Сложение векторов. Законы сложения векторов

Мы уже знакомы с понятием вектора: это отрезок, который имеет длину и направление. Знаем что такое модуль вектора. Научились определять, когда два вектора равны, сонаправлены или противоположны.

Теперь сделаем следующий шаг — изучим как объединять несколько векторов в один, то есть находить их сумму. Эта операция позволяет заменять действие нескольких векторов одним, эквивалентным им по действию и направлению.

Правило треугольника

Представим, что тело движется из точки $A$ в точку $B$, а затем из точки $B$ в точку $C$. Первое перемещение можно обозначить вектором $\vec{AB}$, второе — $\vec{BC}$.

Если теперь провести вектор $\vec{AC}$, соединяющий начало первого движения с концом второго, он покажет общее перемещение, равное (эквивалентное) всему движению.

Такой вектор $\vec{AC}$ показывает сумму двух векторов:

$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$$

Данное сложение векторов называется правилом треугольника.

Этим правилом можно воспользоваться при условии, что конец первого вектора совпадает с началом второго. То есть, если векторы расположены по другому, то правилом треугольника воспользоваться нельзя.

Рассмотрим изображения:

На первом рисунке векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют общее начало в точке $A$. Последовательного движения из $A$ в $B$ или из $B$ в $C$ не происходит, поэтому здесь мы не можем использовать правило треугольника.

Аналогично и на втором изображении, с той лишь разницей, что концы векторов сходятся в одной точке.

Чтобы сложить такие векторы по правилу треугольника, нужно переместить параллельным переносом один из векторов так, что конец одного будет являться началом другого.

При перемещении мы получим последовательное движение, и векторы снова можно сложить по правилу треугольника.

{"questions":[{"content":"Какое условие нужно выполнить, чтобы сложить два вектора по правилу треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Должны совпадать начала векторов.","Должны совпадать концы векторов.","Конец первого вектора должен совпадать с началом второго.","Векторы должны быть сонаправлены."],"answer":[2]}},"hints":["При сложении векторов по правилу треугольника должно быть последовательное движение.","Конец первого вектора должен совпадать с началом второго."]}]}

Правило параллелограмма

Как мы увидели, два вектора могут иметь начало в одной точке. И чтобы сложить такие векторы, не обязательно пользоваться параллельным переносом.

В таком случае их можно сложить по правилу параллелограмма.

Представим, что из точки A исходят два вектора — $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Если через концы этих векторов провести параллельные прямые, получится параллелограмм $ABCD$.

Причем мы можем перенести $\vec{AD}$ на сторону $BC$ параллельным переносом, так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Тогда, по правилу треугольника, суммой этих векторов будет являться диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$.

Следовательно, чтобы найти сумму двух векторов, выходящих из одной точки, нужно достроить их до параллелограмма и провести диагональ, исходящую из той же точки.

Значит, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Если векторы сходятся концами или находятся на некотором расстоянии друг от друга, нужно использовать параллельный перенос, чтобы было возможно воспользоваться одним из правил сложения.

{"questions":[{"content":"Чему равна сумма векторов $\\vec{AO}$ и $\\vec{DO}$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec{AB}$","$\\vec{AD}$","$\\vec{CD}$","$\\vec{AC}$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/11-1-optimized.jpg","width":"300"}},"hints":["Концы векторов сходятся, поэтому нужно воспользоваться параллельным переносом.","Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, $\\vec{DO} = \\vec{OB}$.","Следовательно, $\\vec{AO} + \\vec{DO} = \\vec{AO} + \\vec{OB} = \\vec{AB}$.<br /><br />Ответ: $\\vec{AB}$."]}]}

Правило многоугольника

Теперь у нас есть понимание, как сложить два вектора. Это можно сделать одним из способов — по правилу треугольника или параллелограмма.

Но в задачах часто встречаются случаи, когда нужно найти сумму трех или более векторов.

В этом случае применяется правило многоугольника.

Если векторы расположены так, что конец каждого совпадает с началом следующего, то их сумма изображается вектором, эквивалентным всему движению. Он также соединяет начало первого вектора и конец последнего.

Допустим, имеется последовательное перемещение из точки $A$ в $B$, из $B$ в $C$ и из $C$ в $D$.

Обозначим его векторами $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$. Тогда их общее перемещение выражается вектором $\vec{AD}$, то есть

$$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}.$$

Таким образом, правило многоугольника является естественным продолжением правила треугольника. Ведь треугольник можно считать частным случаем многоугольника, состоящего из трех сторон.

Если движение начинается и оканчивается в начальной точке, например $A$, то сумма таких векторов равна нулю (нулевому вектору).

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$.

{"questions":[{"content":"Человек прошел из пункта $A$ в $B$, затем в $C$, потом в $D$ и вернулся в $A$. Чему равна сумма всех векторов перемещения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec{AD}$","$\\vec{AA}$","$\\vec{AB}$","$\\vec{CD}$"],"answer":[1]}},"hints":["Если начало и конец пути совпадают, результирующий вектор равен нулевому.","Движение началось и закончилось в точке $A$, значит, сумма всех векторов равна нулю ($\\vec{AA} = 0$).<br /><br />"]}]}

Законы сложения векторов

При сложении векторов выполняются те же законы, что и при сложении обычных чисел, и называются законами сложения векторов.

Переместительный закон: от перестановки векторов местами их сумма не изменяется.

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Доказательство

Скрыть

Построим сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника.

Из точки $A$ отложим вектор $\vec{a}$, получим конец $B$. Из точки $B$ отложим вектор $\vec{b}$, получим точку $C$. Тогда $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Теперь построим сумму $\vec{b} + \vec{a}$. Из той же точки $A$ отложим вектор $\vec{b}$, получим конец $D$. Из точки $D$ отложим вектор $\vec{a}$, получим точку $C_1$, которая совпадет с точкой $C$.

Четырехугольник $ABC(C_1)D$ — параллелограмм, так как противоположные стороны равны и параллельны соответствующим векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Диагональ параллелограмма соединяет те же точки $A$ и $С(C_1)$, следовательно, $\vec{AC} = \vec{AC_1}$.

Отсюда $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.

Что и требовалось доказать.

Сочетательный закон: при сложении трех и более векторов не имеет значения, в каком порядке их складывать.

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.

Доказательство

Скрыть

Пусть из точки $A$ последовательно откладываются векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

После откладывания $\vec{a}$ получаем точку $B$, затем откладываем $\vec{b}$ и получаем точку $C$, после этого откладываем $\vec{c}$ и приходим в точку $D$.

Сумма $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ изображается вектором $\vec{AD}$, потому что $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$, а $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Следовательно, $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Если сложить в порядке $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$, то векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ дадут сумму $\vec{BD}$, и прибавив $\vec{a}$, снова получим $\vec{AD}$.

Таким образом, $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{AD}$.

Что и требовалось доказать.

Существование нулевого вектора:

К любому вектору можно прибавить нулевой вектор $\vec{0}$, и он не изменится.

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Нулевой вектор имеет нулевую длину и не имеет определенного направления, следовательно не может изменить исходный вектор.

Данные законы делают работу с векторами удобной: они позволяют упрощать построения и легко заменять группы векторов их суммой.

{"questions":[{"content":"Укажите верное равенство, выражающее сочетательный закон:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c})$","$\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$","$\\vec{a} + \\vec{b} + \\vec{c} = \\vec{0}$","$\\vec{a} + \\vec{0} = \\vec{a}$"],"answer":[0]}},"hints":["Неважно, какие два вектора сочетать и сложить первыми, — результат все равно будет один и тот же."]}]}

Это интересно

Первые рассуждения о сложении направленных отрезков встречаются еще у античных геометров. Однако в то время никто не называл их «векторами». Они просто замечали, что если из точки провести несколько направлений, то можно заменить их одним — эквивалентным по действию.

В XVII веке идея сложения направлений получила новое развитие в механике.

Галилей и Ньютон описывали движение тела под действием нескольких сил и фактически использовали правило параллелограмма задолго до появления самого слова «вектор».

Позже, в XIX веке, английский физик Уильям Гамильтон ввел обозначения и алгебраические операции для векторов, положив начало современной векторной алгебре.

Интересно, что в физике и сегодня понятие «равнодействующей силы» напрямую связано с геометрической суммой векторов.

А в морском деле и авиации навигационные карты по сути используют правило многоугольника: курс судна или самолета прокладывают с учетом ветра и течения, складывая направления и скорости как векторы.

А теперь представьте дрон, который получает команды: «лети $10$ метров с юга на север», «потом $10$ метров на восток», «и возвратись на юг».

Если нанести эти движения на схему, получится замкнутый треугольник, а значит, дрон вернется почти в ту же точку, откуда стартовал. Вот как наглядно работает правило сложения векторов даже в современных технологиях.

Часто задаваемые вопросы