Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

На предыдущих уроках мы научились складывать, вычитать и умножать векторы на число. Теперь попробуем сделать обратное действие — представить один вектор как разложение на два других вектора.

Другими словами, покажем, что если существуют три вектора, то всегда один из них можно представить в виде суммы двух других.

Лемма о коллинеарных векторах

Для начала вспомним, что коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Чтобы лучше понять, как раскладывается один вектор при помощи двух других, сформулируем и докажем лемму (утверждение, которое используется для доказательства других теорем) о коллинеарных векторах.

Лемма
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a}\ne\vec{0}$ , то существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.

Доказательство

Скрыть

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Тогда они либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Рассмотрим случай, когда оба вектора сонаправлены. Тогда если разделить длину (модуль) одного вектора на длину другого, мы получим некоторое число. Назовем его $k$.

То есть $k=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$, отсюда $\vec{b}=k\vec{a}$ и $k > 0$.

Если векторы противоположно направлены, то $k=-\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ (один из противоположно направленных векторов имеет знак «минус»).

Следовательно, $\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = -k$ и $\vec{b}=k\vec{a}$, где $k < 0$.

Как видно, умножение $\vec{a}$ на положительное число сохраняет направление и масштабирует длину, а умножение на отрицательное число добавляет переворот направления. И в обоих случаях векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ получаются сонаправленными.

Следовательно, существует такое $k$, что $\vec{b}=k\vec{a}$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Верно ли, что если $\\vec{b}=k\\vec{a}$, то $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$ обязательно коллинеарны?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет","Только если $k > 0$","Только если $k < 0$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что умножение вектора на число изменяет только его длину, а при отрицательном числе - длину и направление.","Если один вектор можно получить из другого умножением на число, то они лежат на одной или параллельных прямых."]}]}

Разложение вектора

Если два вектора не лежат на одной прямой, то они задают всю плоскость. И любой другой вектор в этой плоскости можно «собрать» из них, прибавив один к другому с некоторыми коэффициентами.

Это и называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам.

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Любой вектор $\vec{a}$, лежащий с ними в одной плоскости, можно представить в виде
$\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа.

Чтобы понять, о чем в данном определении идет речь, рассмотрим рисунок.

На изображении мы видим три неколлинеарных вектора. Попробуем сложить $\vec{b}$ и $\vec{c}$, чтобы получился вектор $\vec{a}$ по правилу треугольника.

Для этого совместим начало вектора $\vec{c}$ с концом вектора $\vec{b}$, а начало вектора $\vec{a}$ с началом вектора $\vec{b}$. Именно этого требует от нас правило треугольника (использовать мы можем только параллельный перенос, угол наклона вектора менять нельзя).

Как видно, суммы векторов у нас не получилось. Но очевидно, что если немного укоротить вектор $\vec{b}$, то данная сумма могла бы и образоваться.

Именно это возможно сделать с помощью леммы о коллинеарных векторах.

{"questions":[{"content":"Что можно сделать, чтобы из $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$ «собрать» вектор $\\vec{a}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Изменить угол между ними.","Перенести начало векторов в одну точку.","Изменить длины $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$ с помощью чисел $x$ и $y$.","Сложить векторы в обратном порядке."],"answer":[2]}},"hints":["Сами направления векторов $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$, а также их угол наклона менять нельзя — они задают плоскость. Изменять можно только их длины.","Если немного «растянуть» или «укоротить» каждый из векторов, то их сумма как раз даст нужный $\\vec{a}$."]}]}

Коэффициенты разложения

Теперь у нас есть понимание — что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам. То есть нам нужно увеличить или уменьшить исходные векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на некоторые числа $x$ и $y$ так, чтобы была возможность сложить из них некий вектор $\vec{a}$.

Но сколько таких чисел $x$ и $y$, если нам даны три вектора определенной длины и направления? Оказывается существуют только единственные значения для чисел $x$ и $y$.

Теорема
Любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения будут единственными.
$\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа.

Доказательство

Скрыть

{"questions":[{"content":"Почему разложение вектора по двум неколлинеарным векторам можно выполнить только одним способом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что для каждого вектора можно подобрать только одну пару коэффициентов.","Потому что направление векторов меняется при умножении на коэффициент.","Потому что длины неколлинеарных векторов различны.","Потому что если изменить коэффициенты, получится уже другой вектор."],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, что произойдет, если предположить, что один и тот же вектор можно разложить по-разному.","Разность двух таких разложений дала бы нулевой вектор, а это возможно только при одинаковых коэффициентах."]}]}

Это интересно

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам — это, по сути, первый шаг к системе координат.

Именно так когда-то математики научились описывать положение точки на плоскости с помощью чисел. Эту идею впервые предложил Рене Декарт в XVII веке, положив начало аналитической геометрии.

Если взять два неколлинеарных вектора под прямым углом, то их обычно называют базисными, а коэффициенты при них — координатами вектора.

Таким образом, понятие разложения лежит в основе всей координатной системы, которой мы пользуемся до сих пор.

И в жизни этот прием используется постоянно:

• когда навигатор определяет, где вы находитесь (по осям «восток — север»),
• когда физики раскладывают силу на горизонтальную и вертикальную составляющие,
• или когда графический редактор задает движение объекта сразу по двум направлениям.

Именно благодаря такому разложению мы можем описывать движение, направление и положение точно, с помощью чисел, а не «на глаз».

Часто задаваемые вопросы