Как выразить неизвестную сторону

При $\angle C=90^\circ$ относительно угла $A$ катет $BC$ противолежащий, $AC$ прилежащий: $BC=AB\sin A$, $AC=AB\cos A$, $BC=AC\operatorname{tg} A$, $AC=\frac{BC}{\operatorname{tg} A}$. Неизвестное в числителе отношения находят умножением на знаменатель, в знаменателе — делением: $AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\cos A}$. При смене угла катеты меняются ролями: $\sin B=\frac{AC}{AB}$.

Третья сторона и проверка ответа

Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является наибольшей стороной. При $\angle C=90^\circ$: $AB^2=BC^2+AC^2$, $AB=\sqrt{BC^2+AC^2}$, $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$, $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$. Результат можно проверить другим способом. Против большего острого угла лежит больший катет; против угла $30^\circ$ — катет, равный половине гипотенузы.

Как найти угол по двум сторонам

Сначала вычислите отношение сторон: двух катетов — тангенс, катета и гипотенузы — синус или косинус выбранного угла. Затем по значению функции найдите угол по таблице, а второй острый угол — вычитанием из $90^\circ$. Для вычисления стороны при нетабличном угле значение функции берут из условия или приближенно из таблицы.

Высота равнобедренного треугольника

Высота к основанию образует два прямоугольных треугольника; боковая сторона в каждом — гипотенуза. Высота лежит против угла при основании: если боковая сторона равна $l$, а угол при основании равен $\alpha$, то $h=l\sin\alpha$.

Диагональ прямоугольника

Диагональ и две соседние стороны образуют прямоугольный треугольник; диагональ — гипотенуза. При диагонали $d$ и угле $\alpha$ между ней и одной стороной прилежащая сторона равна $d\cos\alpha$, противолежащая — $d\sin\alpha$.

Лестница, высота и тень

Вертикальная высота и горизонтальный отрезок земли — катеты; лестница или отрезок солнечного луча — гипотенуза. Если длина лестницы $l$, а угол с землей $\alpha$, то высота $h=l\sin\alpha$, расстояние от стены $s=l\cos\alpha$. Для столба с тенью длины $s$ и углом луча к земле $\alpha$: $h=s\operatorname{tg}\alpha$.