Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов

На прошлом уроке мы познакомились с такими тригонометрическими функциями как синус, косинус и тангенс острых углов. Эти понятия связаны с отношением длин сторон прямоугольного треугольника.

Длины сторон выражаются числами, следовательно и их отношения также имеют численные значения. Сегодня увидим, чему равны значения определенных углов этих функций и как это применяется в решении задач.

Углы в 30, 45 и 60 градусов

В тригонометрии есть несколько «особенных» углов — $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$. Их выбирают не случайно. Именно такие углы встречаются в определенных треугольниках, где стороны удобно выражаются через простые числа и корни.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Если провести высоту, появится угол $30^\circ$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны $45^\circ$.

Благодаря этому синусы, косинусы и тангенсы этих углов имеют красивые и легко запоминающиеся значения.

Углы вроде $70^\circ$ или $25^\circ$ таких простых соотношений не дают, поэтому для их вычисления нужны либо калькулятор, либо длинные формулы.

Существуют также таблицы Брадиса (советского математика-педагога), которые позволяют увидеть приблизительные значения тригонометрических функций для абсолютно всех углов.

{"questions":[{"content":"Какие углы в тригонометрии чаще всего используют, потому что для них легко найти значения синуса, косинуса и тангенса?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$25^\\circ$, $70^\\circ$, $80^\\circ$","$15^\\circ$, $30^\\circ$, $75^\\circ$","$30^\\circ$, $45^\\circ$, $60^\\circ$","$20^\\circ$, $40^\\circ$, $60^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Эти углы можно получить из равностороннего и равнобедренного прямоугольного треугольников."]}]}

Значения синуса 30 и косинуса 60 градусов

Вспомним яркую теорему о катете, который лежит напротив угла в $30^\circ$. Именно эта теорема дает толчок для всей тригонометрии.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

То есть, если в прямоугольном треугольнике острый угол равен $30^\circ$, то

$ \dfrac{a}{c} = \dfrac{1}{2}$, где $a$ — противолежащий этому углу катет, а $c$ — гипотенуза.

Почему данная теорема — это начало тригонометрии? Потому что из чертежа видно, что берется отношение противолежащего катета, углу в $30^\circ$, и гипотенузы, а это не что иное, как определение синуса.

Значит, данная теорема — это теорема о синусе угла $30^\circ$ и, если вы ее будете помнить, то всегда сможете выстроить тригонометрические значения для других нужных углов. Позже рассмотрим, как это можно сделать.

$\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$,
где $a$ — катет, лежащий напротив угла $\alpha$, а $c$ — гипотенуза.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

$$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}.$$

Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то другой — $60^\circ$. Из прошлого урока нам известно, что $\sin A = \cos B$, следовательно,

$$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.$$

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\sin 30^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0$","$ \\dfrac{1}{2}$","$ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$","$ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните теорему о катете, лежащем напротив угла в $30^\\circ$."]}]}

Синус и косинус 45 градусов

Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен $45^\circ$, то и другой угол равен $45^\circ$. Следовательно, такой треугольник будет являться также и равнобедренным, значит, его катеты будут равны.

А если равны катеты, то значение синуса $45^\circ$ будет равно значению косинуса $45^\circ$ (синус и косинус острого угла — это отношение катета к гипотенузе, здесь $a = b$).

Вспомним из более раннего урока: прямоугольный равнобедренный треугольник является половиной квадрата.

Значит, его гипотенуза будет являться диагональю этого квадрата и будет равна $a \sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата и катет треугольника.

Следовательно,

$$ \sin 45^\circ = \cos 45 ^\circ = \dfrac{a}{a \sqrt{2}} = \dfrac{1}{ \sqrt{2}}.$$

Поднимем иррациональность ($ \sqrt{2}$) из знаменателя:

$ \dfrac{1}{ \sqrt{2}} = \dfrac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}} = \dfrac{ \sqrt{2}}{2}$.

Таким образом,

$$ \sin 45^\circ = \cos 45 ^\circ = \dfrac{ \sqrt{2}}{2}.$$

{"questions":[{"content":"Почему $\\sin 45^\\circ = \\cos 45^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что $45^\\circ + 45^\\circ = 90^\\circ$.","Потому что в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны.","Потому что так записано в таблице значений Брадиса.","Потому что $45^\\circ$ — половина от $90^\\circ$."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что дает угол $45^\\circ$ в прямоугольном треугольнике.","В таком треугольнике катеты равны, поэтому отношения катета к гипотенузе для синуса и косинуса одинаковые."]}]}

Синус 60 и косинус 30 градусов

Как вы уже понимаете, значение синуса $60^\circ$ будет равно значению косинуса $30^\circ$.

$$ \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{ \sqrt{3}}{2}.$$

Чтобы доказать данное равенство, воспользуемся теоремой Пифагора.

Доказательство

Скрыть

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A = 60^\circ$. Тогда угол $B = 30^\circ$.

Примем катет $AC$, который лежит напротив угла $B = 30^\circ$, за $x$, тогда гипотенуза $AB = 2x$.

По теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{(2x)^2 -x^2} = \sqrt{4x^2 -x^2} = \sqrt{3x^2} = x \sqrt{3}.$

Составим отношение для синуса угла $A = 60^\circ$ и косинуса угла $B = 30^\circ$:

$ \sin A = cos B = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{x \sqrt{3}}{2x} = \dfrac{ \sqrt{3}}{2}$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\cos 30^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{1}{2}$","$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$","$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$","$1$"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните: $\\sin A = \\cos B$.","$ \\sin 60^\\circ = \\dfrac{ \\sqrt{3}}{2}$."]}]}

Синхронизация значений углов

Как же просто запомнить все значения для синуса и косинуса углов в $30$, $45$ и $60$ градусов?

Первое, о чем мы всегда должны помнить, — катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы (теорема о синусе $30^\circ$).

Угол $30^\circ$ — первый, если расставить углы в порядке возрастания. Значит,

$ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$.

Угол $45^\circ$ — второй по возрастанию. Значит,

$ \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $60^\circ$ — третий. Значит,

$ \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

То есть, если угол первый из трех по величине, то в числителе у значения синуса будет стоять $ \sqrt{1}$;

если второй — $ \sqrt{2}$;

если третий — $ \sqrt{3}$.

А в знаменателе всех трех значений находится $2$.

У косинуса — наоборот. Поэтому мы сначала можем в столбик записать значения синуса в порядке возрастания, а потом, начиная снизу, подписать в порядке возрастания углы с косинусом. Вот что у нас получится:

• $ \sin 30^\circ = \dfrac{ \sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2} = \cos 60^\circ$,
• $ \sin 45^\circ = \dfrac{ \sqrt{2}}{2} = \cos 45^\circ$,
• $ \sin 60^\circ = \dfrac{ \sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ$.

{"questions":[{"content":"Выберите правильные значения синуса для углов $30^\\circ$, $45^\\circ$ и $60^\\circ$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\sin 45^\\circ = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\sin 60^\\circ = \\dfrac{1}{2}$."],"answer":[0]}},"hints":["Начните с первого по величине угла: $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{1}{2}$.","Далее происходит синхронизация по возрастанию углов и числа, стоящего под корнем."]}]}

Значения тангенса 30, 45 и 60 градусов

Как мы знаем, тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему (по определению), а также синуса и косинуса (по формуле).

$$ \tg A = \dfrac{ \sin A}{ \cos A}.$$

Значения синуса и косинуса $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ нам известны, значит, мы можем вычислить значения тангенса для этих углов:

• $ \tg 30^\circ = \dfrac{ \sin 30^\circ}{ \cos 30^\circ} = \dfrac{1}{2} : \dfrac{ \sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{ \sqrt{3}} = \dfrac{1}{ \sqrt{3}} = \dfrac{ \sqrt{3}}{3}$;

• $ \tg 45^\circ = \dfrac{ \sin 45^\circ}{ \cos 45^\circ} = \dfrac{ \sqrt{2}}{2} : \dfrac{ \sqrt{2}}{2} = \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{2}{ \sqrt{2}} = 1$;

• $ \tg 60^\circ = \dfrac{ \sin 60^\circ}{ \cos 60^\circ} = \dfrac{ \sqrt{3}}{2} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{1} = \sqrt{3}$.

Можно заметить, что при делении синуса на косинус знаменатель $2$ всегда сокращается, поэтому у тангенса, в его значениях, фигурирует $ \sqrt{3}$.

Если угол равен $45^\circ$, то значение синуса равно значению косинуса, так как равны катеты прямоугольного треугольника. Поэтому значение тангенса будет равно $1$.

Запишем значения углов тангенса с помощью таблицы:

Итак, мы смогли вывести и синхронизировать значения всех тригонометрических функций для нужных нам углов, опираясь лишь на то, что катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы (теорема о синусе $30^\circ$).

Поэтому важно запомнить данное положение. Оно пригодится вам для дальнейшего изучения стереометрии и начала математического анализа в более старших классах.

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\tg 45^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$ \\sqrt{3}$","$ \\dfrac{1}{ \\sqrt{3}}$","$ \\dfrac{1}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Прямоугольный треугольник, у которого угол равен $45^\\circ$, является равнобедренным.","Тангенс — это отношение катетов. При равных катетах отношение будет равно $1$."]}]}

Не табличные значения

Подведя итог всему вышеизложенному, составим общую таблицу для всех значений тригонометрических функций.

Данные значения носят название — «табличные». Но бывают еще и не табличные значения. Например, если нам дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 5$, $b = 12$ и гипотенузой $c = 13$, то значения для всех тригонометрических функций составляются по их определению.

$\sin \alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{5}{13}$, $\cos \alpha = \dfrac{b}{c} = \dfrac{12}{13}$, $\tg \alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{12}$.

Сколько градусов составляют такие углы (с не табличными тригонометрическими значениями), возможно узнать при помощи интернета или посмотреть в таблице Брадиса.

В нашем случае, если $\sin \alpha = \dfrac{5}{13}$, то $\alpha \approx 23^\circ$.

{"questions":[{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты $a = 8$, $b = 15$, гипотенуза $c = 17$. Чему равен $\\cos \\alpha$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/6-01-22.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{8}{17}$","$\\dfrac{15}{17}$","$\\dfrac{17}{15}$","$\\dfrac{17}{8}$"],"answer":[1]}},"hints":["Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.","Прилежащий катет равен $15$, гипотенуза $17$, значит, $\\cos \\alpha = \\dfrac{15}{17}$."]}]}

Применение тригонометрии в решении задач

Рассмотрим два примера: один с углами, для которых есть табличные значения, и другой — с не табличными углами. Так мы увидим, зачем нужны табличные значения и как действовать, если их нет.

Решение

Скрыть

По условию задачи нам известен угол $A = 60^\circ$ и гипотенуза $AB = 2\sqrt{3}$.

1) Составим отношение для синуса угла $A$:

$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$, $ \sin 60^\circ = \dfrac{ \sqrt{3}}{2}$, а $AB = 2\sqrt{3}$. Значит, можно составить такое равенство:

$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{BC}{2\sqrt{3}}$.

Выразим $BC$:

$BC = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3$.

2) Составим отношение для косинуса угла $A$:

$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$, $ \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.

Составим равенство: $ \dfrac{1}{2} = \dfrac{AC}{2\sqrt{3}}$.

Выразим $AC$:

$AC = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $AC = \sqrt{3}$, $BC = 3$.

Решение

Скрыть

Так как $BH$ — высота, по условию, то треугольник $ABH$ — прямоугольный.

По определению тангенса:

$\tg A = \dfrac{BH}{AH} \Rightarrow AH = \dfrac{BH}{\tg A} = \dfrac{10}{\tfrac{4}{5}} = 10 \cdot \dfrac{5}{4} = 12{,}5$.

Проведем высоту $CH_1$.

По условию задачи, трапеция равнобокая, значит, $AH = H_1D = 12{,}5$ и $BC = HH_1 = 2 \Rightarrow AD = 2 \cdot 12{,}5 + 2 = 25 + 2 = 27$.

$S_{\text{трап}} = \dfrac{(AD + BC)}{2} \cdot h = \dfrac{27 + 2}{2} \cdot 10 = \dfrac{29}{2} \cdot 10 = 145$.

Ответ: $S_{ABCD} = 145$.

Для чего нужна тригонометрия?

Сегодня мы увидели, что тригонометрия связывает углы и стороны треугольника. Возникает вопрос: для чего она нам нужна?

Ответ прост: тригонометрия нужна тогда, когда мы хотим измерить то, до чего нельзя дотянуться линейкой.

Астрономы древности по углам измеряли расстояния до Луны и Солнца, определяли размеры Земли и предсказывали затмения. Все это делалось не линейкой, а именно с помощью соотношений углов и сторон в треугольниках.

Прошли века, и тригонометрия стала частью современных профессий. В строительстве она помогает рассчитать наклон крыши, угол лестницы или длину пролета моста. Ошибись в расчетах — и крыша станет неудобной или небезопасной, а лестница просто не встанет на место.

Сегодня мы почти не задумываемся об этом, но тригонометрия окружает нас в самых привычных вещах.

В компьютерных играх и анимации именно она отвечает за движение персонажей, появление теней, отражений и объемных эффектов. Без синусов и косинусов 3D-графика просто не существовала бы.

И наконец, самое близкое каждому — GPS в телефоне. Когда вы включаете навигатор, телефон получает сигналы от спутников и по углам рассчитывает ваше местоположение. Все это — те же самые формулы тригонометрии, только спрятанные внутри программы.

Итог: от древних астрономов до современных смартфонов тригонометрия остается инструментом, который помогает человеку измерять мир и управлять им.

Часто задаваемые вопросы