Умножение вектора на число

На предыдущих уроках мы изучили сложение и вычитание векторов. Теперь рассмотрим новое действие — умножение вектора на число. Оно позволяет изменять длину вектора пропорционально выбранному числу и, в зависимости от знака, сохранять или изменять направление вектора.

Умножение на число

Векторы умеют не только складываться и вычитаться, их можно также «масштабировать». Иногда нужно сделать вектор длиннее, иногда — короче, а когда-то и повернуть обратно. Именно для этого и существует умножение вектора на число.

Представьте, что вектор показывает путь: направление и расстояние. Если умножить его на $2$ — вы идете в том же направлении, но в два раза дальше. Если умножить на $0,5$ — проходите только половину пути. А если на $(−1)$ — идете в противоположном направлении.

Если какой-либо вектор умножить на ноль, получится нулевой вектор. То есть, при $k = 0$: $0 \cdot |\vec{a}| = \vec{0}$.

Такой вектор, как мы помним, «сжимается» в точку, и у него нет ни длины, ни направления.

{"questions":[{"content":"При каком значении числа $k$, на которое умножают вектор, его направление не изменится?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $k > 0$","При $k < 0$","При $k = 0$","При любом $k$"],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, как знак числа $k$ влияет на направление вектора.","Если $k > 0$, направление сохраняется. <br />Если $k < 0$, вектор меняет направление на противоположное. <br />При $k = 0$ вектор становится нулевым и не имеет направления."]}]}

Законы умножения вектора на число

Умножение вектора на число подчиняется тем же правилам, что и обычное умножение чисел. Это удобно: не нужно запоминать ничего нового, достаточно понять смысл.

1. Сочетательный закон
$$(k \cdot m)\vec{a} = k(m\vec{a})$$

Если вектор умножается на два числа подряд, порядок действий не важен: можно сначала перемножить числа, а потом умножить результат на вектор.

Другими словами: от перестановки множителей местами произведение не изменится.

2. Распределительный закон относительно сложения чисел
$$(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$$

Если вектор умножается на сумму чисел, это то же самое, что умножить его на каждое число отдельно и сложить результаты.

3. Распределительный закон относительно сложения векторов
$$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$$

Если одно и то же число умножается на сумму векторов, можно умножить его на каждый вектор и потом сложить полученные векторы.

Обратите внимание, здесь картинка изменится, так как мы сначала умножаем каждый вектор на число, а потом их складываем (по правилу треугольника или параллелограмма).

На данном изображении векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ увеличены вдвое, чтобы легко было понять почему при увеличении векторов в $k$ раз их сумма также увеличивается в $k$ раз.

Итак, рассмотрим треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$. Они подобны по двум углам:

• $ \angle A $ у них общий,
• $BC \parallel B_1C_1$, так как вектор $\vec{b}$ мы переносили параллельным переносом и удваивали его,
• $\angle ABC = \angle AB_1C_1$ как соответственные при $BC \parallel B_1C_1$, $AB_1$ — секущая.

Так как $AB_1 = 2 \cdot \vec{a}$, а $B_1C_1 = 2 \cdot \vec{b}$, то $AC_1 = 2 \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ с коэффициентом подобия $k = 2$.

Любые векторы можно переносить параллельным переносом, поэтому всегда будет существовать подобие треугольников, а значит, равенство $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ будет справедливо для любых значений $k$.

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $(k + 1)\\vec{a}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$k\\vec{a} + \\vec{a}$","$k\\vec{a} + 1$","$k\\vec{a}$","$\\vec{a}(k + 1)$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, как умножение вектора распределяется по сумме чисел.","$(k + 1)\\vec{a} = k\\vec{a} + 1\\vec{a} = k\\vec{a} + \\vec{a}$."]}]}

Это интересно

История векторов началась не с геометрии, а с физики. До середины XIX века ученые записывали направления сил и скоростей с помощью длинных формул. В $1843$ году ирландский математик Уильям Гамильтон придумал особые числа — кватернионы, которые умели описывать направление и вращение в пространстве.

Свое открытие он сделал прямо во время прогулки по мосту в Дублине и, не найдя бумаги, вырезал формулу на камне:
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$.

Эта надпись сохранилась в истории как момент рождения векторной алгебры.

Позже математики заметили, что для большинства задач кватернионы слишком громоздки, и выделили из них более простое понятие — вектор. С тех пор векторы стали универсальным языком для описания сил, скоростей и направлений.

Умножение на число оказалось самым удобным способом изменять длину вектора, не меняя его формы.

Первые школьные учебники, где появились векторы, вышли только в XX веке. До этого считалось, что эта тема слишком сложна для школьников. Сегодня же без векторов не обходится ни один учебник по физике и геометрии.

А в жизни они нужны, чтобы рассчитывать траектории самолетов и спутников, определять направление ветра, движение воды в океане и даже корректировать маршруты навигаторов.

Векторы используются во всех науках и технологиях, где нужно описать движение, направление или силу.

Часто задаваемые вопросы