Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

В курсе геометрии особое место занимает прямоугольный треугольник. Его стороны и углы связаны между собой определенными соотношениями, которые позволяют решать множество задач. Именно в прямоугольном треугольнике удобно рассматривать зависимости между его сторонами и острыми углами.

Прямой угол задает особые условия: гипотенуза всегда длиннее катетов, а два острых угла в сумме дают $90^\circ$. Благодаря этому катеты оказываются напрямую связаны с величиной углов, и эти соотношения не зависят от размера самого треугольника.

Сегодняшняя тема относится к разделу математики, который называется тригонометрия. Мы познакомимся с такими понятиями как синус, косинус, тангенс и котангенс — основными, из тригонометрических функций.

Эта тема напрямую связывает алгебру с геометрией. С ее помощью можно выражать геометрические зависимости с помощью формул и уравнений.

Синус острого угла

Под словом синус скрывается всего лишь отношение двух сторон прямоугольного треугольника. То есть это не новая фигура и не особая линия, а просто способ записать удобную связь между катетом и гипотенузой.

Как нам известно, стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия: те, которые образуют прямой угол, — катеты, а сторона, которая лежит напротив прямого угла, — гипотенуза.

Сейчас важно понимать именно взаимное расположение углов и сторон. Так, например, напротив угла $A$ лежит катет $BC$, напротив угла $B$ — катет $AC$. А напротив прямого угла $C$ — гипотенуза.

Такие углы и стороны называются противолежащими.

Если мы рассмотрим катет $AC$ относительно угла $A$, а катет $BC$ относительно угла $B$, то увидим, что каждый катет как бы «прилежит» к своему углу.

Поэтому такие углы и стороны называются прилежащими.

Теперь, когда мы разобрались со взаимным расположением сторон, можем ввести определение синуса (обозначается $ \sin$).

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$ \sin \alpha = \dfrac{a}{c}$,
где $a$ — катет, противолежащий углу $\alpha$, а $c$ — гипотенуза.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) даны катеты: $AC = 6 \\ см$, $BC = 8 \\ см$. Чему равен $\\sin B$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{5}$","$\\dfrac{4}{5}$","$\\dfrac{5}{3}$","$\\dfrac{5}{4}$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/5-01-24.svg","width":"300"}},"hints":["По определению: <br /><br />$\\sin_{угла} = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.","Найдите гипотенузу по теореме Пифагора: <br /><br />$AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \\ см$.","Противолежащий катет угла $B$ — $AC$. Следовательно, <br />$$\\sin B = \\dfrac{AC}{AB} = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}.$$<br /><br />Ответ: $\\sin B = \\dfrac{3}{5}$."]}]}

Косинус острого угла

Косинус ($\cos$) острого угла — также простое отношение сторон прямоугольного треугольника.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$ \cos \alpha = \dfrac{b}{c}$,
где $b$ — катет, прилежащий углу $\alpha$, а $c$ — гипотенуза.

Обратите внимание, что слова синус и косинус различаются между собой приставкой ко-, что неслучайно. Приставка co- в слове cos образована от английского complement — «дополнение».

В прямоугольном треугольнике два острых угла дополняют друг друга до $90^\circ$, поэтому если $A + B = 90^\circ$, то $ \sin A = \cos B $ и наоборот. Такие функции еще называют кофункциями.

И действительно, если рассмотреть прямоугольный треугольник $ABC$ у него:

$ \sin A = \dfrac{BC}{AB}$, а $ \cos B = \dfrac{BC}{AB}$ — отношения одинаковы, следовательно $ \sin A = \cos B $.

{"questions":[{"content":"Чему равен косинус острого угла прямоугольного треугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отношению прилежащего к этому углу катета и гипотенузы.","Отношению противолежащего к этому углу катета и гипотенузы.","Отношению гипотенузы и прилежащего к этому углу катета.","Отношению гипотенузы и противолежащего к этому углу катета."],"explanations":["","Это определение синуса острого угла.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Косинус связан с прилежащим катетом к острому углу.","Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе."]}]}

Тангенс и котангенс острого угла

Мы разобрали две из тригонометрических функций — $ \sin$ и $ \cos$. Они показывают отношение катета к гипотенузе.

Справедливо рассмотреть также и отношение самих катетов.

Отношение противолежащего катета острого угла к прилежащему называется тангенсом ($ \tg$), а прилежащего к противолежащему — котангенсом ($ \ctg$).
$ \tg \alpha = \dfrac{a}{b}$, $ \ctg \alpha = \dfrac{b}{a}$,
где $a$ — противолежащий, а $b$ — прилежащий к углу $\alpha$ катеты.

Функция котангенс не очень распространена, так как является взаимообратной тангенсу и они как бы находятся «друг в друге».

То есть, если значение тангенса равно $ \tfrac{3}{8}$, то значение котангенса — $ \tfrac{8}{3}$.
Если значение котангенса равно $2 = \tfrac{2}{1}$, то тангенса — $ \tfrac{1}{2}$.

Поэтому котангенс можно не рассматривать как самостоятельную функцию. Достаточно пользоваться равенством:

$ \ctg \alpha = \dfrac{1}{\tg \alpha}$.

Из данного равенства можно понять, что

$$ \tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1.$$

Теперь давайте попробуем составить отношения из синуса и косинуса, чтобы посмотреть что получится:

1. $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{a}{c} : \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{b} = \tg \alpha$;
2. $\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{c} : \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{a} = \ctg \alpha$.

Из увиденного можно сделать вывод: если разделить синус на косинус, получится тангенс, если наоборот — котангенс.

Следовательно, все тригонометрические функции связаны между собой. Значит, будут справедливы и формулы, которые показывают их взаимосвязь.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном треугольнике катет $a = 9 \\ см$, а $b = 12 \\ см$, гипотенуза $c = 15 \\ см$. Чему равен $\\tg \\alpha$?[[choice-1]][[image-4]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{4}$","$\\dfrac{4}{3}$","$\\dfrac{5}{3}$","$\\dfrac{3}{5}$"],"answer":[0]},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/8-01-18.svg","width":"300"}},"hints":["По определению $\\tg \\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{прилежащий катет}}$.","$\\tg \\alpha = \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{9}{12} = \\dfrac{3}{4}$.<br /><br />Ответ: $\\tg \\alpha = \\dfrac{3}{4}$."]}]}

Основное тригонометрическое тождество

Мы уже знаем, что синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике выражаются через катеты и гипотенузу, установили их взаимосвязь с тангенсом.

Возникает вопрос: можно ли найти связь между самим синусом и косинусом, не возвращаясь каждый раз к катетам?

Да, это возможно. Если подставить их определения и вспомнить теорему Пифагора, получится простое равенство, которое называют основным тригонометрическим тождеством.

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Доказательство

Скрыть

Пусть в прямоугольном треугольнике существуют катеты $a$, $b$ и гипотенуза $c$, угол $\alpha$ лежит напротив катета $a$.

Тогда по определению: $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$, $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$.

Возведем обе части равенств в квадрат и сложим их:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$.

По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Значит, $\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} = 1$.

Что и требовалось доказать.

Но есть путь короче. Чтобы вычислить тангенс, не обязательно знать значение обеих функций, а потом делить их друг на друга.

Если мы разделим основное тригонометрическое тождество на $\cos^2 \alpha$, то получим:

$\dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \dfrac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$.

В первой дроби получится $\tg^2 \alpha$, во втором — $1$. Таким образом получается прямая связь косинуса с тангенсом и новая формула:

$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Данная формула довольно популярна, поэтому что она помогает избежать лишних вычислений. Запомните ее, и она облегчит вам решение многих задач.

Попробуйте разделить тождество на $\sin^2 \alpha$ самостоятельно и получите новую формулу.

{"questions":[{"content":"Какая из формул является основным тригонометрическим тождеством?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$","$\\sin^2 \\alpha — \\cos^2 \\alpha = 1$","$\\sin^2 \\alpha + \\tg^2 \\alpha = 1$","$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 0$"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.","Если разделить на $c^2$ и заменить $\\dfrac{a}{c}$ на $\\sin \\alpha$, а $\\dfrac{b}{c}$ на $\\cos \\alpha$, получится нужная формула."]}]}

Это интересно

Обычно считают, что тригонометрию придумали древние греки. Но археологи нашли вавилонскую глиняную табличку (Plimpton $322$), которой больше трех тысяч лет. На ней записаны особые числа, описывающие стороны прямоугольных треугольников.

Это можно назвать прообразом тригонометрии, появившимся задолго до греков.

Позднее греческий ученый Гиппарх (II век до н. э.) составил первые таблицы отношений в треугольниках и ввел само понятие тригонометрия.

Его иногда называют «отцом тригонометрии».

Через несколько столетий индийские математики начали вычислять значения, которые мы сегодня называем синусами. Эти знания помогали им заниматься астрономией — предсказывать затмения и движение планет.

Спустя еще почти тысячу лет, в средневековом Востоке, тригонометрия получила новое дыхание. Персидский ученый Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) впервые стал рассматривать ее как самостоятельную науку, а не только как часть астрономии.

Даже само слово «синус» появилось не специально, а из-за ошибки перевода. Индийское слово «дуга» через арабский текст превратилось в латинское sinus, что означало «складка».

Так в математике появилось название, которое мы используем до сих пор. Итак, путь тригонометрии — от древних вавилонян до наших учебников — занял тысячи лет. Но все эти открытия объединяло одно: желание человека точнее измерять углы и расстояния.

Часто задаваемые вопросы