9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Площадь треугольника и параллелограмма через синус

Содержание

В уроке «Теорема синусов» вы узнали, как связаны стороны треугольника с синусами его углов. В 8 классе вы считали площадь треугольника как половину произведения основания на высоту (урок «Площадь треугольника»). В этом уроке соединим одно с другим: выразим высоту через сторону и синус, докажем формулу площади по двум сторонам и углу между ними для любого треугольника, перенесем ее на параллелограмм и научимся находить по площади угол, сторону и высоту.

Участок, у которого не измерили высоту

На плане — треугольный участок земли. Две его границы измерили: $7$ м и $10$ м, угол между ними — $60^\circ$. Третью границу не измеряли: она проходит по оврагу. Нужно найти площадь участка.

Формула из 8 класса — $S = \frac12 ah$: половина основания на высоту. Основание есть: граница $10$ м. Высоты нет: на плане она не отмечена, на местности к ней не подойти.

Слева треугольный участок: основание 10 м, сторона 7 м, угол 60° между ними, третья граница — овраг, высота h не измерена; справа рейка 7 м на шарнире в трех положениях — подъем 7 при 90°, 3,5 при 30°, при 60° — вопрос — Основание $10$ м известно, высота $h$ — нет; но подъем рейки $7$ м зависит только от угла при шарнире: $7$ при $90^\circ$, $3{,}5$ при $30^\circ$

Посмотрим на границу $7$ м как на рейку на шарнире — модель всего модуля. Шарнир стоит в вершине угла, рейка поворачивается вокруг него. Подъем конца рейки над линией основания и есть высота треугольника. Поставьте рейку перпендикулярно основанию: подъем равен всей длине, $7$ м. Положите рейку на основание: подъем $0$, треугольника нет. Поверните рейку на $30^\circ$: подъем равен половине рейки, $3{,}5$ м, потому что катет против угла $30^\circ$ — половина гипотенузы.

Значит, высоту не обязательно измерять: ее определяют рейка и угол при шарнире. Вопрос урока: как найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними, если высота не измерена? К участку вернемся в последнем разделе.

{"questions":[{"content":"Вообразавр ставит рейку длиной $7$ м на шарнир в конце границы участка длиной $10$ м. При каком угле между рейкой и границей площадь треугольного участка будет наибольшей?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$45^\\circ$","$90^\\circ$","$180^\\circ$","$150^\\circ$"],"explanations":["При $45^\\circ$ конец рейки поднят лишь на часть ее длины; все $7$ м становятся высотой при $90^\\circ$","","Рейка легла на продолжение границы: подъем $0$, треугольника нет","Рейка отклонилась назад и поднялась на столько же, на сколько при $30^\\circ$; выше всего ее конец при $90^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь — половина произведения основания $10$ м на высоту; основание не меняется, значит, площадь наибольшая при наибольшей высоте.","Высота — это подъем конца рейки над линией границы; весь подъем $7$ м получается, когда рейка стоит перпендикулярно границе.","Ответ: $90^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Высота — это рейка, умноженная на синус

Возьмем треугольник $ABC$ и обозначим стороны, как во всем модуле: $a = BC$, $b = CA$, угол $C$ лежит между сторонами $a$ и $b$. Шарнир поставим в вершину $C$: рейка — сторона $CA = b$, основание — сторона $BC$. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Пока считаем угол $C$ острым: тогда точка $H$ лежит на луче $CB$.

Треугольник ABC с острым углом C: рейка CA = b на шарнире C, высота AH к основанию BC; в прямоугольном треугольнике AHC катет AH лежит против угла C, поэтому AH = b · sin C — В прямоугольном треугольнике $AHC$ высота $AH$ — катет против угла $C$, гипотенуза — рейка $b$: $AH = b\sin C$

Треугольник $AHC$ прямоугольный: гипотенуза — рейка $CA = b$, катет $AH$ лежит против угла $C$. По определению синуса острого угла $\sin C = \dfrac{AH}{AC}$, отсюда $AH = AC \cdot \sin C = b\sin C$.

Проверим формулу на том, что уже знаем. Рейка длиной $8$: при $30^\circ$ формула дает $8 \cdot \frac12 = 4$ — половину гипотенузы, как и должно быть; при $90^\circ$ — $8 \cdot 1 = 8$, всю рейку. Чем ближе угол к $90^\circ$, тем выше поднят конец рейки.

Угол при шарнире	Синус угла	Подъем рейки длиной $8$
$30^\circ$	$\frac12$	$4$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$4\sqrt2 \approx 5{,}66$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$4\sqrt3 \approx 6{,}93$
$90^\circ$	$1$	$8$

Правило

Высота треугольника, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна произведению стороны $AC$ на синус угла $C$ между $AC$ и $BC$:

$$h_a = b\sin C$$

Словами: высота — это рейка, умноженная на синус угла при шарнире.

Вообразавр советует: прежде чем подставлять числа, проведите высоту на чертеже — из вершины, не лежащей на основании, опустите перпендикуляр. Сторона, которая выходит из этой вершины и образует с основанием данный угол, и есть рейка.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведена высота $AH$ к стороне $BC$. Какое выражение равно длине $AH$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AC \\cdot \\sin A$","$AC \\cdot \\cos C$","$BC \\cdot \\sin C$","$AC \\cdot \\sin C$"],"explanations":["Угол $A$ не стоит при шарнире $C$; в прямоугольном треугольнике $AHC$ синус угла $C$ равен $AH : AC$","Косинус дает тень рейки — отрезок $CH$ вдоль основания, а не высоту","Сторона $BC$ лежит на основании и не поднимается над ним; рейка, которая поднимается над $BC$, — это $AC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота $AH$ — катет прямоугольного треугольника $AHC$, его гипотенуза — $AC$.","$\\sin C = \\dfrac{AH}{AC}$, откуда $AH = AC \\cdot \\sin C$.","Ответ: $AC \\cdot \\sin C$."],"step":1},{"content":"В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 10$, $\\sin C = 0{,}6$. Найдите высоту $AH$, проведенную к стороне $BC$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Высота $AH$ — рейка $AC$, умноженная на синус угла при шарнире $C$: $AH = AC \\cdot \\sin C$.","$AH = 10 \\cdot 0{,}6$.","$AH = 6$."],"step":1}],"mix":1}

Угол между сторонами может быть любым, а формула одна

Теперь площадь: $S = \frac12 a h_a$, а $h_a$ мы уже выразили. Проверим, что формула не зависит от того, острый угол $C$, тупой или прямой.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

$$S = \frac12 ab\sin C$$

где $a$ и $b$ — стороны треугольника, $C$ — угол между ними.

Две панели: треугольник ABC с острым и с тупым углом C; высота AH к прямой BC в обоих случаях равна b · sin C, у тупого угла H лежит на продолжении BC и смежный угол ACH равен 180° − C — Острый угол $C$: точка $H$ на стороне $BC$; тупой угол $C$: точка $H$ на ее продолжении, угол $ACH = 180^\circ-C$. В обоих случаях $AH = b\sin C$

Доказательство

Шаг 1. Угол $C$ острый. Основание высоты $H$ лежит на луче $CB$ (где именно — неважно: нужен только треугольник $AHC$). В прямоугольном треугольнике $AHC$ катет $AH = b\sin C$ (раздел 2). Тогда $S = \frac12 a \cdot AH = \frac12 ab\sin C$.

Шаг 2. Угол $C$ тупой. Основание высоты — точка $H$ — лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ угол при вершине $C$ — это угол $ACH$, смежный с углом $C$ треугольника: $\angle ACH = 180^\circ-C$. Значит, $AH = b\sin(180^\circ-C)$. По формуле приведения (урок «Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения») $\sin(180^\circ-C) = \sin C$, и снова $AH = b\sin C$, $S = \frac12 ab\sin C$. По модели: рейка отклонилась назад, а поднята на ту же высоту.

Шаг 3. Угол $C$ прямой. Сторона $AC$ сама перпендикулярна $BC$, то есть $h_a = b$. Формула дает $\frac12 ab \cdot \sin 90^\circ = \frac12 ab \cdot 1 = \frac12 ab$ — половину произведения катетов, как и должно быть. Теорема доказана для любого угла $C$.

Пример

Две стороны треугольника равны $12$ и $9$, угол между ними $150^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Решение. Угол тупой, берем синус смежного угла: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ-30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac12$. Тогда $S = \frac12 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac12 = 27$.

Проверка по модели: рейка $9$ при угле $150^\circ$ образует с продолжением основания угол $30^\circ$ и поднята на $9 \cdot \frac12 = 4{,}5$; основание $12$: $\frac12 \cdot 12 \cdot 4{,}5 = 27$. Совпало.

Ответ: $27$.

Ошибка

Как ошибаются. Для угла $150^\circ$ берут $\sin 150^\circ = -\frac12$ «потому что угол тупой» и получают $S = -27$. Или берут $\sin 150^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ и получают $27\sqrt3 \approx 46{,}8$.

Проверка на числах. Площадь не бывает отрицательной. А рейка $9$ при $150^\circ$ поднята на $4{,}5$ — ровно на столько же, на сколько при $30^\circ$, поэтому и площадь та же, что при $30^\circ$: $27$, а не $46{,}8$.

Где ломается рассуждение. У тупого угла отрицателен косинус — тень рейки ушла назад. Синус — подъем рейки — положителен для любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ (урок «Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°»). И $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac12$, а $\frac{\sqrt3}{2}$ — синус углов $60^\circ$ и $120^\circ$.

В теореме сказано: «угол между ними». Обе стороны выходят из вершины этого угла — там и стоит шарнир. Если в задаче дан угол при другой вершине, формула с ним не работает.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, AB = 6, AC = 10, BC = 8: угол B образован сторонами AB и BC, а между AB и AC лежит угол A; запись 1/2 · 6 · 10 · sin 90° = 30 зачеркнута, верно S = 1/2 · 6 · 8 = 24 — Угол $B$ образован сторонами $AB$ и $BC$; между $AB$ и $AC$ лежит угол $A$ — его синус и берет формула

Ошибка

Как ошибаются. Подставляют в формулу любой данный угол. Пусть $AB = 6$, $AC = 10$ и угол $B = 90^\circ$. Ученик считает: $S = \frac12 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 90^\circ = 30$.

Проверка на числах. Треугольник прямоугольный с гипотенузой $AC = 10$ и катетом $AB = 6$. По теореме Пифагора $BC = 8$, и площадь равна $\frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$, а не $30$.

Где ломается рассуждение. Угол $B$ лежит между $AB$ и $BC$. Между взятыми сторонами $AB$ и $AC$ лежит угол $A$ — нужен его синус: $\sin A = \frac{BC}{AC} = 0{,}8$, и $\frac12 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 24$. По модели: шарнир стоит в общей вершине двух взятых реек, и угол берется именно в шарнире.

Повышенный уровень: площадь через три стороны и радиус описанной окружности

Скрыть

По теореме синусов $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$, то есть $\sin C = \dfrac{c}{2R}$. Подставим в формулу площади: $S = \frac12 ab \cdot \dfrac{c}{2R}$.

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Проверка: стороны $5$ и $8$, угол $60^\circ$; по теореме косинусов $c = 7$, $R = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\sqrt3}$, и $\dfrac{abc}{4R} = \dfrac{5 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 7} \cdot \sqrt3 = 10\sqrt3$, как и $\frac12 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ$.

{"questions":[{"content":"В треугольнике $KLM$ известно: $KL = 5$, $KM = 13$, угол $L = 90^\\circ$. Решавр считает: «$S = \\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 13 \\cdot \\sin 90^\\circ = 32{,}5$». Прав ли Решавр?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: две стороны и угол даны, $S = 32{,}5$","Нет: в записи потерян множитель $\\frac12$","Нет: взят угол $L$, а не угол $K$ между $KL$ и $KM$","Нет: $\\sin 90^\\circ$ равен $0$, а не $1$"],"explanations":["Угол $L$ образован сторонами $KL$ и $LM$; по теореме Пифагора $LM = 12$ и $S = \\frac12 \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$","Половина в записи есть; ошибка в выборе угла","Угол $L$ лежит между $KL$ и $LM$; треугольник прямоугольный, $LM = 12$ и верно $S = \\frac12 \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$","$\\sin 90^\\circ = 1$ взят верно; ошибка в выборе угла"],"answer":[2]}},"hints":["Формула берет синус угла <em>между</em> двумя взятыми сторонами. $KL$ и $KM$ выходят из вершины $K$.","Угол $L$ лежит между $KL$ и $LM$. Треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора $LM = \\sqrt{13^2-5^2} = 12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$; число $32{,}5$ у Решавра — не площадь."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Две стороны треугольника равны $8$ и $5$, угол между ними $150^\\circ$. Найдите площадь треугольника. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lubkmts9qcjl.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin (180^\\circ-30^\\circ) = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot 5 \\cdot \\dfrac12 = 20 \\cdot \\dfrac12$.","$S = 10$."],"step":1}],"mix":1}

Параллелограмм — два треугольника, поэтому без половины

Возьмем параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$, $AD = b$ и углом $\alpha$ между ними — углом $A$. Проведем диагональ $BD$. Она делит параллелограмм на два треугольника $ABD$ и $CDB$, и они равны по трем сторонам: $BD$ общая, $AB = CD$ и $AD = CB$ как противоположные стороны параллелограмма.

Параллелограмм ABCD со сторонами a и b и углом α; диагональ BD делит его на два равных треугольника, высота из D равна b · sin α, поэтому S = ab · sin α — Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника; каждый — $\frac12 ab\sin\alpha$, вместе — $ab\sin\alpha$

Площадь треугольника $ABD$ по теореме: $\frac12 ab\sin\alpha$ — две стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними. Площадь параллелограмма вдвое больше: $2 \cdot \frac12 ab\sin\alpha = ab\sin\alpha$. По модели: рейка $AD = b$ на шарнире $A$ поднята на $b\sin\alpha$ — это высота параллелограмма, а его площадь — основание на высоту, без половины.

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними:

$$S = ab\sin\alpha$$

Угол $\alpha$ можно брать любой из четырех: соседние углы параллелограмма дают в сумме $180^\circ$, а $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$.

Ошибка

Как ошибаются. Две ошибки — зеркальные. Треугольник со сторонами $6$ и $11$ и углом $30^\circ$ между ними: Решавр считает $S = 6 \cdot 11 \cdot \sin 30^\circ = 33$ — без половины. Параллелограмм с теми же сторонами и углом: Решавр считает $S = \frac12 \cdot 6 \cdot 11 \cdot \sin 30^\circ = 16{,}5$ — с половиной.

Проверка на числах. $33$ — площадь всего параллелограмма со сторонами $6$ и $11$ и углом $30^\circ$, а треугольник — его половина, $16{,}5$.

Где ломается рассуждение. Половина пришла из формулы $S = \frac12 ah$: треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. У самого параллелограмма половины нет: $S = ah = ab\sin\alpha$.

Параллелограмм со сторонами 11 и 6 и углом 30°, высота 6 · sin 30° = 3: диагональ делит его на два треугольника по 16,5, весь параллелограмм — 33; без половины получается весь параллелограмм, с половиной — только треугольник — Без половины получается весь параллелограмм ($33$); с половиной — только треугольник ($16{,}5$)

{"questions":[{"content":"Две стороны треугольника $10$ и $12$, угол между ними $30^\\circ$. Решавр считает: «$S = 10 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30^\\circ = 120 \\cdot \\dfrac12 = 60$». Прав ли Решавр?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: $S = 60$","Нет: $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$","Нет: нужен косинус, а не синус","Нет: забыт множитель $\\frac12$"],"explanations":["$60$ — площадь прямоугольного треугольника с катетами $10$ и $12$; при угле $30^\\circ$ она вдвое меньше","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 30^\\circ$; синус $30^\\circ$ равен $\\frac12$ и взят верно","Площадь считается через синус угла между сторонами; косинус — для третьей стороны","Верно $S = \\frac12 \\cdot 10 \\cdot 12 \\cdot \\frac12 = 30$: вдвое меньше, чем у прямоугольного треугольника с катетами $10$ и $12$"],"answer":[3]}},"hints":["Сравните с прямоугольным треугольником с катетами $10$ и $12$: его площадь $60$, а наш угол меньше $90^\\circ$, значит, площадь меньше.","В формуле площади треугольника есть множитель $\\dfrac12$: $S = \\dfrac12 ab\\sin C$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 10 \\cdot 12 \\cdot \\dfrac12 = 30$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Стороны параллелограмма $5$ и $9$, угол между ними $30^\\circ$. Решавр считает: «$S = \\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 9 \\cdot \\sin 30^\\circ = 11{,}25$». Прав ли Решавр?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Да: $S = 11{,}25$","Нет: нужен угол $150^\\circ$, а не $30^\\circ$","Нет: $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$","Нет: множитель $\\frac12$ есть только у треугольника"],"explanations":["$11{,}25$ — площадь одного из двух треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм","У соседних углов параллелограмма синусы равны: $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$; ошибка в формуле","$\\sin 30^\\circ = \\frac12$ взят верно; ошибка в формуле","У параллелограмма $S = ab\\sin\\alpha = 5 \\cdot 9 \\cdot \\frac12 = 22{,}5$; $11{,}25$ — половина, один из двух треугольников"],"answer":[3]}},"hints":["Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника; $\\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 9 \\cdot \\sin 30^\\circ = 11{,}25$ — площадь одного из них.","Площадь параллелограмма вдвое больше: $S = ab\\sin\\alpha$.","$S = 5 \\cdot 9 \\cdot \\dfrac12 = 22{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]Стороны параллелограмма равны $6$ и $10$, угол между ними $30^\\circ$. Найдите площадь параллелограмма. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4q8zfkkqhazh.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника с теми же сторонами и углом.","$S = 2 \\cdot \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 30^\\circ = 60 \\cdot \\dfrac12$.","$S = 30$."],"step":1}],"mix":1}

Когда площадь известна: угол, сторона, высота

Формула $S = \frac12 ab\sin C$ связывает четыре величины: $S$, $a$, $b$ и $\sin C$. Известны любые три — четвертая выражается из формулы, и множитель $\frac12$ переходит в двойку в числителе. А вторая запись той же площади, $S = \frac12 a h_a$, дает по площади высоту.

Что дано	Что ищем	Формула
$a$, $b$, угол $C$	$S$	$S = \frac12 ab\sin C$
$S$, $a$, $b$	$\sin C$	$\sin C = \frac{2S}{ab}$
$S$, $a$, угол $C$	$b$	$b = \frac{2S}{a\sin C}$
$S$, $a$	$h_a$	$h_a = \frac{2S}{a}$

Пример

Две стороны треугольника равны $5$ и $8$, угол между ними $60^\circ$. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне $8$.

Решение. Площадь: $S = \frac12 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3$.

Высота к стороне $8$ — из записи $S = \frac12 \cdot 8 \cdot h$: $h = \dfrac{2S}{8} = \dfrac{20\sqrt3}{8} = \dfrac{5\sqrt3}{2} \approx 4{,}33$.

Проверка по модели: та же высота — это рейка $5$, умноженная на синус угла при шарнире: $5\sin 60^\circ = \dfrac{5\sqrt3}{2}$. Совпало.

Ответ: $S = 10\sqrt3$, $h = \dfrac{5\sqrt3}{2}$.

Треугольник с основанием 8 и рейкой 5 под углом 60°: высота h равна и 5 · sin 60°, и 2S : 8 при S = 10√3 — обе дороги дают h = 5√3 / 2 ≈ 4,33 — К высоте ведут две дороги: $5\sin 60^\circ$ и $\frac{2S}{8}$ — результат один, $\frac{5\sqrt3}{2}$

Пример

Площадь треугольника равна $7{,}5$, две его стороны равны $3$ и $10$. Найдите угол между этими сторонами.

Решение. $\sin C = \dfrac{2S}{ab} = \dfrac{15}{30} = \dfrac12$. Синус равен $\frac12$ у двух углов от $0^\circ$ до $180^\circ$: $30^\circ$ и $150^\circ$. Подходят оба: рейка $3$ поднята на $1{,}5$ и при $30^\circ$, и при $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

Важно

По площади находится синус угла, а одно значение синуса есть у двух углов: $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$. Смотрите в условие: угол острый — берите $\alpha$, тупой — $180^\circ-\alpha$, не сказано — ответа два.

{"questions":[{"content":"Стороны треугольника $a$ и $b$, угол $C$ между ними, $h$ — высота к стороне $a$. Для каждой задачи подберите формулу; одна формула лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Найти площадь по двум сторонам и углу между ними","Найти синус угла по площади и двум сторонам","Найти сторону $b$ по площади, стороне $a$ и углу $C$","Найти высоту к стороне $a$ по площади"],"items":["$S = \\dfrac12 ab\\sin C$","$\\sin C = \\dfrac{2S}{ab}$","$b = \\dfrac{2S}{a\\sin C}$","$h = \\dfrac{2S}{a}$","$\\sin C = \\dfrac{S}{ab}$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и формулу","hints":["Все формулы — одна и та же $S = \\dfrac12 ab\\sin C$, из которой выражена нужная величина; при выражении множитель $\\dfrac12$ переходит в двойку в числителе.","Высота — из другой записи той же площади: $S = \\dfrac12 ah$, откуда $h = \\dfrac{2S}{a}$.","Лишняя формула $\\sin C = \\dfrac{S}{ab}$ — без двойки: она дает синус вдвое меньше верного."],"step":1},{"content":"Площадь треугольника равна $12$, две его стороны равны $6$ и $8$, угол между ними острый. Найдите этот угол в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Из $S = \\dfrac12 ab\\sin C$ выразите синус: $\\sin C = \\dfrac{2S}{ab}$.","$\\sin C = \\dfrac{24}{48} = \\dfrac12$.","Угол острый: $C = 30^\\circ$."],"step":1},{"content":"Две стороны треугольника равны $5$ и $12$, угол между ними $30^\\circ$. Найдите высоту, проведенную к стороне $12$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"]}},"hints":["Сначала площадь: $S = \\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 12 \\cdot \\sin 30^\\circ = 15$.","Та же площадь через основание $12$ и высоту $h$: $S = \\dfrac12 \\cdot 12 \\cdot h$, откуда $h = \\dfrac{2S}{12}$.","$h = \\dfrac{30}{12} = 2{,}5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Участок и задачи ОГЭ

Вернемся к участку: границы $7$ м и $10$ м, угол между ними $60^\circ$. Шарнир — в вершине этого угла, рейка — граница $7$ м, основание — граница $10$ м. Подъем рейки: $7\sin 60^\circ = \dfrac{7\sqrt3}{2} \approx 6{,}06$ м. Площадь: $S = \frac12 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{35\sqrt3}{2} \approx 30{,}3$ м². Третья граница не понадобилась.

Тот же участок: основание 10 м, сторона 7 м, угол 60°, овраг; высота найдена без измерения — 7 · sin 60° ≈ 6,06 м, площадь S = 1/2 · 10 · 7 · sin 60° = 35√3 / 2 ≈ 30,3 м² — Высота участка $7\sin 60^\circ \approx 6{,}06$ м найдена без измерения; площадь $\frac{35\sqrt3}{2} \approx 30{,}3$ м²

В ОГЭ эта формула встречается в задании 15 (треугольник) и в задании 17 (параллелограмм, ромб): две стороны и угол между ними, чаще всего $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$ или $150^\circ$. Порядок действий один и тот же.

Порядок действий

1. Найдите шарнир — общую вершину двух данных сторон — и проверьте, что данный угол стоит при ней. Если нет, сначала найдите нужный угол или сторону по теореме синусов или косинусов (уроки «Теорема синусов» и «Теорема косинусов»).

2. Если угол тупой, замените его синус синусом смежного острого угла: $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$.

3. Треугольник — с половиной: $\frac12 ab\sin C$. Параллелограмм — без: $ab\sin\alpha$.

4. Если дана площадь, а найти надо угол, сторону или высоту, выразите неизвестное из формулы: двойка уходит в числитель.

Пример

Сторона ромба равна $4$, один из его углов равен $150^\circ$. Найдите площадь ромба.

Решение. Ромб — параллелограмм с равными сторонами, поэтому $S = 4 \cdot 4 \cdot \sin 150^\circ = 16 \cdot \frac12 = 8$. Половины нет: это параллелограмм, а не треугольник.

Ответ: $8$.

Дальше — урок «Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам».

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ известны $AB = 8$, $AC = 5$ и угол $A = 60^\\circ$. Какая формула дает площадь сразу?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$S = \\dfrac12 \\cdot AB \\cdot AC \\cdot \\cos A$","$S = \\dfrac12 \\cdot AB \\cdot AC \\cdot \\sin A$","$S = \\dfrac12 \\cdot BC \\cdot h$","$S = \\dfrac12 \\cdot AB \\cdot AC$"],"explanations":["В формуле площади стоит синус угла между сторонами, косинус — в теореме косинусов","","Ни сторона $BC$, ни высота $h$ не даны: их пришлось бы вычислять","Это площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB$ и $AC$, а угол $A = 60^\\circ$, не прямой"],"answer":[1]}},"hints":["Даны две стороны и угол между ними (обе стороны выходят из $A$).","Для формулы с высотой высоту пришлось бы сначала найти.","Ответ: $S = \\dfrac12 \\cdot AB \\cdot AC \\cdot \\sin A$."],"step":1},{"content":"В каких задачах площадь треугольника считается сразу по формуле с синусом, в каких — через основание и высоту, а в каких по данным сразу посчитать нельзя?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сразу: две стороны и синус угла между ними","Сразу: основание и высота","Сразу нельзя: угол не между данными сторонами"],"items":[["$AB = 5$, $AC = 7$, угол $A = 40^\\circ$","Стороны $3$ и $7$, угол между ними $150^\\circ$"],["$BC = 9$, высота к $BC$ равна $4$","Основание $12$, высота $5$"],["$AB = 5$, $BC = 7$, угол $A = 40^\\circ$","$MN = 6$, $NK = 8$, угол $K = 35^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Формула с синусом требует угол между двумя данными сторонами: обе стороны выходят из вершины этого угла.","$AB$ и $AC$ выходят из $A$ — угол $A$ между ними; $AB$ и $BC$ выходят из $B$ — угол $A$ не между ними. $MN$ и $NK$ выходят из $N$, а дан угол $K$.","Ответ: с синусом — «$AB = 5$, $AC = 7$, угол $A$» и «стороны $3$ и $7$, угол $150^\\circ$»; основание и высота — «$BC = 9$, высота $4$» и «основание $12$, высота $5$»; сразу нельзя — «$AB = 5$, $BC = 7$, угол $A$» и «$MN$, $NK$, угол $K$»."],"step":1},{"content":"Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["синус любого угла треугольника","косинус угла между ними","синус угла между ними","синус угла против одной из них"],"answer":2}},"hints":["Высота к стороне $a$ равна $b\\sin C$, где $C$ — угол между $a$ и $b$.","$S = \\dfrac12 a \\cdot b\\sin C$: синус угла между этими сторонами."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Весь урок держится на одной мысли: высота треугольника — это рейка, умноженная на синус угла при шарнире, $h_a = b\sin C$. Отсюда площадь треугольника $S = \frac12 ab\sin C$ для любого угла между сторонами, площадь параллелограмма $S = ab\sin\alpha$ и обратные задачи. Это самый короткий путь к площади в заданиях ОГЭ 15 и 17 и опора для решения треугольников. Чтобы вспомнить главное, поставьте рейку на шарнир.

Случай	Что говорит модель
Треугольник: две стороны и угол между ними	основание на подъем рейки, пополам: $S = \frac12 ab\sin C$
Параллелограмм: две стороны и угол между ними	два равных треугольника: $S = ab\sin\alpha$, без половины
Угол тупой	рейка отклонилась назад, подъем тот же: $\sin(180^\circ-C) = \sin C$
Какой угол брать	тот, что в шарнире — между двумя взятыми сторонами
Дана площадь	выразите неизвестное, двойка в числитель: $h_a = \frac{2S}{a}$

Часто задаваемые вопросы

Угол между сторонами тупой — синус не станет отрицательным?

Нет: синус — подъем рейки — положителен для всех углов от $0^\circ$ до $180^\circ$, отрицателен у тупого угла только косинус. Поэтому $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac12$, и площадь при $150^\circ$ такая же, как при $30^\circ$.

Можно ли взять любые две стороны и любой угол треугольника?

Две стороны — любые, но угол — только тот, что между ними, при их общей вершине. Если дан угол при другой вершине, сначала найдите угол между выбранными сторонами по теореме синусов или косинусов.

Почему у параллелограмма нет половины, а у треугольника есть?

Диагональ режет параллелограмм на два равных треугольника: половина — у каждого из них, а параллелограмм — две такие половины, $ab\sin\alpha$. Проверка: прямоугольник — параллелограмм с углом $90^\circ$, и $ab\sin 90^\circ = ab$.

Что делать, если известны три стороны и ни одного угла?

Найдите угол между двумя сторонами по теореме косинусов, затем его синус — по основному тригонометрическому тождеству, и формула площади заработает. Так решают треугольники в следующем уроке.

Как не забыть половину?

Сравните ответ с прямоугольным треугольником с катетами $a$ и $b$: его площадь $\frac12 ab$, а при любом другом угле между теми же сторонами площадь не больше, потому что синус не превышает $1$. Получилось больше $\frac12 ab$ — половина потеряна.

Награды за урок