Взаимное расположение окружностей

В предыдущих уроках мы рассмотрели взаимное расположение прямой и окружности. Теперь перейдем к похожей теме — взаимному расположению двух окружностей. Как и в случае с прямой, здесь тоже все зависит от расстояния между ними.

Поскольку обе линии замкнуты, вариантов взаимного расположения становится больше. На этом уроке мы изучим, в каких случаях окружности пересекаются, касаются или не имеют общих точек.

Непересекающиеся окружности

Бывают случаи, когда две окружности не имеют общих точек. При этом одна из них может располагаться вне другой или, наоборот, внутри нее. Оба варианта относятся к взаимному расположению окружностей. Рассмотрим, при каких условиях это возможно.

Если окружности не имеют общих точек, они могут быть внешне расположенными (лежат вне друг друга) или вложенными (одна находится внутри другой).

Внешне расположенные окружности

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$, а их радиусы — $R_1$ и $R_2$.

Если расстояние между центрами $O_1O_2$ больше суммы радиусов, то окружности не пересекаются и будут являться внешне расположенными, в этом случае одна окружность лежит полностью вне другой:
$O_1O_2 > R_1 + R_2$.

Для чего нужны данные соотношения между радиусами и центрами окружностей? Чтобы понимать какой чертеж построить для решения задачи. Ведь от правильно построенного чертежа зависит ход наших мыслей и исход самого решения.

Например, в одном из условий к задаче сказано, что расстояние между центрами окружностей равно $10 \ см$, а их радиусы равны $4 \ см$ и $5 \ см$.

Благодаря таким начальным условиям, мы можем понимать, что окружности находятся на некотором расстоянии друг от друга, то есть — не пересекаются.

Вложенные окружности

По названию «вложенные» окружности, можно понять, что одна окружность находится внутри другой. Чтобы такие окружности по-прежнему не пересекались и не касались друг друга, необходимо выполнение следующего условия:

$O_1O_2 < |R_1 -R_2|$, где $O_1O_2$ — расстояние между центрами окружностей, $R_1$ и $R_2$ — их радиусы.

Модульные скобки в данном выражении показывают, что не имеет значения от большего радиуса вы будете вычитать меньший или наоборот. Значение все равно останется неизменным.

Например: $|6 -4| = |4 -6| = 2$.

{"questions":[{"content":"Две окружности имеют радиусы $R_1 = 8 \\ см$ и $R_2 = 4 \\ см$. Расстояние между их центрами $O_1O_2 = 14 \\ см$.<br />Как расположены окружности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Пересекаются","Касаются внутренним образом","Вложенные","Внешне расположенные"],"answer":[3]}},"hints":["Сравните $O_1O_2$ с $R_1 + R_2$ и с $|R_1 -R_2|$.","$O_1O_2 > R_1 + R_2$, значит, окружности внешне расположенные."]}]}

Касающиеся окружности

Бывает, что две окружности имеют одну общую точку. В этом случае говорят, что они касаются. Точку, где окружности соприкасаются, называют точкой касания.

Подобно тому как касательная касается окружности лишь в одной точке, две окружности тоже могут касаться — только теперь обе «играют роль» окружностей, а не прямой и окружности. В зависимости от положения окружностей различают внешнее и внутреннее касание.

Внешнее касание

Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку и находятся вне друг друга. В этом случае расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$O_1O_2 = R_1 + R_2$.

В точке касания можно провести общую касательную, которая будет касаться обеих окружностей. Эта касательная перпендикулярна радиусам, проведенным в точку касания. То есть, если радиусы $O_1A$ и $O_2A$ проведены в точку касания $A$, то $O_1A \perp \text{касательной}$ и $O_2A \perp \text{касательной}$.

Так как окружности лежат вне друг друга, их центры $O_1, O_2$ и точка касания $A$ расположены на одной прямой.

Внутреннее касание

Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку, а одна окружность находится внутри другой.
В этом случае расстояние между центрами равно разности радиусов:
$O_1O_2 = |R_1 -R_2|$.

Через точку касания можно провести общую касательную, которая касается обеих окружностей. Эта касательная, как и в предыдущем случае, перпендикулярна радиусам, проведенным в точку касания: $O_1A \perp \text{касательной}$ и $O_2A \perp \text{касательной}$.

При внутреннем касании центры окружностей и точка касания также лежат на одной прямой, но теперь меньшая окружность расположена внутри большей.

{"questions":[{"content":"Какое условие будет выполняться при касании окружностей внешним образом, если $O_1O_2$ - расстояние между центрами, а $R_1$ и $R_2$ - радиусы окружностей?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$O_1O_2 = |R_1 -R_2|$","$O_1O_2 = R_1 + R_2$","$O_1O_2 > R_1 + R_2$","$O_1O_2 < |R_1 -R_2|$"],"explanations":["Верно для внутреннего касания.","","Данное условие справедливо для внешних, не касающихся и не пересекающихся окружностей.","Справедливо для вложенных окружностей."],"answer":[1]}},"hints":["Сравните расстояние между центрами с расстоянием от центров до точки касания.","$O_1O_2 = R_1 + R_2$."]}]}

Пересекающиеся окружности

Если две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. В этом случае расстояние между их центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности:
$∣R_1 -R_2∣ < O_1O_2 < R_1 + R_2$.

Если обозначить точки пересечения окружностей буквами $A$ и $B$, то хорда $AB$ называется общей хордой. Она перпендикулярна прямой, которая соединяет центры окружностей. А эта прямая, в свою очередь, делит общую хорду пополам.

Теорема
Прямая, проходящая через центры двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде и делит ее пополам.

Доказательство

Скрыть

Пусть окружности пересекаются в точках $A$ и $B$, а их центры — $O_1$ и $O_2$.
Соединим центры окружностей. Обозначим через $M$ точку пересечения прямой $O_1O_2$ с хордой $AB$.

В каждой из окружностей отрезок, соединяющий ее центр с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде, значит $O_1M \perp AB$ и $O_2M \perp AB$.

Через точку $M$ к прямой $AB$ проводится единственный перпендикуляр, следовательно, точки $O_1$, $M$, $O_2$ лежат на одной прямой.

Поэтому прямая $O_1O_2$ проходит через середину $M$ и перпендикулярна $AB$.

Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Что утверждает теорема о взаимном расположении общей хорды и центров окружностей?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Общая хорда делит радиусы пополам.","Прямая, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна общей хорде и делит ее пополам.","Общая хорда делит прямую, соединяющую центры окружностей, пополам.","Радиусы окружностей параллельны хорде."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что в каждой из окружностей отрезок, соединяющий ее центр с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде.","Прямая, проходящая через центры окружностей, перпендикулярна общей хорде и делит ее пополам."]}]}

Это интересно

Тема взаимного расположения окружностей оказалась настолько занимательной, что ее изучали не только математики, но и художники. Узоры из пересекающихся окружностей встречаются еще в древних орнаментах.

Один из самых известных — «Цветок жизни», состоящий из семи равных окружностей. Такие фигуры использовались в декоративном искусстве и архитектуре как символ гармонии и симметрии.

В геометрии исследование окружностей привело ко множеству удивительных открытий.

Например, теорема Микеля утверждает, что если на сторонах треугольника отметить по одной точке (взятой в любом месте) и через каждую пару точек провести окружности, то все три окружности пересекутся в одной общей точке.

Шесть окружностей, касающихся друг друга и сторонам треугольника, образуют цепь, возвращаясь к старту. Этот удивительный результат известен как теорема о шести окружностях.

Если построить цепочку из шести окружностей, каждая из которых касается двух сторон треугольника и соседней окружности, то последняя окружность снова коснется первой.

Такая цепочка окружностей непременно зацикливается на шестом шаге! Седьмая окружность совпадает с первой и, значит, мы получаем цепочку из шести окружностей, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.

Даже в пространстве окружности продолжают удивлять. При пересечении тора (фигуры, похожей на бублик) с наклонной плоскостью образуются две окружности — их называют окружностями Вилларсо. Они пересекаются особым образом и создают красивую пространственную форму.

Таким образом, даже простая на первый взгляд фигура — окружность — скрывает множество удивительных свойств и связей, а ее взаимное расположение с другими окружностями стало источником не только геометрических открытий, но и настоящего эстетического вдохновения.

Часто задаваемые вопросы