Вычитание векторов

На прошлых уроках мы познакомились с понятием векторов и научились строить их сумму. Изучили правила треугольника и параллелограмма, которые показывают эквивалентный результат движения векторов.

Следующий шаг: разобраться с обратным действием — вычитанием векторов.

Разность векторов. Случай № 1

Вычитание векторов — не такое простое действие, как сложение. Но стоит записать разность в виде суммы, и смысл вычитания сразу проясняется.

Рассмотрим алгебраическую запись выражения разности двух векторов: $\vec{a} -\vec{b}$.

Данную разность можно записать в виде суммы: $\vec{a} + (-\vec{b})$. И теперь можно сложить данные векторы все по тем же правилам (треугольника или параллелограмма).

Вектор $(-\vec{b})$ равен по модулю (длине) вектору $\vec{b}$, но имеет противоположное направление.

Рассмотрим первый случай: начало второго вектора совпадает с концом первого (расположение «цепочкой»).

Допустим, у нас есть два вектора $\vec{a}$ (для удобства назовем его — первый, или уменьшаемый) и $\vec{b}$ (второй, или вычитаемый).

Требуется найти разность $\vec{a} -\vec{b}$. Для этого построим вектор $(-\vec{b})$.

Теперь мы получили обычную картину для сложения двух векторов. Суммой $\vec{a} + (-\vec{b})$ будет являться некий вектор $\vec{c}$, который соединяет начало вектора $\vec{a}$ и конец вектора $(-\vec{b})$ (правило треугольника).

Перенесем вектор $\vec{c}$ параллельным переносом в точку, где соединены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Из чертежа видно, что вектор $\vec{c}$ является диагональю параллелограмма.

{"questions":[{"content":"Куда направлен вектор разности, если построить его по правилу параллелограмма?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["От точки соединения векторов.","К точке соединения векторов.","В сторону противоположного конца второго вектора.","В сторону противоположного конца первого вектора."],"answer":[1]}},"hints":["Вектор разности направлен к той точке, где сходятся исходные векторы."]}]}

Разность векторов. Случай № 2 и № 3

Вернемся к чертежу, который мы рассматривали выше. На нем мы строили несколько параллельных переносов, чтобы понять, как будет выглядеть разность векторов — вектор $\vec{c}$.

Обратите внимание на пунктир, который изображает вектор $\vec{b}$. Его начало совпадает с началом вектора $\vec{a}$ (случай № 2). Значит, вектор $\vec{c}$ также будет являться их разностью.

Следовательно, если векторы сходятся своими началами, то их разностью будет некий вектор, который соединит их концы. А его направление — от конца второго вектора к концу первого.

Если обратить внимание на пунктир вектора $\vec{a}$, то видно, что теперь совпадают концы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (случай № 3), а вектор $\vec{c}$ по-прежнему выступает в роли их разности.

Если же векторы сходятся своими концами, то их разностью будет некий вектор, который соединит их начала. И его направление поменяется на противоположное — от начала первого вектора к началу второго.

Для полной ясности, обозначим вектора заглавными буквами: $\vec{AB}(1) -\vec{AC}(2) = \vec{CB}$ (случай, когда векторы сходятся своими началами).

$\vec{AB}(1) -\vec{CB}(2) = \vec{AC}$ (случай, когда векторы сходятся концами).

При вычитании равных векторов получится нулевой вектор, который не имеет ни длины, ни направления:
$\vec{a} -\vec{a} = \vec{0}$.

{"questions":[{"content":"Чему равна разность $\\vec{OC} -\\vec{OB}$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec{BC}$","$\\vec{CB}$","$\\vec{OD}$","$\\vec{DO}$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/11-1-optimized.jpg","width":"300"}},"hints":["Если векторы сходятся своими началами, то их разность соединяет их концы.","Направление разности будет идти из конца второго к концу первого вектора.<br /><br />Ответ: $\\vec{BC}$."]}]}

Параллель между сложением и вычитанием векторов

Чтобы до конца понять, как вычитать векторы, вспомним как они складываются. Ведь вычитание — это обратное действие сложению, поэтому все происходит наоборот.

Если векторы сходятся по «цепочке» (конец первого совпадает с концом второго), используем для их сложения правило треугольника: $\vec{AB}(1) + \vec{BC}(2) = \vec{AC}$.

Направление вектора $\vec{AC}$ — от начала первого к концу второго.

Когда векторы сходятся своими началами, для нахождения их суммы достраиваем их до параллелограмма и проводим диагональ. Эта диагональ и есть вектор суммы; она направлена от общей точки начал к противоположной вершине параллелограмма.

$$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$

Теперь о разности векторов.

Если векторы сходятся по «цепочке» (конец первого совпадает с концом второго), поступаем наоборот — достраиваем до параллелограмма и проводим диагональ. Она и будет являться разностью, а также поменяет свое направление — от противоположной вершины параллелограмма к общей точке начал.

$$\vec{AB} -\vec{BC} = \vec{DB}$$

А когда векторы сходятся своими началами, то чтобы найти их разность, используем правило треугольника (снова поступаем «наоборот»). И направление также изменим — от конца второго вектора к концу первого.

$$\vec{AB} -\vec{AC} = \vec{CB}$$

Иными словами, вы всегда сможете проверить себя на правильное построение вектора разности, если знаете правила сложения по треугольнику и параллелограмму.

Ведь $15 -3 = 12$, а проверка этого равенства: $15 = 12 + 3$.

Такую же проверку можно сделать и для векторов, так как для них справедлив переместительный закон. То есть, если $\vec{AB} -\vec{AC} = \vec{CB}$, то $\vec{AB} = \vec{CB} + \vec{AC}$.

{"questions":[{"content":"Как можно убедиться, что разность векторов построена правильно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сложить вектор разности с вычитаемым и сравнить с уменьшаемым — они должны совпасть.","К вектору разности прибавить уменьшаемый и сравнить с вычитаемым — они должны совпасть.","Сложить уменьшаемый и вычитаемый и сравнить с вектором разности — они должны совпасть.","К вычитаемому прибавить уменьшаемый и сравнить с разностью — они должны совпасть."],"answer":[0]}},"hints":["Разность проверяют через сумму: $(\\text{разность}) + (\\text{вычитаемый}) = (\\text{уменьшаемый})$."]}]}

Это интересно

Само понятие разности векторов появилось не сразу. В древности векторы не рассматривались как отдельные математические объекты — их роль выполняли направленные отрезки на картах и схемах движения.

Идея «отнять одно направление от другого» возникла только в XIX веке, когда математики начали выражать векторы через координаты.

Интересно, что понятие разности напрямую связано с переносом векторов: если два вектора равны, их можно перемещать в пространстве, не меняя результата.

Именно поэтому геометрическое построение вычитания не зависит от того, где расположены векторы — важно только направление и длина.

Сегодня, выполняя вычитание векторов, мы не просто решаем задачу, а учимся видеть разницу направлений и величин. Такое упражнение развивает пространственное мышление, помогает лучше понимать координатную геометрию и уверенно работать с построениями.

А еще оно учит искать связь между чертежом и рассуждением — видеть не только линии, но и смысл, стоящий за ними.

Часто задаваемые вопросы