8 класс Геометрия Подобные треугольники Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников

Содержание

Вы уже знаете синус, косинус и тангенс острого угла, значения для углов 30°, 45° и 60° и теорему Пифагора. В этом уроке соберем их в один способ: по двум известным элементам прямоугольного треугольника найдем все остальные стороны и углы. Разберем четыре случая, главную ошибку при выборе функции и задачи в формате ОГЭ.

Решить треугольник — значит найти все его стороны и углы

Лестница длиной $5$ м приставлена к вертикальной стене и образует с горизонтальной землей угол $60^\circ$. На какой высоте ее верхний конец? Рулетка до верха не достает, но два элемента треугольника уже известны: длина лестницы и угол у земли.

Лестница AB длиной 5 м стоит под углом 60° к земле и опирается на вертикальную стену в точке B; нужно найти высоту BC — Лестница — гипотенуза, стена лежит напротив угла у земли, земля — рядом с ним

Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Встаньте мысленно в вершину $A$, у основания лестницы. Одна сторона треугольника — напротив вас (стена $BC$), другая — рядом (земля $AC$), третья — сама лестница $AB$, гипотенуза. Этот «вид из угла» и подскажет, какую функцию брать в каждой задаче урока.

Определение

Решить прямоугольный треугольник — значит по данным элементам найти все его стороны и острые углы. У треугольника $ABC$ с $\angle C=90^\circ$ неизвестны пять элементов: стороны $AB$, $BC$, $AC$ и углы $A$ и $B$. Чтобы найти остальные, достаточно знать два из них, и хотя бы один должен быть стороной.

Прямоугольный треугольник ABC: известны гипотенуза AB и угол A, неизвестны BC, AC и угол B — Даны два элемента (серым), один из них — сторона; остальные три находим

Почему одних углов мало? Если известны только острые углы, треугольник можно увеличить в два раза: углы не изменятся, а стороны станут другими. Длину задает хотя бы одна известная сторона.

Правило

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Если $\angle C=90^\circ$, то

Это следует из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а на прямой угол из них приходится $90^\circ$. Если известен один острый угол, второй находят вычитанием из $90^\circ$ сразу. Если даны две стороны, сначала находят один угол по отношению сторон (об этом — в разделе «Если даны две стороны, сначала находят угол»).

$$\angle B=90^\circ-\angle A$$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, угол $A$ равен $37^\\circ$. Найдите угол $B$ (в градусах). [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/szw9cvsbilkx.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"53"}},"hints":["Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\\circ$.","$\\angle B = 90^\\circ-37^\\circ = 53^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Функцию выбирает место стороны относительно угла

В треугольнике $ABC$ с $\angle C=90^\circ$ из вершины $A$ видно: катет $BC$ лежит против угла $A$, катет $AC$ прилежит к нему, $AB$ — гипотенуза. По определению из урока о синусе, косинусе и тангенсе каждая функция связывает ровно две стороны.

Например, известна гипотенуза $AB=20$, угол $A=30^\circ$, нужен катет $BC$. Из вершины $A$ видно: $BC$ лежит напротив, $AB$ — гипотенуза, значит, их связывает синус. Если бы нужен был катет $AC$, который прилежит к углу $A$, связывал бы косинус. Обобщим этот выбор.

Правило

Выпишите две стороны: ту, что известна, и ту, что нужно найти. Посмотрите на них из вершины данного угла:

противолежащий катет и гипотенуза — синус;
прилежащий катет и гипотенуза — косинус;
два катета — тангенс.

$$\sin A=\frac{BC}{AB},\quad \cos A=\frac{AC}{AB},\quad \operatorname{tg} A=\frac{BC}{AC}$$

Известна и нужна (для угла $A$)	Функция	Равенство
$AB$ и $BC$	синус	$\sin A=\frac{BC}{AB}$
$AB$ и $AC$	косинус	$\cos A=\frac{AC}{AB}$
$AC$ и $BC$	тангенс	$\operatorname{tg} A=\frac{BC}{AC}$

Алгоритм

Дано: $\angle C=90^\circ$, сторона и острый угол $A$.

Найдите второй острый угол: $\angle B=90^\circ-\angle A$.
Определите, где известная и искомая стороны относительно угла $A$, и выберите функцию.
Запишите равенство и выразите из него неизвестную сторону.
Третью сторону найдите так же или по теореме Пифагора и проверьте: гипотенуза — наибольшая сторона, $BC^2+AC^2=AB^2$.

Алгоритм решения треугольника ABC, AB=16, угол A=30°: угол B, сторона BC, сторона AC — Четыре шага: угол $B$, выбор функции, выразить сторону, третья сторона и проверка

Пример 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=16$, $\angle A=30^\circ$. Решите треугольник.

Решение. 1) $\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

2) Выбор функции. Катет $BC$ лежит против угла $A$, гипотенуза $AB$ известна — синус: $\sin 30^\circ=\frac{BC}{16}$.

3) Выражаем и считаем: $BC=16 \cdot \sin 30^\circ=16 \cdot \frac12=8$.

4) Третья сторона и проверка. Катет $AC$ прилежит к углу $A$ — косинус: $AC=16 \cdot \cos 30^\circ=16 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\approx13{,}9$. Проверка: $8^2+(8\sqrt3)^2=64+192=256=16^2$. Еще одна проверка: катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, $8=16:2$, и лежит он против $A$, а не против $B$.

Ответ: $\angle B=60^\circ$, $BC=8$, $AC=8\sqrt3$.

Ошибка

Решавр — наш условный ученик, который иногда ошибается. Он решал ту же задачу ($AB=16$, $\angle A=30^\circ$) и записал: «$BC=8$, $AC=8\sqrt3$». Правильные числа, но он остановился.

Проверка на определении: решить треугольник — найти все стороны и острые углы. Стороны найдены, угол $B$ нет.

Где сломалось: пропущен шаг 1 алгоритма. Недостающий результат: $\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. Перед ответом сверьте список: три стороны и два угла, ничего не осталось со знаком вопроса.

reshi-treugolnik

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Какое равенство верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7g1tyankuppp.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sin A = \\dfrac{a}{b}$","$\\sin A = \\dfrac{b}{c}$","$\\sin A = \\dfrac{c}{a}$","$\\sin A = \\dfrac{a}{c}$"],"explanations":["Отношение двух катетов — это тангенс, а не синус","Катет $b = AC$ прилежит к углу $A$, а не лежит против него: это отношение — косинус","Отношение перевернуто: в синусе гипотенуза стоит внизу",""],"answer":[3]}},"hints":["Встаньте в вершину $A$: какой катет лежит напротив нее, а какой рядом? Синус связывает с гипотенузой один из них.","Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Против угла $A$ лежит $BC = a$, значит, $\\sin A = \\frac{a}{c}$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$. Сопоставьте данные и функцию угла $A$, которая связывает эти стороны.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Известны $AB$ и $BC$","Известны $AC$ и $BC$","Известны $AB$ и $AC$"],"items":["$\\sin A$","$\\operatorname{tg} A$","$\\cos A$"]}},"instruction":"Сопоставьте данные и функцию","hints":["Против угла $A$ лежит $BC$, рядом с ним — $AC$ и $AB$ (гипотенуза).","$AB$ и $BC$ — синус; $AC$ и $BC$ — тангенс; $AB$ и $AC$ — косинус."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 36$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Расставьте шаги нахождения $BC$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lwdriutnmqcv.svg"},"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Катет $BC$ лежит против угла $A$, гипотенуза $AB$ известна, поэтому выбираем синус","Для выбранной функции записываем равенство: $\\sin 30^\\circ = \\frac{BC}{36}$","Из этого равенства выражаем катет: $BC = 36 \\cdot \\sin 30^\\circ$","Подставляем значение синуса и считаем: $BC = 36 \\cdot \\frac12 = 18$"]}},"hints":["Сначала определяют, как катет расположен относительно угла, затем выбирают функцию.","Дальше записывают равенство, выражают катет и считают."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 16$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Требуется решить треугольник. Решавр нашел $BC = 8$, $AC = 8\\sqrt3$ и записал их в ответ. Чего не хватает в ответе?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Проверки по теореме Пифагора: без нее ответ неверен","Ничего: для решения достаточно найти стороны","Тангенса угла $A$","Угла $B$: $\\angle B = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$"],"explanations":["Числа $8$ и $8\\sqrt3$ верны; проверка помогает убедиться в вычислениях, но пропущенный угол она не добавляет","Решить треугольник — значит найти все стороны и все острые углы; угол $B$ остался неизвестным","Тангенс здесь не нужен: обе стороны найдены через синус и косинус",""],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните определение: что нужно найти, чтобы треугольник считался решенным?","Нужно найти все стороны и острые углы. Угол $B = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$ не найден."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Когда неизвестна гипотенуза, на функцию делят

В примере 1 гипотенуза была известна, и катет получался умножением. Теперь известен катет, а гипотенуза стоит в знаменателе дроби.

Пример 2

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=6$, $\angle A=60^\circ$. Решите треугольник.

Решение. 1) $\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

2) Катет $AC$ прилежит к углу $A$, нужна гипотенуза $AB$ — косинус: $\cos A=\frac{AC}{AB}$. Умножим обе части на $AB$: $AC=AB \cdot \cos A$. Разделим на $\cos A$: $AB=\frac{AC}{\cos A}=6:\frac12=12$.

3) $BC$ и $AC$ — два катета, тангенс: $BC=AC \cdot \operatorname{tg} 60^\circ=6\sqrt3\approx10{,}4$.

4) Проверка: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$; против большего угла $60^\circ$ лежит больший катет $BC$.

Ответ: $\angle B=30^\circ$, $AB=12$, $BC=6\sqrt3$.

Ошибка

Из $\cos A=\frac{AC}{AB}$ пишут $AB=AC \cdot \cos A=6 \cdot \frac12=3$.

Проверка на числах: гипотенуза $3$ короче катета $6$. Так не бывает: гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника.

Где сломалось: произведение $AC \cdot \cos A$ не равно $AB$. Из равенства $AC=AB \cdot \cos A$ гипотенузу получают делением на $\cos A$.

Слева гипотенуза AB=12 доходит до вертикали через C; справа отрезок 3, полученный умножением, не дотягивается до неё — Отрезок $AB=3$ не дотягивается до прямой $BC$: гипотенузу надо делить, а не умножать

Обратите внимание

Неизвестная сторона в числителе — умножайте, в знаменателе — делите. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус или косинус; гипотенуза равна катету, деленному на синус или косинус.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 9$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Найдите $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rujjwv8dux8h.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Катет $AC$ прилежит к углу $A$: $\\cos A = \\frac{AC}{AB}$, откуда $AB = \\frac{AC}{\\cos A}$.","$AB = 9 : \\cos 60^\\circ = 9 : \\frac12 = 18$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AC = 11$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Решавр искал гипотенузу и написал: $\\cos 60^\\circ = \\frac{11}{AB}$, поэтому $AB = 11 \\cdot \\frac12 = 5{,}5$. Что он сделал неверно и каков верный ответ?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо сложить: $AB = 11 + \\frac12$","Надо взять синус: $AB = 11 : \\sin 60^\\circ$","Гипотенуза стоит в знаменателе, ее надо делить: $AB = 11 : \\frac12 = 22$","Ошибки нет: гипотенуза может быть равна $5{,}5$"],"explanations":["Длину гипотенузы не получают сложением катета со значением функции","Катет $AC$ прилежит к углу $A$, поэтому функция выбрана верно — косинус; ошибка в умножении вместо деления","","Гипотенуза — самая длинная сторона, а катет $AC$ равен $11$"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните найденную гипотенузу с катетом $11$. Может ли гипотенуза быть короче катета?","Из $\\cos A = \\frac{AC}{AB}$ следует $AB = \\frac{AC}{\\cos A} = 11 : \\frac12 = 22$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Чаще всего ошибаются в выборе катета

Самая частая ошибка — запомнить «синус — для вертикального катета» или «косинус — для $BC$». Функцию выбирает не положение катета на рисунке, а то, как он расположен относительно данного угла. Сменили угол — катеты поменялись ролями.

Ошибка

Решавр решал задачу: $\angle C=90^\circ$, $AB=20$, $\angle A=60^\circ$, найти $BC$. Он написал $BC=20 \cdot \cos 60^\circ=10$.

Проверка на числах: $\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ$. Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, то есть $10$. Против угла $B$ лежит $AC$, значит, $AC=10$. Катет $BC$ лежит против большего угла $60^\circ$ и должен быть больше $10$. Решавр нашел не тот катет.

Где сломалось: из вершины $A$ катет $BC$ виден напротив, а косинус связывает гипотенузу с прилежащим катетом. Верно: $BC=20 \cdot \sin 60^\circ=10\sqrt3\approx17{,}3$.

Один треугольник, AB=20: из вершины A напротив лежит BC, из вершины B напротив лежит AC; ответ 10 принадлежит катету AC — Из вершины $A$ катет $BC$ напротив, из вершины $B$ — рядом: сменили угол, сменилась функция

Перед выбором функции проговорите вслух: «из вершины $A$ сторона $BC$ — напротив». Если задача про угол $B$, встаньте в вершину $B$: теперь напротив $AC$, рядом $BC$, и $\sin B=\frac{AC}{AB}$.

{"questions":[{"content":"Прямоугольный треугольник $ABC$: $\\angle C = 90^\\circ$, гипотенуза $AB = 14$, $\\angle B = 30^\\circ$. Нужен катет $AC$. Решавр вычислил $14 \\cdot \\cos 30^\\circ = 7\\sqrt3$ и записал это как $AC$. Какую сторону он нашел на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Катет $BC$: он прилежит к углу $B$","Сумму катетов $AC + BC$","Катет $AC$: он прилежит к углу $B$","Гипотенузу $AB$: она прилежит к углу $B$"],"explanations":["","Произведение гипотенузы на косинус острого угла дает один прилежащий катет, а не сумму двух катетов","К углу $B$ прилежит $BC$, а $AC$ лежит напротив угла $B$; к тому же катет против $30^\\circ$ равен $7$, а не $7\\sqrt3$","Гипотенуза дана, $AB = 14$, а $7\\sqrt3 \\approx 12{,}1$ меньше $14$"],"answer":[0]}},"hints":["Отметьте вершину $B$. Какой катет имеет $B$ своим концом, а какой лежит напротив $B$?","Косинус связывает гипотенузу с прилежащим катетом: $\\cos B = \\frac{BC}{AB}$. Значит, $14 \\cdot \\cos 30^\\circ = BC$. Нужный катет $AC = 14 \\cdot \\sin 30^\\circ = 7$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 34$, угол $A$ равен $60^\\circ$. Найдите $AC$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hbdcltfubn4f.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["Катет $AC$ прилежит к углу $A$, гипотенуза известна: $\\cos A = \\frac{AC}{AB}$.","$AC = 34 \\cdot \\cos 60^\\circ = 34 \\cdot \\frac12 = 17$."],"step":1}],"mix":1}

Если даны две стороны, сначала находят угол

Иногда угол не дан, а известны две стороны. Тогда «вид из угла» работает в обратную сторону: по двум сторонам находим значение функции, а по нему — угол. В задачах этого урока значение всегда совпадает с табличным для $30^\circ$, $45^\circ$ или $60^\circ$; угол по нему находят по таблице из урока о значениях.

Пример. Катеты $BC=5$ и $AC=5\sqrt3$. Из вершины $A$ они стоят как «напротив» и «рядом», значит, $\operatorname{tg} A=\frac{5}{5\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$. Это тангенс угла $30^\circ$, поэтому $\angle A=30^\circ$, $\angle B=60^\circ$, а гипотенуза $AB=\sqrt{25+75}=10$. Теперь соберем такие случаи в таблицу.

Дано	Первый шаг	Дальше
гипотенуза и острый угол	второй угол; катеты через $\sin$ и $\cos$	проверка по теореме Пифагора
катет и острый угол	второй угол; гипотенуза делением на $\sin$ или $\cos$	второй катет через $\operatorname{tg}$
два катета	$\operatorname{tg} A$ и угол по таблице	гипотенуза по теореме Пифагора
катет и гипотенуза	$\sin A$ или $\cos A$ и угол по таблице	второй катет по теореме Пифагора

Четыре случая решения прямоугольного треугольника и что находят первым шагом — Четыре случая: данные серым, первым находим то, что отмечено «?»

Пример 3

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=10$, $AC=5$. Решите треугольник.

Решение. 1) Катет $AC$ прилежит к углу $A$, $AB$ — гипотенуза: $\cos A=\frac{5}{10}=\frac12$. Косинус равен $\frac12$ у угла $60^\circ$, значит, $\angle A=60^\circ$.

2) $\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

3) По теореме Пифагора $BC=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\approx8{,}7$.

4) Проверка: $BC=10 \cdot \sin 60^\circ=10 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ — совпало.

Ответ: $\angle A=60^\circ$, $\angle B=30^\circ$, $BC=5\sqrt3$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $BC = 3$, $AC = 3\\sqrt{3}$. Найдите угол $A$ (в градусах), если известно, что $\\operatorname{tg} 30^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{3}$, $\\operatorname{tg} 60^\\circ = \\sqrt3$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xmipirncucij.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["$\\operatorname{tg} A = \\frac{BC}{AC} = \\frac{3}{3\\sqrt3} = \\frac{1}{\\sqrt3} = \\frac{\\sqrt3}{3}$.","Это значение тангенса угла $30^\\circ$, значит, $\\angle A = 30^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 8$, $BC = 4$. Найдите угол $A$ (в градусах), если $\\sin 30^\\circ = \\frac12$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l2pmjto9vhlx.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["$\\sin A = \\frac{BC}{AB} = \\frac48 = \\frac12$.","Синус равен $\\frac12$ у угла $30^\\circ$, значит, $\\angle A = 30^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

В задачах прямоугольный треугольник сначала надо увидеть

В задачах ОГЭ готового треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ обычно нет. Его выделяют на чертеже:

высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его на два прямоугольных треугольника, боковая сторона в каждом — гипотенуза;
диагональ прямоугольника вместе с двумя его сторонами образует прямоугольный треугольник, диагональ — гипотенуза;
дерево или столб стоит вертикально на горизонтальной земле: высота и тень — катеты, луч солнца — гипотенуза.

Дальше работает тот же алгоритм. Только прямой угол может оказаться при другой вершине, поэтому гипотенузу находят каждый раз заново: она лежит напротив прямого угла.

Три задачи ОГЭ: в равнобедренном треугольнике, в прямоугольнике и с деревом и тенью выделен прямоугольный треугольник — Высота, диагональ, тень: в каждой задаче выделяем прямоугольный треугольник и его гипотенузу

Пример 4

В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC=16$ образует со стороной $AD$ угол $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Треугольник $ACD$ прямоугольный, $\angle D=90^\circ$, гипотенуза — диагональ $AC$. Сторона $CD$ лежит против угла $CAD$, сторона $AD$ прилежит к нему.

$AD=16 \cdot \cos 60^\circ=16 \cdot \frac12=8$; $CD=16 \cdot \sin 60^\circ=16 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\approx13{,}9$.

Проверка: $8^2+(8\sqrt3)^2=64+192=256=16^2$.

Ответ: $8$ и $8\sqrt3$.

Задача о лестнице

Вернемся к лестнице. Гипотенуза $AB=5$ м, угол у земли $\angle A=60^\circ$, высота $BC$ лежит против этого угла — синус:

$BC=5 \cdot \sin 60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}3$ м. Основание лестницы отстоит от стены на $AC=5 \cdot \cos 60^\circ=2{,}5$ м.

Проверка: $\left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2+2{,}5^2=18{,}75+6{,}25=25=5^2$.

Ответ: примерно $4{,}3$ м.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Вертикальный столб $AC$ стоит на горизонтальной земле и отбрасывает тень $BC = 8$ м. Луч солнца $AB$ образует с землей угол $B$, равный $37^\\circ$. Найдите высоту столба в метрах, считая $\\operatorname{tg} 37^\\circ = 0{,}75$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uynvkg5h02fp.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Треугольник $ABC$ прямоугольный ($\\angle C = 90^\\circ$): тень $BC$ прилежит к углу $B$, столб $AC$ лежит против него, $\\operatorname{tg} B = \\frac{AC}{BC}$.","$AC = BC \\cdot \\operatorname{tg} B = 8 \\cdot 0{,}75 = 6$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $90^\\circ$, $AC = 12$, угол $A$ равен $30^\\circ$. Найдите $BC$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pbnsigjsievl.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Прямой угол при вершине $B$, значит, гипотенуза — $AC$. Катет $BC$ лежит против угла $A$.","Здесь $AC$ — гипотенуза: $\\sin A=\\frac{BC}{AC}$, значит, $BC = AC \\cdot \\sin A = 12 \\cdot \\frac12 = 6$. Привычное «гипотенуза — $AB$» здесь не работает."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ$, $AB = 10$, угол $A$ равен $37^\\circ$, $\\sin 37^\\circ = 0{,}6$. Найдите $BC$, затем $AC$ по теореме Пифагора. В ответ запишите $AC$. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/j2grufom8rp9.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$BC = AB \\cdot \\sin A = 10 \\cdot 0{,}6 = 6$.","$AC^2 = AB^2-BC^2 = 100-36 = 64$, $AC = 8$. Проверка: $6^2 + 8^2 = 100$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Решение прямоугольного треугольника встречается в задачах на высоту, расстояние и длину, которую нельзя измерить напрямую, и в заданиях ОГЭ по геометрии. Главное — «вид из угла»: встаньте в вершину данного угла, назовите стороны «напротив», «рядом» и «гипотенуза», и функция выберется сама.

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли третью сторону искать через функцию?

Нет. Когда две стороны уже известны, третью удобно найти по теореме Пифагора. Вторым способом полезно проверить вычисления. Но совпадение результатов не исключает перепутанных катетов: например, при $AB=16$, $\angle A=30^\circ$ значения $16\sin30^\circ=8$ и $16\cos30^\circ=8\sqrt3$ в сумме квадратов дают $256$ при любом назначении катетов: теорема Пифагора не отличает $BC$ от $AC$. Поэтому положение катетов проверяют отдельно: напротив угла $30^\circ$ должен лежать катет, равный половине гипотенузы.

Что делать, если угол не 30°, 45° или 60°?

Тогда значение функции дают в условии, например $\operatorname{tg} 37^\circ=0{,}75$, или его берут из таблицы приближенно. Алгоритм от этого не меняется: меняется только число, на которое умножают или делят.

Почему нельзя решить треугольник, если известны только два острых угла?

Углы задают форму треугольника, но не его размер. Треугольник можно увеличить в любое число раз, и углы останутся прежними. Нужна хотя бы одна сторона.

Как быстро проверить, не перепутаны ли синус и косинус?

Против большего острого угла лежит больший катет. Если угол $A$ больше $45^\circ$, катет $BC$ должен получиться длиннее $AC$. Не вышло — функция выбрана для другого угла.

Дальше: тест урока