ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Скалярное произведение векторов
На прошлых уроках мы познакомились со сложением и вычитанием векторов. Но с векторами можно выполнять и еще одно действие — умножение. Здесь возникает важный вопрос: что именно получится в результате?
Оказывается, в геометрии есть такой вид умножения векторов, при котором ответом будет не новый вектор, а число. Это число помогает понять, как связаны между собой длины векторов и угол между ними. Такое произведение называется скалярным.
Сегодня мы разберем, что такое угол между векторами, как определяется скалярное произведение, как его находить через координаты, как из этого получить формулу для косинуса угла и какие свойства скалярного произведения применяются в задачах.
Угол между векторами
Когда говорят об угле между векторами, имеют в виду угол между их направлениями. Чтобы его увидеть, векторы удобно отложить из одной точки. После этого становится понятно, какой угол образуют лучи, направленные так же, как данные векторы.
Если векторы ненулевые, то угол между ними берут от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Векторы направлены одинаково — угол между ними равен $0^\circ$.
Перпендикулярны — $90^\circ$.
Когда направлены в противоположные стороны — $180^\circ$.
Важно понимать, что сам вектор можно переносить параллельно самому себе. От этого его длина и направление не меняются. Поэтому, когда мы ищем угол между векторами, нам разрешено мысленно перенести их так, чтобы они начинались в одной точке.
Скалярное произведение векторов
Теперь, когда есть понимание, как определить угол между векторами, можно перейти к новому понятию — скалярное произведение векторов. Что обозначает слово «скалярное»?
Скаляр — это величина, у которой нет направления. Например, число $5$, температура воздуха, масса тела, длина отрезка — это скалярные величины. Они показывают только размер, но не указывают направление.
Скалярное произведение — это такое произведение двух векторов, при котором получается число.
Такое число помогает узнать, как связаны между собой два вектора:
- понять, острый угол между ними, прямой или тупой;
- решать геометрические и физические задачи.
выводы
Если два вектора направлены почти в одну сторону, их скалярное произведение будет положительным. Если векторы перпендикулярны, оно равно нулю. Когда направления сильно расходятся, значение становится отрицательным.
То есть это число помогает описать взаимное расположение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длины (модулей) на косинус угла между ними:
$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$, где $\varphi$ (фи) — угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.
выводы
- Если угол острый, то $\cos \varphi > 0$, значит, скалярное произведение положительно.
- Прямой — $\cos 90^\circ = 0$, значит, равно нулю.
- Тупой — $\cos \varphi < 0$ — отрицательно.
По знаку скалярного произведения можно быстро понять, какой угол между векторами, даже если сам угол не дан. Это помогает:
- проверять, остроугольный или тупоугольный треугольник;
- выяснять, перпендикулярны ли прямые или векторы;
- сравнивать направления отрезков и сторон фигур.
Скалярное произведение через координаты векторов
Теперь мы знаем, что скалярное произведение можно найти через угол:
$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Но в задачах угол между векторами известен не всегда. Часто даны только координаты векторов. И их скалярное произведение возможно найти, не зная величину самого угла.
$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$, где $x_1$, $x_2$ и $y_1$, $y_2$ — соответствующие координаты векторов.
Доказательство
Скрыть
Пусть $\vec a = (x_1; y_1)$ и $\vec b = (x_2; y_2)$. Рассмотрим вектор $\vec a -\vec b$. Его длину можно найти по координатам:
$|\vec a -\vec b|^2 = (x_1 -x_2)^2 + (y_1 -y_2)^2$.
Раскроем скобки и сгруппируем:
$|\vec a -\vec b|^2 = x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 -2y_1y_2 + y_2^2$,
$|\vec a -\vec b|^2 = (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) -2(x_1x_2 + y_1y_2)$.
$|\vec a -\vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 -2|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Левые части равны, значит, равны и правые. Приравняем:
$(x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) -2(x_1x_2 + y_1y_2) = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 -2|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
С другой стороны,
$|\vec a -\vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 -2|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Теперь сравним эти записи.
Из прошлых уроков нам известно, что
$|\vec a|^2 = x_1^2 + y_1^2$,
$|\vec b|^2 = x_2^2 + y_2^2$.
Значит, первые два слагаемых в обеих формулах совпадают. При переносе их в одну часть уравнения они сложатся в ноль, поэтому:
$-2(x_1x_2 + y_1y_2) = -2|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Разделим обе части на $(-2)$:
$x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Что и требовалось доказать.
Теперь скалярное произведение можно находить даже тогда, когда угол между векторами не дан. Достаточно знать их координаты. Это и делает координатную формулу особенно удобной в задачах.
Вычисление косинуса угла между векторами
Теперь соединим два уже известных нам факта.
С одной стороны,
$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi.$$
С другой стороны, если векторы заданы координатами, то
$$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2.$$
Так как правые части обеих формул выражают одно и то же скалярное произведение, их можно приравнять:
$x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Теперь выразим косинус угла:
$\cos \varphi = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$.
Это очень важная формула. Она позволяет находить косинус угла между векторами по их координатам.
Если нам известно значение косинуса угла, мы можем судить о величине этого угла. Чем больше косинус, тем меньше угол. И наоборот, чем меньше косинус, тем больше угол. Поэтому угол, для которого $\cos \varphi = \dfrac{4}{5}$, меньше угла, для которого $\cos \varphi = \dfrac{1}{4}$.
Задача
Даны векторы $\vec a = (3;4)$ и $\vec b = (5;0)$. Найдите косинус угла между векторами.
Решение
Скрыть
Чтобы найти косинус угла между векторами, используем формулу:
$\cos \varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$.
Сначала найдем скалярное произведение векторов:
$\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 15$.
Теперь найдем их модули:
$|\vec a| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$,
$|\vec b| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
Подставим в формулу:
$\cos \varphi = \dfrac{15}{5 \cdot 5} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$.
Ответ: $\dfrac{3}{5}$.
Свойства скалярного произведения векторов
У скалярного произведения есть несколько важных свойств.
1. Переместительное свойство:
$$\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a.$$
То есть порядок умножения векторов не влияет на ответ.
2. Распределительное свойство:
$$(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c.$$
Скалярное произведение можно «раскрывать по скобкам».
3. Сочетание с числом:
$$(k\vec a) \cdot \vec b = k(\vec a \cdot \vec b).$$
Числовой множитель можно вынести.
4. Скалярный квадрат вектора:
$$\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2.$$
Это очень полезное свойство, потому что оно связывает скалярное произведение с длиной вектора.
5. Для ненулевых векторов условие перпендикулярности можно записать так:
$$\vec a \cdot \vec b = 0 \iff \vec a \perp \vec b.$$
То есть нулевое скалярное произведение — это признак прямого угла между ненулевыми векторами.
Это интересно
Косинус нужен не только в математике. В физике он помогает понять, какая часть силы действует в направлении движения.
Например, если тянуть санки в сторону их движения, они поедут легче. А если приложить такую же силу вбок, пользы для движения будет меньше.
В физике это объясняют так: в перемещении участвует только та часть силы, которая направлена вдоль движения.
Похожая мысль встречается и при объяснении солнечного света. Когда лучи падают на поверхность прямо, она освещается и нагревается сильнее.
Когда лучи идут под большим наклоном, свет распределяется по большей площади, и нагрев получается слабее. Поэтому утром и вечером солнечные лучи обычно греют слабее, чем днем.
Получается, косинус в задачах про векторы нужен не случайно. Он помогает понять, какая часть одного действия или направления действительно работает в нужную сторону. Именно поэтому эта тема важна не только в геометрии, но и в задачах про движение, свет и реальные измерения.
Часто задаваемые вопросы
Потому что результат этого действия не имеет направления. Он только показывает величину, то есть является скаляром.
Когда ненулевые векторы перпендикулярны.
Если известны модули векторов и угол между ними, то
$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \varphi$.
Если $\vec a = (x_1; y_1)$ и $\vec b = (x_2; y_2)$, то
$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$.
Нужно скалярное произведение разделить на произведение модулей векторов:
$\cos \varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$.
Если скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, равно нулю — прямой, отрицательно — тупой.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти