Решение прямоугольных треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, известны катет $BC = a$ и угол $A$. Гипотенуза $AB = x$ находится из равенства [[fill_choice-1]].","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fvmq3i9hyhvk.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\operatorname{tg} A = \\dfrac{a}{x}$","$\\sin A = \\dfrac{a}{x}$","$\\cos A = \\dfrac{a}{x}$","$\\sin A = \\dfrac{x}{a}$"],"answer":1}},"hints":["Катет $BC$ лежит против угла $A$. Какая функция угла связывает противолежащий катет и гипотенузу?","Синус: $\\sin A = \\frac{a}{x}$, откуда $x = \\frac{a}{\\sin A}$."],"explanation":"Косинус связан с прилежащим катетом, а $BC$ противолежит углу $A$; тангенс связывает два катета; в синусе гипотенуза стоит в знаменателе.","step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, известны катет $AC = b$ и угол $A$. Гипотенуза $AB = x$ находится из равенства [[fill_choice-2]].","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ba4bnx5pc8mx.svg"},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\operatorname{tg} A = \\dfrac{b}{x}$","$\\sin A = \\dfrac{b}{x}$","$\\cos A = \\dfrac{x}{b}$","$\\cos A = \\dfrac{b}{x}$"],"answer":3}},"hints":["Катет $AC$ прилежит к углу $A$. Какая функция угла связывает прилежащий катет и гипотенузу?","Косинус: $\\cos A = \\frac{b}{x}$, откуда $x = \\frac{b}{\\cos A}$."],"explanation":"Синус связан с противолежащим катетом, а $AC$ прилежит к углу $A$; тангенс связывает два катета; в косинусе гипотенуза стоит в знаменателе.","step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, угол $A$ равен $64^\\circ$. Найдите угол $B$ (в градусах). [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hm0xojnpb1zv.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Острые углы дают в сумме $90^\\circ$.","$\\angle B = 90^\\circ-64^\\circ = 26^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, угол $A$ равен $19^\\circ$. Найдите угол $B$ (в градусах). [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hrdbzbty12vi.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"71"}},"hints":["Острые углы дают в сумме $90^\\circ$.","$\\angle B = 90^\\circ-19^\\circ = 71^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 20$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Сопоставьте катет и верное вычисление его длины. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kl91ow9png9q.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Катет $BC$","Катет $AC$"],"items":["$20 \\cdot \\sin 30^\\circ = 10$","$20 \\cdot \\cos 30^\\circ = 10\\sqrt3$","$20 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ$"]}},"instruction":"Сопоставьте катет и вычисление","hints":["$BC$ лежит против угла $A$ (синус), $AC$ прилежит к нему (косинус). Тангенс связывает два катета, а не гипотенузу с катетом.","Ответ: $BC = 20 \\cdot \\sin 30^\\circ = 10$, $AC = 20 \\cdot \\cos 30^\\circ = 10\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 18$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Сопоставьте катет и верное вычисление его длины. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qfnadpmzdqun.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Катет $BC$","Катет $AC$"],"items":["$18 \\cdot \\sin 60^\\circ = 9\\sqrt3$","$18 \\cdot \\cos 60^\\circ = 9$","$18 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ$"]}},"instruction":"Сопоставьте катет и вычисление","hints":["$BC$ лежит против угла $A$ (синус), $AC$ прилежит к нему (косинус). Тангенс связывает два катета, а не гипотенузу с катетом.","Ответ: $BC = 18 \\cdot \\sin 60^\\circ = 9\\sqrt3$, $AC = 18 \\cdot \\cos 60^\\circ = 9$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 7$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Найдите $AB$. [[input-3]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mmblyvjxpqzk.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$\\sin A = \\frac{BC}{AB}$, откуда $AB = \\frac{BC}{\\sin A}$.","$AB = 7 : \\frac12 = 14$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-8]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 8$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Найдите $AB$. [[input-4]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uqvxgjk859h5.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["$\\cos A = \\frac{AC}{AB}$, откуда $AB = \\frac{AC}{\\cos A}$.","$AB = 8 : \\frac12 = 16$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 10$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Решавр искал катет $BC$ и написал: $BC = 10 \\cdot \\cos 30^\\circ$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xevv4kxk8coe.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было разделить: $BC = 10 : \\cos 30^\\circ$","Ошибки нет: $BC$ прилежит к углу $A$","Надо было взять тангенс: $BC = 10 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ$","Надо взять синус: $BC = 10 \\cdot \\sin 30^\\circ$"],"explanations":["Деление нужно при поиске гипотенузы; здесь гипотенуза дана, а ошибка — в выборе функции: косинус связан с прилежащим катетом","$BC$ лежит против угла $A$: прилежит ему $AC$","Тангенс связывает два катета, а $10$ — гипотенуза",""],"answer":[3]}},"hints":["Катет $BC$ лежит против угла $A$, а не рядом с ним. Против угла — синус: $\\sin A = \\frac{BC}{AB}$.","Верно: $BC = 10 \\cdot \\sin 30^\\circ = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-10]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 24$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Решавр искал катет $BC$ и написал: $BC = 24 \\cdot \\cos 60^\\circ$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/f5yxnhxfxjlc.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо взять синус: $BC = 24 \\cdot \\sin 60^\\circ$","Надо было взять тангенс: $BC = 24 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ$","Надо было разделить: $BC = 24 : \\cos 60^\\circ$","Ошибки нет: $BC$ прилежит к углу $A$"],"explanations":["","Тангенс связывает два катета, а $24$ — гипотенуза","Деление нужно при поиске гипотенузы; здесь гипотенуза дана, а ошибка — в выборе функции: косинус связан с прилежащим катетом","$BC$ лежит против угла $A$: прилежит ему $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["Катет $BC$ лежит против угла $A$, а не рядом с ним. Против угла — синус: $\\sin A = \\frac{BC}{AB}$.","Верно: $BC = 24 \\cdot \\sin 60^\\circ = 12\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-11]]Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) равны $BC = 2$ и $AC = 2\\sqrt{3}$. Нужно найти угол $B$. Известно, что $\\operatorname{tg} 30^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{3}$, $\\operatorname{tg} 60^\\circ = \\sqrt3$. Расставьте шаги решения по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/n2kiuctrtmng.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AC$ прилежит к нему, поэтому $\\operatorname{tg} A = \\frac{BC}{AC} = \\frac{2}{2\\sqrt3} = \\frac{\\sqrt3}{3}$","Значит, по таблице $\\angle A = 30^\\circ$","Тогда острые углы дают в сумме $90^\\circ$ и $\\angle B = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$"]}},"hints":["Угол $B$ напрямую по катетам не дан: сначала находим угол $A$ по тангенсу.","Ответ: $\\angle A = 30^\\circ$, значит, $\\angle B = 60^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-12]]Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ ($\\angle C = 90^\\circ$) равны $BC = 3\\sqrt{3}$ и $AC = 3$. Нужно найти угол $B$. Известно, что $\\operatorname{tg} 30^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{3}$, $\\operatorname{tg} 60^\\circ = \\sqrt3$. Расставьте шаги решения по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ycyyie4td036.svg"},"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AC$ прилежит к нему, поэтому $\\operatorname{tg} A = \\frac{BC}{AC} = \\frac{3\\sqrt3}{3} = \\sqrt3$","Значит, по таблице $\\angle A = 60^\\circ$","Тогда острые углы дают в сумме $90^\\circ$ и $\\angle B = 90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$"]}},"hints":["Угол $B$ напрямую по катетам не дан: сначала находим угол $A$ по тангенсу.","Ответ: $\\angle A = 60^\\circ$, значит, $\\angle B = 30^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-13]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 26$, $BC = 13$, $\\sin 30^\\circ = \\frac12$. Решите треугольник: найдите углы $A$, $B$ и сторону $AC$. Какой набор ответов верный?[[choice-3]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kcf7wjvsawmy.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\angle A = 60^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$, $AC = 13\\sqrt3$","$\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 150^\\circ$, $AC = 13\\sqrt3$","$\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$, $AC = 13\\sqrt3$","$\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$, $AC = 13$"],"explanations":["Катет $BC = 13$ — половина гипотенузы, он лежит против угла $30^\\circ$, то есть против $A$, а не против $B$","Сумма острых углов равна $90^\\circ$, а не $180^\\circ$: $\\angle B = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$","","Катет $13$ — это $BC$; $AC$ лежит против большего угла $B = 60^\\circ$ и длиннее: $13\\sqrt3$"],"answer":[2]}},"hints":["Какой угол лежит напротив катета $13$? Сравните этот катет с гипотенузой $26$.","$\\sin A = \\frac{13}{26} = \\frac12$, $\\angle A = 30^\\circ$; $\\angle B = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$; $AC = \\sqrt{26^2-13^2} = \\sqrt{507} = 13\\sqrt3$. Проверка: $26 \\cdot \\cos 30^\\circ = 13\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-14]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 38$, $AC = 19$, $\\cos 60^\\circ = \\frac12$. Решите треугольник: найдите углы $A$, $B$ и сторону $BC$. Какой набор ответов верный?[[choice-4]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bodqy8zhsu9z.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\angle A = 60^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$, $BC = 19$","$\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$, $BC = 19\\sqrt3$","$\\angle A = 60^\\circ$, $\\angle B = 30^\\circ$, $BC = 19\\sqrt3$","$\\angle A = 60^\\circ$, $\\angle B = 120^\\circ$, $BC = 19\\sqrt3$"],"explanations":["Катет $19$ — это $AC$; $BC$ лежит против большего угла $A = 60^\\circ$ и длиннее: $19\\sqrt3$","Катет $AC = 19$ — половина гипотенузы, он лежит против угла $30^\\circ$, то есть против $B$; угол $A$ равен $60^\\circ$","","Сумма острых углов равна $90^\\circ$, а не $180^\\circ$: $\\angle B = 90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Какой угол прилежит к катету $19$? Сравните этот катет с гипотенузой $38$.","$\\cos A = \\frac{19}{38} = \\frac12$, $\\angle A = 60^\\circ$; $\\angle B = 90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$; $BC = \\sqrt{38^2-19^2} = \\sqrt{1083} = 19\\sqrt3$. Проверка: $38 \\cdot \\sin 60^\\circ = 19\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-15]]В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $10$, угол при основании равен $30^\\circ$. Найдите высоту, проведенную к основанию. [[input-5]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wifxv4cmdic1.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Высота и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник: высота лежит против угла $30^\\circ$ при основании.","$h = 10 \\cdot \\sin 30^\\circ = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-16]]В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $18$, угол при основании равен $30^\\circ$. Найдите высоту, проведенную к основанию. [[input-6]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jdvf02ik7ar6.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Высота лежит против угла $30^\\circ$ при основании в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $18$.","$h = 18 \\cdot \\sin 30^\\circ = 9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-17]]В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ равна $20$, угол $CAB$ равен $30^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-7]]","widgets":{"image-17":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tqkjcxdfbchx.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ABC$ ($\\angle B = 90^\\circ$), $BC$ лежит против угла $A$.","$BC = 20 \\cdot \\sin 30^\\circ = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-18]]В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ равна $30$, угол $DBC$ равен $60^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-8]]","widgets":{"image-18":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yikuyeus3w4r.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника $BCD$ ($\\angle C = 90^\\circ$), $BC$ прилежит к углу $B$.","$BC = 30 \\cdot \\cos 60^\\circ = 15$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-19]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 16$, угол $A$ равен $37^\\circ$. Найдите $BC$, считая $\\operatorname{tg} 37^\\circ = 0{,}75$, а затем гипотенузу $AB$. В ответ запишите $AB$. [[input-9]]","widgets":{"image-19":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pqre1xlrj2w7.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Известен прилежащий катет, нужен противолежащий: $\\operatorname{tg} A = \\frac{BC}{AC}$, $BC = 16 \\cdot 0{,}75 = 12$.","$AB^2 = 16^2 + 12^2 = 400$, $AB = 20$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-20]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 24$, угол $B$ равен $37^\\circ$. Найдите $AC$, считая $\\operatorname{tg} 37^\\circ = 0{,}75$, а затем гипотенузу $AB$. В ответ запишите $AB$. [[input-10]]","widgets":{"image-20":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rbnrpcc4pi02.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Против угла $B$ лежит $AC$, рядом с ним — $BC$: $\\operatorname{tg} B = \\frac{AC}{BC}$, $AC = 24 \\cdot 0{,}75 = 18$.","$AB^2 = 24^2 + 18^2 = 900$, $AB = 30$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>