Умножение вектора на число

На предыдущих уроках мы изучили сложение и вычитание векторов. Теперь рассмотрим новое действие — умножение вектора на число. Оно позволяет изменять длину вектора пропорционально выбранному числу и, в зависимости от знака, сохранять или изменять направление вектора.

Умножение на число

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на число. Так можно изменить длину вектора или поменять его направление на противоположное.

Представьте, что вектор показывает перемещение: его направление и длину. Если умножить вектор на $2$, вы идете в том же направлении, но в два раза дальше. Если умножить на $0{,}5$, вы пройдете только половину пути. А если на $(−1)$ — пойдете в противоположном направлении.

Если какой-либо вектор умножить на ноль, получится нулевой вектор. То есть, при $k = 0$ получаем $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$. Длина этого вектора равна $|\vec{0}|=0$.

{"questions":[{"content":"При каком значении числа $k$, на которое умножают вектор, его направление не изменится?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $k > 0$","При $k < 0$","При $k = 0$","При любом $k$"],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, как знак числа $k$ влияет на направление вектора.","Если $k > 0$, направление сохраняется. <br />Если $k < 0$, вектор меняет направление на противоположное. <br />При $k = 0$ вектор становится нулевым и не имеет направления."]}]}

Законы умножения вектора на число

Умножение вектора на число имеет собственные свойства, которые похожи на знакомые законы действий с числами, поэтому их легче запомнить.

1. Сочетательный закон
$$(k \cdot m)\vec{a} = k(m\vec{a})$$

Если вектор последовательно умножают на два числа, можно сначала перемножить эти числа, а потом умножить результат на вектор.

2. Распределительный закон относительно сложения чисел
$$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$$

Если вектор умножается на сумму чисел, это то же самое, что умножить его на каждое число отдельно и сложить результаты.

3. Распределительный закон относительно сложения векторов
$$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$$

Если умножить число на сумму векторов, то можно умножить на это число каждый вектор отдельно и сложить результаты.

Обратите внимание: на рисунке показано другое построение, потому что сначала каждый вектор умножают на число, а затем складывают полученные векторы (по правилу треугольника или параллелограмма).

Данный рисунок — иллюстрация для частного случая — $k = 2$, соответственно, векторы $\vec {a}$ и $\vec {b}$ увеличены вдвое.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$. Они подобны по двум углам:

• $ \angle A $ у них общий,
• $BC \parallel B_1C_1$, так как вектор $\vec{b}$ мы переносили параллельным переносом и удваивали его,
• $\angle ABC = \angle AB_1C_1$ как соответственные при $BC \parallel B_1C_1$, $AB_1$ — секущая.

Так как $AB_1 = 2 \cdot |\vec{a}|$, а $B_1C_1 = 2 \cdot |\vec{b}|$, то коэффициент подобия треугольников равен $2$. Поэтому $AC_1 = 2 \cdot |\vec{a} + \vec{b}|$.

Приведенный пример показывает, что при увеличении каждого вектора в два раза, их сумма также увеличивается вдвое. Это помогает понять логику распределительного закона.

Также существует и общее доказательство для всех значений $k$, но оно выглядит довольно громоздко, поэтому в данном уроке мы приводить его не будем.

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $(k + 1)\\vec{a}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$k\\vec{a} + \\vec{a}$","$k\\vec{a} + 1$","$k\\vec{a}$","$\\vec{a}(k + 1)$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, как умножение вектора распределяется по сумме чисел.","$(k + 1)\\vec{a} = k\\vec{a} + 1\\vec{a} = k\\vec{a} + \\vec{a}$."]}]}

Это интересно

История векторов началась не с геометрии, а с физики. В $1843$ году ирландский математик Уильям Гамильтон придумал особые числа — кватернионы, которые умели описывать направление и вращение в пространстве.

Открытие кватернионов стало важным этапом в развитии идей, из которых позднее сформировалась векторная алгебра.

Свое открытие Гамильтон сделал прямо во время прогулки по мосту в Дублине и, не найдя бумаги, вырезал формулу на камне:
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$.

Эта надпись напоминает об открытии кватернионов — важном этапе в развитии идей, которые позднее повлияли на формирование векторной алгебры.

Идеи кватернионов повлияли на развитие векторной алгебры. Позднее математики разработали более удобные способы работы с векторами для решения задач физики и геометрии.

Умножение на число позволяет изменять длину вектора, а при отрицательном множителе — и его направление.

Первые школьные учебники, где появились векторы, вышли только в XX веке. До этого считалось, что эта тема слишком сложна для школьников. Сегодня же без векторов не обходится ни один учебник по физике и геометрии.

Векторы используют, чтобы рассчитывать траектории самолетов и спутников, определять направление ветра, движение воды в океане и даже корректировать маршруты навигаторов.

Векторы широко используются в науке и технике, когда нужно описать движение, направление или силу.

Часто задаваемые вопросы