Действия над векторами

В этом тесте собраны задания сразу по трем темам: сложение, вычитание и умножение вектора на число.

Они помогут проверить, насколько уверенно вы умеете работать с векторами: строить их по правилам треугольника или параллелограмма, находить разность и применять законы умножения вектора на число.

Здесь важно не просто запомнить формулы, а понять, как работают направления векторов и их коэффициенты.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Что нужно сделать, чтобы сложить два вектора по правилу треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отложить второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого, и провести вектор из начала первого в конец второго.","Отложить второй вектор так, чтобы его начало совпало с началом первого, и провести вектор из конца первого в конец второго.","Отложить второй вектор так, чтобы его конец совпал с концом первого, и провести вектор из начала первого в начало второго.","Отложить второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого, и провести вектор из конца второго в начало первого."],"answer":[0]}},"hints":["Второй вектор откладывают от конца первого.","Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго."],"id":"0"},{"content":"Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно…[[choice-19]]","widgets":{"choice-19":{"type":"choice","options":["Отложить два вектора из одной точки, достроить их до параллелограмма и провести вектор из их общей точки к противоположной вершине (по диагонали).","Отложить два вектора из одной точки, достроить их до параллелограмма и провести вектор из противоположной вершины к общей точке (в обратном направлении).","Отложить два вектора из одной точки, достроить их до параллелограмма и провести вторую диагональ, соединяющую концы векторов.","Отложить два вектора из одной точки, достроить их до параллелограмма и взять одну из его сторон в качестве суммы."],"answer":[0]}},"hints":["Сумма двух векторов, исходящих из одной точки, — это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, и выходит она из той же точки.","Эта диагональ направлена от общей точки начала векторов к противоположной вершине."],"id":"0"},{"content":"Чему равна сумма векторов $\\vec{AB}$ и $\\vec{AD}$?[[image-41]][[choice-54]]","widgets":{"image-41":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/11-1-optimized.jpg","width":"300"},"choice-54":{"type":"choice","options":["$\\vec{AC}$","$\\vec{DB}$","$\\vec{AO}$","$\\vec{BC}$"],"answer":[0]}},"hints":["Если два вектора выходят из одной точки, они образуют стороны параллелограмма. Их сумма — это диагональ, проведенная из той же точки.","Эта диагональ направлена от общей точки начала векторов к противоположной вершине.<br /><br />Ответ: $\\vec{AC}$."],"id":"1"},{"content":"Чему равна сумма векторов $\\vec{OB}$ и $\\vec{OC}$?[[choice-100]][[image-109]]","widgets":{"choice-100":{"type":"choice","options":["$\\vec{AB}$","$\\vec{CD}$","$\\vec{BC}$","$\\vec{AC}$"],"explanations":["","Не является суммой, так как направлен в противоположную сторону.","",""],"answer":[0]},"image-109":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/11-1-optimized.jpg","width":"300"}},"hints":["Перенесите параллельным переносом вектор $\\vec{OC}$ и совместите его с вектором $\\vec{AO}$.","Теперь становится возможным сложить векторы $\\vec{AO}$ и $\\vec{OB}$ по правилу треугольника:<br /><br />$\\vec{AO} + \\vec{OB} = \\vec{OC} + \\vec{OB} = \\vec{AB}$.<br /><br />Ответ: $\\vec{AB}$."],"id":"1"},{"content":"На чертеже изображены три вектора. Какой из вариантов является верным?[[image-239]][[choice-268]]","widgets":{"image-239":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/8-01.svg","width":"300"},"choice-268":{"type":"choice","options":["$\\vec{a} -\\vec{b} = \\vec{c}$","$\\vec{c} -\\vec{b} = \\vec{a}$","$\\vec{b} -\\vec{a} = \\vec{c}$","$\\vec{c} -\\vec{a} = \\vec{b}$"],"answer":[0]}},"hints":["Действие вычитания можно проверить сложением.","По правилу треугольника: $\\vec{c} + \\vec{b} = \\vec{a}$.<br />Следовательно, $\\vec{c} = \\vec{a} -\\vec{b}$.<br /><br />Ответ: $\\vec{a} -\\vec{b} = \\vec{c}$."],"id":"2"},{"content":"Выберите верный вариант ответа, исходя из предложенного чертежа.[[image-409]][[choice-446]]","widgets":{"image-409":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/7-01.svg","width":"300"},"choice-446":{"type":"choice","options":["$\\vec{a} -\\vec{c} = \\vec{b}$","$\\vec{c} -\\vec{a} = \\vec{b}$","$\\vec{b} -\\vec{a} = \\vec{c}$","$\\vec{c} -\\vec{b} = \\vec{a}$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте действие вычитания действием сложения.","При сложении векторов по правилу треугольника, получим: <br />$\\vec{b} + \\vec{c} = \\vec{a}$.<br /><br />Значит, $\\vec{b} = \\vec{a} -\\vec{c}$."],"id":"2"},{"content":"Что происходит с вектором при умножении его на число $k$?[[choice-590]]","widgets":{"choice-590":{"type":"choice","options":["Меняется только длина вектора, а направление остается тем же (если $k > 0$).","Меняется только направление, а длина остается прежней.","Меняются и длина, и направление независимо от знака числа.","Вектор превращается в число."],"answer":[0]}},"hints":["При умножении на положительное число вектор растягивается при (при $k > 1$) или сжимается (при $0 < k < 1$), но не меняет своего направления.","Если число отрицательное, вектор получает противоположное направление."],"id":"3"},{"content":"Дан вектор $\\vec{a}$, длина которого $5\\text{ см}$. Чему равен вектор $-2\\vec{a}$?[[choice-720]]","widgets":{"choice-720":{"type":"choice","options":["Вектору длиной $10\\text{ см}$, направленному в ту же сторону, что и $\\vec{a}$.","Вектору длиной $2{,}5\\text{ см}$, направленному в противоположную сторону вектору $\\vec{a}$.","Вектору длиной $10\\text{ см}$, направленному в противоположную сторону вектору $\\vec{a}$.","Вектору длиной $5\\text{ см}$ и направление не имеет значения."],"answer":[2]}},"hints":["Длина нового вектора равна $|k| \\cdot |\\vec{a}|$.","Если $k < 0$, вектор направлен в противоположную сторону."],"id":"3"},{"content":"Вычислите: $-3(\\vec{a} + \\vec{b}) + 4(\\vec{a} -\\vec{b}) -2(\\vec{a} + \\vec{b})$.[[choice-882]]","widgets":{"choice-882":{"type":"choice","options":["$-\\vec{a} -9\\vec{b}$","$-\\vec{a} -5\\vec{b}$","$-\\vec{a} + 3\\vec{b}$","$-\\vec{a} -\\vec{b}$"],"answer":[0]}},"hints":["Раскройте скобки, используя распределительный закон, и приведите подобные слагаемые.<br />","$-3(\\vec{a} + \\vec{b}) + 4(\\vec{a} -\\vec{b}) -2(\\vec{a} + \\vec{b}) = -3\\vec{a} -3\\vec{b} + 4\\vec{a} -4\\vec{b} -2\\vec{a} -2\\vec{b} = -\\vec{a} -9\\vec{b}$.<br /><br />Ответ: $-\\vec{a} -9\\vec{b}$.<br /><br />"],"id":"4"},{"content":"Вычислите: $5(\\vec{a} -\\vec{b}) -6(\\vec{a} -\\vec{b}) + 2(\\vec{b} -\\vec{a})$.[[choice-1179]]","widgets":{"choice-1179":{"type":"choice","options":["$-3\\vec{a} + 3\\vec{b}$","$3\\vec{a} + 3\\vec{b}$","$-3\\vec{a} — 3\\vec{b}$","$3\\vec{a} — 3\\vec{b}$"],"answer":[0]}},"hints":["Раскройте скобки, используя распределительный закон, и приведите подобные слагаемые.","$5(\\vec{a} -\\vec{b}) -6(\\vec{a} -\\vec{b}) + 2(\\vec{b} -\\vec{a}) = 5\\vec{a} -5\\vec{b} -6\\vec{a} + 6\\vec{b} + 2\\vec{b} -2\\vec{a} = -3\\vec{a} + 3\\vec{b}$.<br /><br />Ответ: $-3\\vec{a} + 3\\vec{b}$."],"id":"4"}],"mix":1}</textarea></pre></div>