints":["В лемме говорится, что один вектор получается из другого умножением на число.","$\\vec{b} = k\\vec{a}$ — это и есть условие коллинеарности."],"id":"1"},{"content":"Что означает разложить вектор $\\vec{v}$ по двум неколлинеарным векторам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-91]]","widgets":{"choice-91":{"type":"choice","options":["Записать $\\vec{v}$ в виде $k\\vec{a} + m\\vec{b}$, где $k$ и $m$ — некоторые числа.","Найти длину $\\vec{v}$ по длинам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.","Построить $\\vec{v}$ параллельно $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.","Сделать $\\vec{v}$ равным одному из этих векторов."],"answer":[0]}},"hints":["Разложение — это представление вектора через два других вектора с коэффициентами.","Смысл разложения: подобрать такие числа $k$ и $m$, чтобы сумма $k\\vec{a} + m\\vec{b}$ совпала с вектором $\\vec{v}$."],"id":"2"},{"content":"Сколько разных пар чисел $k$ и $m$ подходит для разложения вектора $\\vec{v}$ по двум неколлинеарным векторам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-133]]","widgets":{"choice-133":{"type":"choice","options":["Только одна пара.","Две пары.","Бесконечно много пар.","Всегда больше двух пар."],"answer":[0]}},"hints":["Если векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$ неколлинеарны, каждое разложение соответствует строго одной паре чисел."],"id":"2"},{"content":"Можно ли получить две разные пары коэффициентов $k$ и $m$ в разложении $\\vec{v}$ по неколлинеарным векторам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-181]]","widgets":{"choice-181":{"type":"choice","options":["Нет, пара всегда одна.","Да, могут быть две пары.","Да, их бесконечно много.","Это зависит от длины $\\vec{v}$."],"answer":[0]}},"hints":["Для неколлинеарных векторов разложение задается однозначно.","Один вектор — одна пара коэффициентов."],"id":"3"},{"content":"Что нужно сделать для разложения вектора $\\vec{v}$ по двум неколлинеарным векторам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$?[[choice-245]]","widgets":{"choice-245":{"type":"choice","options":["Подобрать числа $k$ и $m$, при которых вектор $\\vec{v}$ сложится из направлений $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.","Найти длину $\\vec{v}$ по длинам $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.","Построить $\\vec{v}$ так, чтобы он был параллелен $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$.","Разделить $\\vec{v}$ на длину одного из данных векторов."],"answer":[0]}},"hints":["Разложение — это выбор таких коэффициентов для векторов $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$, чтобы при их сложении получился $\\vec{v}$."],"id":"3"},{"content":"Какими латинскими буквами обозначают единичные векторы на координатной плоскости?[[choice-333]]","widgets":{"choice-333":{"type":"choice","options":["$\\vec{i}$ и $\\vec{j}$","$\\vec{a}$ и $\\vec{b}$","$\\vec{u}$ и $\\vec{k}$","$\\vec{p}$ и $\\vec{q}$"],"answer":[0]}},"hints":["Эти буквы стоят в алфавитном порядке.","По оси $Ox$ берут $\\vec{i}$, а по оси $Oy$ — $\\vec{j}$."],"id":"4"},{"content":"Как выглядит разложение вектора $\\vec{v} = (x; y)$ по единичным векторам $\\vec{i}$ и $\\vec{j}$?[[choice-427]]","widgets":{"choice-427":{"type":"choice","options":["$\\vec{v} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$","$\\vec{v} = \\vec{i} + \\vec{j}$","$\\vec{v} = x\\vec{j} + y\\vec{i}$","$\\vec{v} = x + y$"],"answer":[0]}},"hints":["Для оси $Ox$ — $\\vec{i}$, а по оси $Oy$ — $\\vec{j}$.","Коэффициенты $\\vec{i}$ и $\\vec{j}$ умножаются соответственно на координаты $x$ и $y$.<br /><br />Ответ: $\\vec{v} = x\\vec{i} + y\\vec{j}$."],"id":"4"},{"content":"Как найти координаты вектора $\\vec{AB}$, если заданы точки с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$[[choice-542]]","widgets":{"choice-542":{"type":"choice","options":["$(x_2 -x_1; y_2 -y_1)$","$(x_1 + x_2; y_1 + y_2)$","$(x_1 -x_2; y_1 -y_2)$","$(x_1 \\cdot x_2; y_1 \\cdot y_2)$"],"answer":[0]}},"hints":["Координаты вектора находят вычитанием координат начала вектора из координат конца.","$(x_2 -x_1)$ — по оси $x$, $(y_2 -y_1)$ — по оси $y$."],"id":"5"},{"content":"Вычислите координаты вектора $\\vec{CD}$.[[image-668]][[choice-713]]","widgets":{"image-668":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/9-01-3.svg","width":"299"},"choice-713":{"type":"choice","options":["$(-2; -3)$","$(2; -3)$","$(-2; 3)$","$(2; 3)$"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы вычислить координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты начала.","Вектор $\\vec{CD} = (-4 -(-2); 2 -5) = (-2; -3)$."],"id":"5"},{"content":"Вычислите координаты вектора $\\vec{S_3}$.[[image-879]][[choice-932]]","widgets":{"image-879":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/koordinatytest6.svg","width":"299"},"choice-932":{"type":"choice","options":["$(4; 6)$","$(6; 4)$","$(3; 2)$","$(2; 3)$"],"answer":[0]}},"hints":["Обратите внимание на величину единичного отрезка.<br />Одна клетка соответствует двум единицам.","Координаты вектора находят как разность координат его конца и начала:<br />$S_3 = (12 -8; 12 -6) = (4; 6)$.<br /><br />Ответ: $(4; 6)$."],"id":"6"},{"content":"Как найти координаты вектора $\\vec{DE}$, если $D(x_1; y_1)$, а $E(x_2; y_2)$?[[choice-1112]]","widgets":{"choice-1112":{"type":"choice","options":["$(x_2 -x_1; y_2 -y_1)$","$(x_1 -x_2; y_1 -y_2)$","$(x_1 + x_2; y_1 + y_2)$","$(x_1 \\cdot x_2; y_1 \\cdot y_2)$"],"answer":[0]}},"hints":["Для координат вектора используют разность координат его конца и начала.","Вектор $\\vec{DE} = (x_2 -x_1; y_2 -y_1)$."],"id":"6"},{"content":"Что можно сказать о знаках координат вектора, если его стрелка направлена вправо и вниз?[[choice-1304]]","widgets":{"choice-1304":{"type":"choice","options":["$x > 0; y < 0$","$x > 0; y > 0$","$x < 0; y < 0$","$x < 0; y > 0$"],"answer":[0]}},"hints":["Вправо и вверх — положительные координаты по обеим осям; влево и вниз — отрицательное.","Вправо — положительное направление оси $Ox$, вниз — отрицательное направление оси $Oy$."],"id":"7"},{"content":"Что можно сказать о знаке координат вектора, если его стрелка направлена влево и вверх?[[choice-1494]]","widgets":{"choice-1494":{"type":"choice","options":["$x < 0; y > 0$","$x > 0; y > 0$","$x < 0; y < 0$","$x > 0; y < 0$"],"answer":[0]}},"hints":["Вправо и вверх — положительные координаты по обеим осям; влево и вниз — отрицательное.","Влево — отрицательное направление оси $Ox$, вверх — положительное направление оси $Oy$."],"id":"7"},{"content":"По какой формуле можно вычислить длину отрезка $AB$, если $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$?[[choice-1696]]","widgets":{"choice-1696":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{(x_2 -x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$","$(x_2 -x_1)(y_2 -y_1)$","$|x_2 -x_1| + |y_2 -y_1|$","$\\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Разности $(x_2 -x_1)$ и $(y_2 -y_1)$  это длины катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB$.","Воспользуйтесь теоремой Пифагора: <br />$AB = \\sqrt{(x_2 -x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$."],"id":"8"},{"content":"Как найти координаты середины отрезка $AB$, если $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$?[[choice-1946]]","widgets":{"choice-1946":{"type":"choice","options":["$\\left(\\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \\dfrac{y_1 + y_2}{2}\\right)$","$(x_2 -x_1; y_2 -y_1)$","$(x_1 + x_2; y_1 + y_2)$","$\\left(\\dfrac{x_2 -x_1}{2}; \\dfrac{y_2 -y_1}{2}\\right)$"],"answer":[0]}},"hints":["Середина — это точка, у которой обе координаты являются средними арифметическими соответствующих координат $A$ и $B$.","Среднее арифметическое двух координат получается путем их сложения и деления на $2$."],"id":"8"},{"content":"Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Как можно записать ее координаты, если $A(x_1; y_1)$, а $B(x_2; y_2)$?[[choice-2248]]","widgets":{"choice-2248":{"type":"choice","options":["$M\\left(\\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \\dfrac{y_1 + y_2}{2}\\right)$","$M(x_2 -x_1; y_2 -y_1)$","$M\\left(\\dfrac{x_1 + x_2}{2}; y_1 + y_2\\right)$","$M\\left(x_1 + x_2; \\dfrac{y_1 + y_2}{2}\\right)$"],"answer":[0]}},"hints":["Координаты середины находят как средние арифметические соответствующих координат точек $A$ и $B$.","При вычислении среднего арифметического используются суммы $(x_1 + x_2)$ и $(y_1 + y_2)$, а затем деление на $2$."],"id":"9"},{"content":"Как найти длину вектора $\\vec{a} = (x; y)$?[[choice-2466]]","widgets":{"choice-2466":{"type":"choice","options":["$|\\vec{a}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$","$|\\vec{a}| = (x + y)^2$","$|\\vec{a}| = |x| + |y|$","$|\\vec{a}| = \\sqrt{x + y}$"],"answer":[0]}},"hints":["Координаты $x$ и $y$ можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника.","Длина вектора — это гипотенуза, которую находят по теореме Пифагора."],"id":"9"}],"mix":1}</textarea></pre></div>