Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная

В более ранних уроках геометрии мы обсуждали взаимное расположение прямой и окружности. В этом материале кратко вспомним такие расположения, а также остановимся на свойствах касательной — особом положении прямой, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Три случая взаимного расположения прямой и окружности

В этом случае расстояние d от центра окружности до прямой будет больше радиуса самой окружности:

$$d > R$$

Внешняя прямая не имеет с окружностью общих точек.

В этом случае расстояние d от центра окружности до прямой будет меньше радиуса самой окружности:

$$d < R$$

Секущая имеет с окружностью ровно две общие точки.

В этом случае расстояние d от центра окружности до прямой будет равно радиусу самой окружности:

$$d = R$$

Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

{"questions":[{"content":"Как называется прямая, которая пересекает окружность?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Касательная","Секущая","Внешняя","Радиус"],"answer":[1]}},"hints":["У такой прямой есть две общие точки с окружностью."]}]}

Свойства касательной

Касательная обладает несколькими свойствами. Одно из ее важных свойств — она перпендикулярна радиусу.

То есть, если провести касательную к окружности и соединить точку касания с центром окружности, всегда получится прямой угол.

Данное свойство довольно активно используется при решении задач, потому что при дополнительных построениях можно получить прямоугольный треугольник.

Если из точки, которая находится за пределами окружности, провести две касательных, то можно обнаружить еще несколько полезных свойств:

• отрезки этих касательных от внешней точки до точек касания равны: $AM = BM$ (это свойство является одним из важных);
• равны углы между каждой касательной и прямой, соединяющей внешнюю точку с центром окружности: $ \angle AMO = \angle BMO$;
• углы, заключенные между касательными и радиусами, проведенными в точки касания, в сумме дают $180^\circ$: $ \angle AMB + \angle AOB = 180^\circ$.

{"questions":[{"content":"Как расположены касательная и радиус, проведенный в точку касания?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Под прямым углом.","Под острым углом.","Параллельно.","Они совпадают."],"answer":[0]}},"hints":["Радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной."]}]}

Часто задаваемые вопросы