Карточки
Тесты
Зави
Измерительные работы: высота предмета и расстояние до недоступной точки
Измерительные работы: высота предмета и расстояние до недоступной точки
Вы научились решать треугольник по стороне и двум прилежащим углам. В этом уроке применим это на местности: найдем высоту здания и башни и расстояние до точки, к которой нельзя подойти, — например, ширину реки. Все задачи решим по одной схеме из четырех шагов, а ответ проверим вторым способом.
Ширину реки можно найти, не переплывая ее
Нужно узнать ширину реки, а лодки нет. На своем берегу можно многое: отмерить рулеткой отрезок $AB = 50$ м вдоль берега и измерить угломером углы между этим отрезком и направлениями на дерево $C$ на том берегу. Угол при $A$ оказался $45^\circ$, угол при $B$ — $60^\circ$. Нельзя только одно — приложить рулетку к расстоянию до $C$. Будем считать берега прямыми и параллельными, тогда ширина реки — это расстояние от $C$ до прямой $AB$.
Вспомним рамку из реек и шарниров. Рейку $AB$ мы кладем сами. В точке $A$ закрепляем шарнир: луч на дерево идет под углом $45^\circ$ к $AB$. В точке $B$ — второй шарнир, $60^\circ$. Два луча пересекаются в одной точке, и это точка $C$. Рамка собрана по стороне и двум прилежащим углам, поэтому она единственная: стороны $AC$ и $BC$ определены, хотя их никто не измерял.
Определение
База — отрезок, который можно измерить на месте; его концы — точки, из которых наблюдают недоступный предмет.
Для недоступной точки $C$ измеряют базу $AB$ и два угла при ее концах: $\angle CAB$ и $\angle CBA$. Угол при $C$ находят из суммы: $\angle C = 180^\circ-\angle A-\angle B$.
Сколько же метров до того берега? Ответ получим в разделе 5, когда соберем все инструменты.
Любая измерительная задача решается в четыре шага
На местности треугольника не видно: есть дерево, берег, башня и показания приборов. Поэтому сначала строим модель — чертеж, на котором видно, какие рейки и шарниры закреплены. Дальше работают теоремы, которые вы уже знаете.
Метод
- Чертеж. Земля — горизонтальная прямая, предмет — вертикальный отрезок, лучи зрения — от точки, где стоит прибор. Каждый измеренный угол отложите от той линии, от которой его измеряли.
- Нужный треугольник. Найдите треугольник, в котором закреплены три элемента и есть искомая величина.
- Данные и инструмент. Выпишите известные стороны и углы. Есть прямой угол — тангенс; нет — теорема синусов.
- Ответ с единицами. Вычислите, прибавьте то, что лежит вне треугольника (высоту прибора), запишите единицы и проверьте ответ на смысл.
В задачах этого урока встречаются три рамки. Таблица показывает, как их узнать на чертеже.
| Ситуация | Какая рамка собрана | Инструмент |
|---|---|---|
| Высота предмета, к основанию можно подойти | Прямоугольный треугольник: катет-расстояние и угол подъема | $h = d \cdot \operatorname{tg}\alpha$ |
| Высота предмета, к основанию не подойти | Два прямоугольных треугольника с общим катетом $h$ | Разность расстояний: $h\operatorname{ctg}\alpha-h\operatorname{ctg}\beta$ |
| Расстояние до недоступной точки | Треугольник по базе и двум углам при ней | Теорема синусов |
Угол подъема отсчитывают от горизонта, а высоту глаз прибавляют
Ученик стоит в 30 м от школы. Он держит угломер у глаз, на высоте 1,6 м, и наводит его на край крыши. Прибор показывает, что луч на край крыши поднят над горизонтальным направлением на $30^\circ$.
Определение
Угол подъема — угол между горизонтальным лучом, идущим от глаз наблюдателя (или от прибора), и лучом зрения на точку, которая находится выше.
Рамка здесь прямоугольная. Горизонтальная рейка $OK = 30$ м идет от глаз $O$ до стены на уровне глаз. Вертикальная рейка $KM$ идет по стене до края крыши $M$, угол $K$ прямой. Шарнир при $O$ — угол подъема $30^\circ$. Сторона и два угла закреплены, рамка определена, а катет $KM$ находим через тангенс. Обратите внимание: нижняя рейка лежит не на земле, а на уровне глаз.
Пример 1
Ученик стоит в 30 м от школы, глаза — на высоте 1,6 м, угол подъема края крыши $30^\circ$ (см. рисунок). Найдите высоту школы.
Решение. 1) Чертеж: глаза $O$, точка стены $K$ на уровне глаз, край крыши $M$. 2) Треугольник $OKM$ прямоугольный, $\angle K = 90^\circ$. 3) Известны $OK = 30$ м и $\angle O = 30^\circ$, искомый $KM$ — катет против угла $O$: $KM = OK \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt3}{3} = 10\sqrt3 \approx 17{,}3$ м. 4) Это высота над уровнем глаз. Высота школы: $17{,}3 + 1{,}6 = 18{,}9$ м. Проверка: угол подъема меньше $45^\circ$, значит, $KM < OK$, и правда $17{,}3 < 30$.
Ответ: примерно 18,9 м.
Ошибка
Угол с вертикалью принимают за угол подъема. Условие: «Угломер лежит на земле в 20 м от мачты, луч зрения на ее верх составляет с вертикалью $60^\circ$». Неверно: $h = 20 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ \approx 34{,}6$ м.
Проверка: угол с вертикалью $60^\circ$ означает, что луч ближе к земле, чем к вертикали; угол подъема $90^\circ-60^\circ = 30^\circ$, он меньше $45^\circ$, поэтому мачта должна быть ниже 20 м. Где сломалось: в формуле $h = d \cdot \operatorname{tg}\alpha$ угол $\alpha$ прилежит к горизонтальному катету $d$, а $60^\circ$ лежит при вертикали. Верно: $h = 20 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ \approx 11{,}5$ м.
Ошибка
Забывают высоту глаз или прибора. В примере 1 легко записать ответ $17{,}3$ м. Проверка: $17{,}3$ м — это отрезок $KM$ от уровня глаз до края крыши. От земли до глаз еще $1{,}6$ м, и в $KM$ они не вошли. Где сломалось: нижняя рейка $OK$ лежит на уровне глаз, тангенс дает только высоту над ней. Верно: $17{,}3 + 1{,}6 = 18{,}9$ м.
Если к основанию не подойти, нужна вторая точка наблюдения
Башня стоит за оградой: расстояние до ее основания $H$ не измерить. Наблюдатель кладет угломер на землю в точке $Q$ — вершина $T$ видна под углом $45^\circ$. Потом отходит от башни по той же прямой на 24 м в точку $P$ — теперь угол подъема $30^\circ$.
Рамка снова собрана. Рейка $PQ = 24$ м доступна, шарнир при $P$ равен $30^\circ$, а угол треугольника $PQT$ при $Q$ равен $180^\circ-45^\circ = 135^\circ$. Сторона и два прилежащих угла — точка $T$ определена. Считать удобнее через два прямоугольных треугольника $QHT$ и $PHT$ с общим катетом $TH = h$: каждое расстояние до основания выражаем через $h$, а их разность равна $PQ$.
Правило
Если вершина видна из дальней точки под углом $\alpha$, из ближней — под углом $\beta$, а между точками $d$ метров, то $h\operatorname{ctg}\alpha-h\operatorname{ctg}\beta = d$:
Пример 2
Найдите высоту башни по данным выше: $45^\circ$ из ближней точки $Q$, $30^\circ$ из дальней точки $P$, $PQ = 24$ м, угломер на земле.
Решение. Из треугольника $QHT$: $QH = h \operatorname{ctg} 45^\circ = h$. Из треугольника $PHT$: $PH = h \operatorname{ctg} 30^\circ = h\sqrt3$. Разность: $h\sqrt3-h = 24$, откуда $h = \frac{24}{\sqrt3-1} = \frac{24(\sqrt3+1)}{2} = 12(\sqrt3+1) \approx 32{,}8$ м.
Проверка вторым способом. В треугольнике $PQT$ угол $T = 180^\circ-30^\circ-135^\circ = 15^\circ$. По теореме синусов $PT = \frac{24 \sin 135^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 65{,}6$ м, и $h = PT \sin 30^\circ \approx 32{,}8$ м. Ответы совпали.
Ответ: $12(\sqrt3+1) \approx 32{,}8$ м.
Обратите внимание
24 м — это расстояние между точками наблюдения, а не до башни. Запись $h = 24 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ = 24$ м ставит основание башни в точку $Q$: рамка с такой нижней рейкой не та, что на рисунке.
Ширину реки находит теорема синусов, а проверяет высота треугольника
Вернемся к реке. В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 50$ м, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Прямого угла в нем нет, поэтому тангенс не подходит. Здесь работает теорема синусов.
Теорема
Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов; отношение равно $2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Пример 3
Найдите ширину реки: $AB = 50$ м, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 60^\circ$.
Решение. 1) Чертеж — рисунок в начале урока. 2) Треугольник $ABC$, $\angle C = 180^\circ-45^\circ-60^\circ = 75^\circ$. 3) Сторона $AC$ лежит против угла $B$, сторона $AB$ — против угла $C$: $AC = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{50 \cdot 0{,}866}{0{,}966} \approx 44{,}8$ м ($\sin 75^\circ \approx 0{,}966$ — по калькулятору). 4) Ширина — не $AC$, а перпендикуляр $CH$ к прямой $AB$: $CH = AC \sin 45^\circ \approx 44{,}8 \cdot 0{,}707 \approx 31{,}7$ м.
Проверка вторым способом. Высота $CH = h$ делит рамку на два прямоугольных треугольника: $AH = h \operatorname{ctg} 45^\circ = h$, $BH = h \operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{h\sqrt3}{3}$. Их сумма равна базе: $h + \frac{h\sqrt3}{3} = 50$, откуда $h = \frac{150}{3+\sqrt3} = 75-25\sqrt3 \approx 31{,}7$ м. Ответы совпали.
Ответ: ширина реки примерно 31,7 м.
Ошибка
Прямоугольный треугольник там, где его нет. Неверно: «$BC = AB \cdot \operatorname{tg} 45^\circ = 50$ м, значит, ширина 50 м».
Проверка: самый большой угол треугольника $ABC$ — $\angle C = 75^\circ$, а против большего угла лежит большая сторона. Значит, $AB = 50$ м — самая длинная сторона, и $BC$ меньше 50 м. Где сломалось: $\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AB}$ верно, только если угол $B$ прямой, а он равен $60^\circ$. По теореме синусов $BC = \frac{50 \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 36{,}6$ м.
Меняйте углы $A$ и $B$ при базе 40 м и смотрите, где сойдутся лучи и какова ширина. Попробуйте увеличить оба угла: точка $C$ уйдет дальше от базы, ширина вырастет, а угол при $C$ станет узким. Затем подберите углы, при которых ширина равна 20 м.
Узкий угол при недоступной точке портит точность
Угломер ошибается — скажем, на $1^\circ$. Для реки это почти не страшно: если вместо $60^\circ$ при $B$ прочитать $61^\circ$, ширина получится 32,2 м вместо 31,7 м, ответ изменится примерно на 1,5%.
Теперь та же база 50 м, но точка $C$ далеко: $\angle A = 80^\circ$, $\angle B = 85^\circ$, угол при $C$ всего $15^\circ$. Ширина — около 189,5 м. Ошибка в $1^\circ$ ($86^\circ$ вместо $85^\circ$) дает уже около 203 м — ответ изменился примерно на 7%. Лучи почти параллельны, и при малом повороте шарнира точка их пересечения уезжает далеко вдоль лучей.
Обратите внимание
Выбирайте базу так, чтобы угол при недоступной точке не был маленьким, лучше — близким к $90^\circ$. Для этого база должна быть сравнима с расстоянием до точки.
Расчет: как считали точность
Скрыть
Ширина по базе и двум углам — та же формула, что в проверке примера 3: $h = \frac{AB}{\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} B}$.
Интересный факт: страну измеряли углами
Скрыть
В 1816–1855 годах под руководством астронома В. Я. Струве измерили цепь треугольников длиной более 2800 км — от Хаммерфеста на севере Норвегии до Черного моря. Длину мерными жезлами измеряли только у нескольких баз, а остальные стороны находили по углам, как в этом уроке. Пункты этой цепи — «Геодезическая дуга Струве» — в 2005 году включены в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.
Вывод
Расстояние, которое нельзя измерить рулеткой, можно вычислить: достаточно закрепить рамку доступными измерениями — базой и углами — и выбрать инструмент. Чтобы вспомнить метод, спросите себя: «Какая рамка собрана и есть ли в ней прямой угол?»
| Случай | Рамка | Как считать и проверять |
|---|---|---|
| Высота, основание доступно | Прямоугольная: $d$ и угол подъема от горизонта | $h = d \cdot \operatorname{tg}\alpha$, плюс высота глаз; при $\alpha < 45^\circ$ высота меньше $d$ |
| Высота, основание недоступно | Две прямоугольные с общей рейкой $h$ | $h = \frac{d}{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\beta}$; проверка теоремой синусов |
| Недоступная точка | База и два угла при ней | Теорема синусов; проверка через высоту $CH$ |
| Насколько верить ответу | Угол при недоступной точке | Чем он ближе к $90^\circ$, тем меньше влияет ошибка угломера |
Часто задаваемые вопросы
К точке $C$ нельзя подойти, поэтому поставить в ней угломер невозможно. Да он и не нужен: два угла при базе уже закрепляют рамку, а третий угол равен $180^\circ-\angle A-\angle B$.
Нет. Углы задают форму треугольника, но не размер: рамка с теми же углами бывает любого размера. Хотя бы одну длину нужно измерить, это и есть база.
Геодезисты используют теодолит — он измеряет и горизонтальные углы, и углы подъема. Для школьных измерений хватает самодельного угломера: транспортира с отвесом для углов подъема или транспортира на ровной дощечке для углов при базе.
Перейти к углу с горизонтом: он равен $90^\circ$ минус угол с вертикалью. Полезная проверка: если угол подъема меньше $45^\circ$, предмет ниже, чем расстояние до него, если больше — выше.
В уроке «Решение треугольников. Измерительные работы» разобраны задачи про маяк и буй — их удобно решить по тем же четырем шагам.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий