Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

На предыдущих уроках мы научились складывать, вычитать и умножать векторы на число. Теперь рассмотрим, как представить один вектор через два данных вектора.

Другими словами, любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векторов, то есть их суммы с числовыми коэффициентами.

Лемма о коллинеарных векторах

Для начала вспомним, что ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Чтобы лучше понять, как раскладывается один вектор при помощи двух других, сформулируем и докажем лемму (утверждение, которое используется для доказательства других теорем) о коллинеарных векторах.

Лемма
Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a}\ne\vec{0}$, то существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.

Доказательство

Скрыть

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Если $\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{b}=0\cdot\vec{a}$. Если $\vec{b}\ne\vec{0}$, то коллинеарные ненулевые векторы сонаправлены или противоположно направлены.

Рассмотрим случай, когда оба вектора сонаправлены. Тогда если разделить длину (модуль) одного вектора на длину другого, мы получим некоторое число. Назовем его $k$.

То есть $k=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$, отсюда $\vec{b}=k\vec{a}$ и $k > 0$.

Если векторы противоположно направлены, то $k=-\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ и коэффициент $k$ отрицателен.

Следовательно, $\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = -k$ и $\vec{b}=k\vec{a}$, где $k < 0$.

Как видно, умножение $\vec{a}$ на положительное число сохраняет направление и изменяет длину вектора, а умножение на отрицательное число — изменяет направление на противоположное.

То есть при $k>0$ векторы сонаправлены, а при $k<0$ — противоположно направлены.

Следовательно, существует такое $k$, что $\vec{b}=k\vec{a}$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Верно ли, что если $\\vec{b}=k\\vec{a}$, то $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$ обязательно коллинеарны?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет","Только если $k > 0$","Только если $k < 0$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что умножение вектора на число изменяет только его длину, а при отрицательном числе - длину и направление.","Если один вектор можно получить из другого умножением на число, то они лежат на одной или параллельных прямых."]}]}

Разложение вектора

Если два вектора неколлинеарны, то они задают плоскость. И любой другой вектор можно представить в виде суммы этих векторов, умноженных на коэффициенты.

Это и называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам.

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Любой вектор $\vec{a}$, лежащий с ними в одной плоскости, можно представить в виде
$\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа.

Чтобы понять, о чем в данном определении идет речь, рассмотрим рисунок.

На рисунке векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны. Вектор $\vec{a}$ требуется разложить по векторам $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Для этого совместим начало вектора $\vec{c}$ с концом вектора $\vec{b}$, а начало вектора $\vec{a}$ с началом вектора $\vec{b}$. Именно этого требует от нас правило треугольника (использовать мы можем только параллельный перенос, угол наклона вектора менять нельзя).

Как видно, получить вектор $\vec{a}$ как сумму данных векторов пока не удалось. Чтобы получить вектор $\vec{a}$, необходимо изменить длины данных векторов с помощью числовых коэффициентов.

{"questions":[{"content":"Что можно сделать, чтобы из $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$ «собрать» вектор $\\vec{a}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Изменить угол между ними.","Перенести начало векторов в одну точку.","Изменить длины $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$ с помощью чисел $x$ и $y$.","Сложить векторы в обратном порядке."],"answer":[2]}},"hints":["Сами направления векторов $\\vec{b}$ и $\\vec{c}$, а также их угол наклона менять нельзя — они задают плоскость. Изменять можно только их длины.","Если немного «растянуть» или «укоротить» каждый из векторов, то их сумма как раз даст нужный $\\vec{a}$."]}]}

Коэффициенты разложения

Теперь мы понимаем, что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам. То есть нам нужно умножить исходные векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ на коэффициенты $x$ и $y$ так, чтобы их сумма была равна вектору $\vec{a}$.

Оказывается, существуют единственные значения для коэффициентов $x$ и $y$.

Доказательство

Скрыть

{"questions":[{"content":"Почему разложение вектора по двум неколлинеарным векторам можно выполнить только одним способом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что для каждого вектора можно подобрать только одну пару коэффициентов.","Потому что направление векторов меняется при умножении на коэффициент.","Потому что длины неколлинеарных векторов различны.","Потому что если изменить коэффициенты, получится уже другой вектор."],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, что произойдет, если предположить, что один и тот же вектор можно разложить по-разному.","Разность двух таких разложений дала бы нулевой вектор, а это возможно только при одинаковых коэффициентах."]}]}

Это интересно

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам служит основой для введения системы координат.

Именно так когда-то математики научились описывать положение точки на плоскости с помощью чисел. Развитие аналитической геометрии в XVII веке связано прежде всего с работами Рене Декарта и Пьера Ферма.

В старших классах такую пару неколлинеарных векторов называют базисом плоскости. Если они перпендикулярны, такой базис называют ортогональным.

Таким образом, понятие разложения лежит в основе всей координатной системы, которой мы пользуемся до сих пор.

И в жизни этот прием используется постоянно:

• когда навигатор определяет, где вы находитесь (по осям «восток — север»),
• когда физики раскладывают силу на горизонтальную и вертикальную составляющие,
• или когда графический редактор задает движение объекта сразу по двум направлениям.

Именно благодаря такому разложению мы можем описывать движение, направление и положение точно с помощью чисел, а не на глаз.

Часто задаваемые вопросы