Вектор. Равенство векторов

Понятие вектора вам уже знакомо из курса физики. В ней векторами обозначают силу, скорость, ускорение — все, у чего есть и величина, и направление.

В геометрии вектор рассматривается как направленный отрезок, который можно переносить по плоскости, не изменяя его длину и направление.

Что такое вектор

Представьте, что вы идете по школьному коридору. Если остановились, вы — точка. В данном случае вы являетесь нулевым вектором, потому что далее можете двигаться в любую сторону.

Если сделали шаг вперед, в сторону или назад — появилось направление и расстояние, то есть произошло движение. Вот это и есть то, что в математике называют вектором.

На чертежах вектор изображают стрелкой — начало стрелки показывает, откуда движемся, а конец — куда пришли.

На письме вектор обозначают стрелочкой над буквами: $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$.

Рассмотрим еще несколько примеров:

• Ветер дует с юга на север — можно нарисовать вектор, показывающий направление ветра.

• Автомобиль проехал из города $A$ в город $B$ — движение описывается вектором $\overrightarrow{AB}$.

• Сила, с которой мяч ударяют по воротам, тоже изображается вектором — ведь у нее есть направление и величина.

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец.

$\overrightarrow{AB}$ — это вектор, который начинается в точке $A$ и заканчивается в точке $B$.

Точку $A$ называют началом вектора, а точку $B$ — концом. Также векторы можно записывать и строчными латинскими буквами: $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$.

Стоит оговориться, что точка также является вектором. А так как у нее нет ни длины, ни направления, то считается, что ее начало совпадает с концом. Поэтому точку называют нулевым вектором и обозначают так: $\overrightarrow{AA} = 0$ (точка $A$), $\overrightarrow{BB} = 0$ (точка $B$), $\overrightarrow{DD} = 0$ (точка $D$).

{"questions":[{"content":"Что показывает вектор?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только длину","Только направление","Длину и направление","Только положение точки"],"answer":[2]}},"hints":["Стрелка указывает не просто «куда», но и «насколько далеко».","У математического вектора всегда две характеристики: длина и направление."]}]}

Коллинеарные векторы

После того как мы познакомились с понятием вектора, важно научиться сравнивать их расположения. Начнем с самого простого случая — коллинеарных векторов.

Два вектора называют коллинеарными, если их можно расположить на одной или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены в одну или в противоположную стороны и иметь одинаковую или разную длину. Рассмотрим изображение:

Векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ коллинеарны друг другу, так как лежат на одной прямой. Они также коллинеарны вектору $\overrightarrow{d}$, потому что он лежит на параллельной им прямой.

Пара векторов $\overrightarrow{PK}$ и $\overrightarrow{MN}$ коллинеарны друг другу, но не коллинеарны векторам $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{d}$.

Вектор $\overrightarrow{ZZ}$ (точка $Z$) коллинеарен абсолютно всем изображенным векторам, потому что из точки можно провести вектор в любом направлении. В том числе и параллельном данным векторам.

Коллинеарные векторы имеют свое обозначение. Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны, то записывают так:
$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}.$$

{"questions":[{"content":"Какие векторы называются коллинеарными?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Те, что равны по длине.","Те, что лежат на одной или на параллельных прямых.","Те, что имеют разное направление.","Те, что имеют одинаковое начало."],"answer":[1]}},"hints":["Коллинеарные векторы могут быть разной длины.","Главное, чтобы они лежали на одной или параллельных прямых."]}]}

Равенство векторов

Из вышесказанного становится понятно, что среди всех векторов существуют и равные. Может показаться, что те векторы, которые имеют одинаковую длину, называются равными, но это не так.

Изобразим три вектора одинаковой длины $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$:

Действительно, их длины равны. И есть особое понятие — длина вектора или его модуль (числовая характеристика). То есть в данном случае можно сказать, что $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}|$.

Но для равенства самих векторов этого не достаточно — ведь вектор имеет не только длину, но и направление. Поэтому, чтобы определить равные векторы, нужно ввести еще некоторые понятия.

Как мы увидели, коллинеарные векторы могут иметь разную длину и направление.

Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, их называют сонаправленными. Если же в противоположные, то — противоположно направленные.

Для их обозначения используют значки:

• сонаправленные векторы: $\overrightarrow{a}\ \uparrow\uparrow\ \overrightarrow{b}$,
• противоположно направленные: $\overrightarrow{a}\ \uparrow\downarrow\ \overrightarrow{b}$.

Векторы $\overrightarrow{a}\ \uparrow\uparrow\ \overrightarrow{b}\ \uparrow\uparrow\ \overrightarrow{c}\ \uparrow\uparrow\ \overrightarrow{d}$ — сонаправленные, пары вектров $\overrightarrow{m}\ \uparrow\downarrow\ \overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{p}\ \uparrow\downarrow\ \overrightarrow{k}$- противоположно направленные.

Итак, теперь мы можем точно определить, что такое равные векторы.

Векторы называют равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

То есть равные векторы полностью совпадают по направлению и по величине, и их можно совместить параллельным переносом.

Из рисунка видно, что все три вектора имеют одинаковую длину и направление. В этом случае данное равенство записывается так:

$$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}.$$

Равных векторов может быть бесконечное множество.

{"questions":[{"content":"Когда два вектора называют равными?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Когда они сонаправлены и имеют одинаковую длину.","Когда они противоположно направлены и имеют одинаковую длину.","Когда они имеют одинаковую длину.","Когда они сонаправлены и имеют разную длину."],"answer":[0]}},"hints":["Каждый вектор имеет две составляющие.","При совмещении равных векторов параллельным переносом, они совпадут полностью."]}]}

Это интересно

Слово «вектор» пришло из латинского языка и означает «несущий» или «переносчик».
Так называли все, что указывает путь — стрелу, ветер, движение.

Им называли человека, который что-то переносит из одного места в другое.
Так что вектор — это математический «курьер»: переносит точку из места $A$ в место $B$.

Первые векторы появились задолго до их математического определения. Египтяне, строившие пирамиды, пользовались направленными отрезками при разметке углов и наклонов. А древние мореплаватели чертили на картах стрелки ветра и течений — это тоже были векторы, только без формул.

В науку понятие вектора пришло из физики, как мы уже упомянули в начале урока.

Когда стало нужно описывать силу, скорость и направление движения, оказалось, что обычных чисел недостаточно.
Вектор стал универсальным языком для описания всего, что имеет направление и величину.

Сегодня векторы работают даже там, где вы их не замечаете:

• в компьютерной графике — чтобы двигать и поворачивать объекты;
• в навигации — чтобы показывать путь кораблей и самолетов;
• в играх и анимации — чтобы герои двигались естественно.

Современные исследования показывают, что понятие «направления + величина» (то есть «вектор») естественно возникает в экологии и нейробиологии — например, в миграции животных или распространении веществ.

Когда птицы летят клином, каждая держит направление и расстояние — у каждой есть свой вектор движения.

Когда рыбы плывут в стае или пчёлы возвращаются к улью, они тоже ориентируются по векторам — только не рисуют их, а чувствуют через зрение и внутренние сенсоры.

Даже мозг человека работает с векторами.
Например, когда мы идем по незнакомому месту и помним, куда свернули, наш мозг хранит вектор пути: куда и насколько мы переместились.

Поэтому векторы — это не только стрелки и формулы.
Это язык самой природы, который помогает всем живым существам ориентироваться, двигаться и возвращаться домой.

Часто задаваемые вопросы