Тригонометрические функции

Перед вами тест, который поможет проверить, насколько хорошо вы усвоили основные тригонометрические понятия. Вопросы охватывают определения синуса, косинуса и тангенса, их значения для основных углов, а также знание основных тригонометрических формул.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какое из определений синуса угла является верным?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.","Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.","Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение гипотенузы к прилежащему катету.","Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение гипотенузы к противолежащему катету."],"explanations":["Это определение косинуса.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что катет должен лежать напротив рассматриваемого угла.","$ \\sin \\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}} $."],"id":"0"},{"content":"Какое из определений косинуса угла является верным?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.","Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.","Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение гипотенузы к прилежащему катету.","Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение гипотенузы к противолежащему катету."],"explanations":["Это определение синуса.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что катет должен прилежать к углу.","$ \\cos \\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}} $."],"id":"0"},{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $a$, $b$, гипотенуза — $c$. Какая формула верна для $\\cos \\alpha$?[[image-36]][[choice-49]]","widgets":{"image-36":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/8-01-18.svg","width":"300"},"choice-49":{"type":"choice","options":["$\\cos \\alpha = \\dfrac{a}{c}$","$\\cos \\alpha = \\dfrac{b}{c}$","$\\cos \\alpha = \\dfrac{c}{a}$","$\\cos \\alpha = \\dfrac{c}{b}$"],"explanations":["Данная формула верна для синуса.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что для косинуса берут прилежащий катет.","$\\cos \\alpha = \\dfrac{b}{c}$."],"id":"1"},{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $a$, $b$, гипотенуза — $c$. Какая формула верна для $\\sin \\alpha$?[[image-95]][[choice-116]]","widgets":{"image-95":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/8-01-18.svg","width":"300"},"choice-116":{"type":"choice","options":["$\\sin \\alpha = \\dfrac{a}{c}$","$\\sin \\alpha = \\dfrac{b}{c}$","$\\sin \\alpha = \\dfrac{c}{a}$","$\\sin \\alpha = \\dfrac{c}{b}$"],"explanations":["","Данная формула верна для косинуса.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что для синуса берут противолежащий катет.","$\\sin \\alpha = \\dfrac{a}{c}$."],"id":"1"},{"content":"Какое из определений тангенса угла в прямоугольном треугольнике является верным?[[choice-180]]","widgets":{"choice-180":{"type":"choice","options":["Тангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему.","Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.","Тангенс угла — это отношение гипотенузы к катету.","Тангенс угла — это произведение синуса и косинуса."],"explanations":["Это определение котангенса.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что у тангенса в отношении участвуют только катеты.","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{прилежащий катет}} $."],"id":"2"},{"content":"Какое из равенств верно определяет тангенс угла $\\alpha$?[[choice-255]]","widgets":{"choice-255":{"type":"choice","options":["$ \\tg \\alpha = \\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha $","$ \\tg \\alpha = \\cos \\alpha -\\sin \\alpha $","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} $","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} $"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните, что тангенс выражается через синус и косинус делением.","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} $."],"id":"2"},{"content":"Как можно выразить тангенс угла $\\alpha$ через синус и косинус?[[choice-372]]","widgets":{"choice-372":{"type":"choice","options":["$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} $","$ \\tg \\alpha = \\sin \\alpha + \\cos \\alpha $","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} $","$ \\tg \\alpha = \\cos \\alpha \\cdot \\sin \\alpha $"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните, что тангенс показывает отношение синуса к косинусу.","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} $."],"id":"3"},{"content":"В прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, гипотенуза — $c$. Какая формула верна для $\\tg \\alpha$?[[image-477]][[choice-518]]","widgets":{"image-477":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/8-01-18.svg","width":"300"},"choice-518":{"type":"choice","options":["$\\tg \\alpha = \\dfrac{a}{b}$","$\\tg \\alpha = \\dfrac{b}{a}$","$\\tg \\alpha = \\dfrac{c}{a}$","$\\tg \\alpha = \\dfrac{c}{b}$"],"explanations":["","Данное выражение верно для котангенса.","",""],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что тангенс угла равен отношению катетов.","$ \\tg \\alpha = \\dfrac{a}{b} $."],"id":"3"},{"content":"Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?[[choice-879]]","widgets":{"choice-879":{"type":"choice","options":["$ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $","$ tg \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} $","$ \\cos^2 \\alpha -\\sin^2 \\alpha = 1 $","$ \\sin \\alpha + \\cos \\alpha = 1 $"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что оно связывает квадрат синуса и квадрат косинуса в одной формуле.","$ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $."],"id":"4"},{"content":"Какая из формул связывает $tg \\alpha$ и $\\cos \\alpha$?[[choice-1009]]","widgets":{"choice-1009":{"type":"choice","options":["$ 1 + tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $","$ 1 + tg^2 \\alpha = \\cos^2 \\alpha $","$ 1 -tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $","$ 1 + cos^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\tg^2 \\alpha} $"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что это тождество получается из основного: $ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $.","$ 1 + tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $."],"id":"4"},{"content":"Какое равенство является верным тригонометрическим тождеством, связывающим $tg \\alpha$ и $\\cos \\alpha$?[[choice-1150]]","widgets":{"choice-1150":{"type":"choice","options":["$ 1 + tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $","$ 1 + \\cos^2 \\alpha = tg^2 \\alpha $","$ tg^2 \\alpha = \\cos^2 \\alpha $","$ 1 -tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что связь между $tg$ и $\\cos$ выводится из основного тригонометрического тождества $ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $.","$ 1 + tg^2 \\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2 \\alpha} $."],"id":"5"},{"content":"Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?[[choice-1302]]","widgets":{"choice-1302":{"type":"choice","options":["$ \\sin^2 \\alpha -\\cos^2 \\alpha = 1 $","$ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $","$ \\cos^2 \\alpha = 1 + \\sin^2 \\alpha $","$ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 0 $"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна одной и той же величине.","$ \\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1 $."],"id":"5"},{"content":"Какая теорема считается основой тригонометрии?[[choice-1465]]","widgets":{"choice-1465":{"type":"choice","options":["В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна гипотенузе.","В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","В любом треугольнике сумма углов равна $180^\\circ$.","В равнобедренном треугольнике углы при основании равны."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните теорему о прямоугольном треугольнике с углом $30^\\circ$.","Катет, лежащий напротив угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы."],"id":"6"},{"content":"Чему равен $ \\sin 30^\\circ $?[[choice-1639]]","widgets":{"choice-1639":{"type":"choice","options":["$ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} $","$ \\dfrac{1}{2} $","$ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} $","$ 1 $"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните теорему: катет напротив $30^\\circ$ равен половине гипотенузы.","$ \\sin 30^\\circ = \\dfrac{1}{2} $."],"id":"6"},{"content":"Чему равен $ \\cos 60^\\circ $?[[choice-1824]]","widgets":{"choice-1824":{"type":"choice","options":["$ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} $","$ \\dfrac{1}{2} $","$ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} $","$ \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} $"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что острые углы в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга до $90^\\circ$.","$ \\sin 30^\\circ = \\cos 60^\\circ = \\dfrac{1}{2} $."],"id":"7"},{"content":"Какая из ранее вам известных теорем геометрии является теоремой о синусе?[[choice-2020]]","widgets":{"choice-2020":{"type":"choice","options":["В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.","В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы.","В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.","Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что именно эта теорема дала значение синуса, равное $ \\dfrac{1}{2} $.","Катет, лежащий напротив угла $30^\\circ$, равен половине гипотенузы."],"id":"7"},{"content":"Чему равен $ \\tg 45^\\circ $?[[choice-2244]]","widgets":{"choice-2244":{"type":"choice","options":["$0$","$1$","$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$","$\\sqrt{3}$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните равнобедренный прямоугольный треугольник. У него катеты равны.","$ \\tg 45^\\circ = \\dfrac{\\text{катет}}{\\text{катет}} = 1 $."],"id":"8"},{"content":"Какие из тригонометрических функций имеют равные значения при одном и том же угле?[[choice-2520]]","widgets":{"choice-2520":{"type":"choice","options":["$ \\sin 30^\\circ = \\cos 30^\\circ = \\dfrac{1}{2} $","$ \\sin 45^\\circ = \\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} $","$ \\sin 60^\\circ = \\cos 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} $","$ \\tg 45^\\circ = \\cos 45^\\circ = \\sqrt{3} $"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните прямоугольный треугольник с острым углом $45^\\circ$.","Такой треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Значит, значение синуса будет равно значению косинуса."],"id":"8"},{"content":"Для какого угла значения синуса и косинуса совпадают?[[choice-2812]]","widgets":{"choice-2812":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$, при этом $ \\sin 30^\\circ = \\cos 30^\\circ = \\dfrac{1}{2} $.","$45^\\circ$, при этом $ \\sin 45^\\circ = \\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} $.","$60^\\circ$, при этом $ \\sin 60^\\circ = \\cos 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} $.","$90^\\circ$, при этом $ \\sin 90^\\circ = \\cos 90^\\circ = 1 $."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните равнобедренный прямоугольный треугольник.","$ \\sin 45^\\circ = \\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} $"],"id":"9"},{"content":"Для какого угла значение $ tg $ равно единице?[[choice-3052]]","widgets":{"choice-3052":{"type":"choice","options":["$30^\\circ$","$45^\\circ$","$60^\\circ$","$90^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните, что $ \\tg \\alpha = \\tfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{прилежащий катет}} $.","В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ \\tg 45^\\circ = 1 $."],"id":"9"}],"mix":1}</textarea></pre></div>