Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Чему равен $\\cos 160^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cos 20^\\circ$","$\\sin 20^\\circ$","$-\\cos 20^\\circ$","$-\\sin 20^\\circ$"],"explanations":["Косинус тупого угла отрицателен, а $\\cos 20^\\circ > 0$","$\\sin 20^\\circ = \\cos 70^\\circ$ — другой угол; знак у $\\cos 160^\\circ$ отрицательный","","Через зеркальный угол меняется только знак косинуса, функция остается косинусом"],"answer":[2]}},"hints":["$160^\\circ = 180^\\circ-20^\\circ$: точки для $160^\\circ$ и $20^\\circ$ зеркальны относительно оси ординат.","Абсцисса меняет знак.","$\\cos 160^\\circ = -\\cos 20^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"Чему равен $\\sin 125^\\circ$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-\\sin 55^\\circ$","$\\sin 55^\\circ$","$-\\cos 55^\\circ$","$\\cos 55^\\circ$"],"explanations":["Синус угла от $0^\\circ$ до $180^\\circ$ не бывает отрицательным","","$-\\cos 55^\\circ = \\cos 125^\\circ$ — это косинус, а не синус","$\\cos 55^\\circ = \\sin 35^\\circ$ — другой угол; синус зеркального угла равен синусу самого угла"],"answer":[1]}},"hints":["$125^\\circ = 180^\\circ-55^\\circ$: точки для $125^\\circ$ и $55^\\circ$ на одной высоте.","Ордината не меняется.","$\\sin 125^\\circ = \\sin 55^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"Угол $\\alpha$ острый, $\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{17}$. Найдите $\\cos\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15/17"}},"hints":["$\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{64}{289} = \\dfrac{225}{289}$.","Угол острый: косинус положителен.","$\\cos\\alpha = \\dfrac{15}{17}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Угол $\\alpha$ острый, $\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}$. Найдите $\\cos\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"24/25"}},"hints":["$\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{49}{625} = \\dfrac{576}{625}$.","Угол острый: косинус положителен.","$\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте значение и равное ему выражение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\sin 115^\\circ$","$\\cos 115^\\circ$","$\\operatorname{tg} 115^\\circ$"],"items":["$\\sin 65^\\circ$","$-\\cos 65^\\circ$","$-\\operatorname{tg} 65^\\circ$","$-\\sin 65^\\circ$"]}},"hints":["$115^\\circ = 180^\\circ-65^\\circ$: рейки зеркальны, высота та же, тень меняет знак.","Синус сохраняется, косинус меняет знак, а с ним и тангенс.","$\\sin 115^\\circ = \\sin 65^\\circ$, $\\cos 115^\\circ = -\\cos 65^\\circ$, $\\operatorname{tg} 115^\\circ = -\\operatorname{tg} 65^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте значение и равное ему выражение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\sin 98^\\circ$","$\\cos 98^\\circ$","$\\operatorname{tg} 98^\\circ$"],"items":["$\\sin 82^\\circ$","$-\\cos 82^\\circ$","$-\\operatorname{tg} 82^\\circ$","$-\\sin 82^\\circ$"]}},"hints":["$98^\\circ = 180^\\circ-82^\\circ$: рейки зеркальны, высота та же, тень меняет знак.","Синус сохраняется, косинус меняет знак, а с ним и тангенс.","$\\sin 98^\\circ = \\sin 82^\\circ$, $\\cos 98^\\circ = -\\cos 82^\\circ$, $\\operatorname{tg} 98^\\circ = -\\operatorname{tg} 82^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Известно, что $\\cos\\alpha = -\\dfrac{5}{13}$ и $0^\\circ \\le \\alpha \\le 180^\\circ$. Найдите $\\sin\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12/13"}},"hints":["$\\sin^2\\alpha = 1-\\dfrac{25}{169} = \\dfrac{144}{169}$.","Синус на полуокружности неотрицателен.","$\\sin\\alpha = \\dfrac{12}{13}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Известно, что $\\cos\\alpha = -\\dfrac{15}{17}$ и $0^\\circ \\le \\alpha \\le 180^\\circ$. Найдите $\\sin\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"8/17"}},"hints":["$\\sin^2\\alpha = 1-\\dfrac{225}{289} = \\dfrac{64}{289}$.","Синус на полуокружности неотрицателен.","$\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{17}$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]Угол $\\alpha$ тупой, $\\sin\\alpha = \\dfrac{28}{53}$. Решавр нашел: «$\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{784}{2809} = \\dfrac{2025}{2809}$, значит, $\\cos\\alpha = \\dfrac{45}{53}$, и $\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{28}{45}$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qwxyrysguivh.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Тангенс надо искать как $\\dfrac{45}{28}$","Неверно вычтено: $\\cos^2\\alpha = \\dfrac{784}{2809}$","Потерян знак: $\\cos\\alpha = -\\dfrac{45}{53}$, поэтому $\\operatorname{tg}\\alpha = -\\dfrac{28}{45}$","Ошибки нет: тангенс тупого угла положителен"],"explanations":["Тангенс — отношение синуса к косинусу, а не наоборот","$2809-784 = 2025$, вычитание верное; ошибка в знаке косинуса","","Синус положителен, косинус отрицателен, значит, тангенс тупого угла отрицателен"],"answer":[2]}},"hints":["Из $\\cos^2\\alpha = \\dfrac{2025}{2809}$ следуют два значения: $\\dfrac{45}{53}$ и $-\\dfrac{45}{53}$.","У тупого угла точка полуокружности левее оси ординат, косинус отрицателен; тангенс — отношение синуса к косинусу.","$\\cos\\alpha = -\\dfrac{45}{53}$, $\\operatorname{tg}\\alpha = -\\dfrac{28}{45}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]Угол $\\alpha$ тупой, $\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{17}$. Решавр пишет: «$\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{64}{289} = \\dfrac{225}{289}$, значит, $\\cos\\alpha = \\dfrac{15}{17}$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ncefiqsjcyfq.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Надо было вычитать без квадратов: $\\cos\\alpha = 1-\\dfrac{8}{17}$","$1-\\dfrac{64}{289}$ равно $\\dfrac{15}{17}$, а не $\\dfrac{225}{289}$","Ошибки нет: $\\cos\\alpha = \\dfrac{15}{17}$","Не учтен вид угла: у тупого угла $\\cos\\alpha = -\\frac{15}{17}$"],"explanations":["Тождество связывает квадраты: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$","$1-\\frac{64}{289} = \\frac{225}{289}$ верно; корень из него, $\\frac{15}{17}$, появляется на следующем шаге","Косинус тупого угла отрицателен; $\\frac{15}{17}$ — косинус острого угла с тем же синусом",""],"answer":[3]}},"hints":["Из $\\cos^2\\alpha = \\dfrac{225}{289}$ следуют два значения: $\\dfrac{15}{17}$ и $-\\dfrac{15}{17}$.","Выбор знака — по виду угла: у тупого угла точка полуокружности левее оси ординат.","$\\cos\\alpha = -\\dfrac{15}{17}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Известно, что $\\cos\\alpha = 0{,}28$. Найдите $\\cos (180^\\circ-\\alpha)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["-0,28","-0.28"]}},"hints":["Косинус зеркального угла — тот же по модулю, с другим знаком.","$\\cos (180^\\circ-\\alpha) = -\\cos\\alpha$.","$-0{,}28$."],"step":1},{"id":"6","content":"Известно, что $\\sin\\alpha = 0{,}28$. Найдите $\\sin (180^\\circ-\\alpha)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,28","0.28"]}},"hints":["Точки для $\\alpha$ и $180^\\circ-\\alpha$ на одной высоте.","$\\sin (180^\\circ-\\alpha) = \\sin\\alpha$.","$0{,}28$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]Решавр пишет: «$\\sin 130^\\circ = \\sin (180^\\circ-50^\\circ) = -\\sin 50^\\circ$, ведь угол тупой». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l5smhpgs7wam.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Знак меняется у косинуса, а не у синуса: $\\sin 130^\\circ = \\sin 50^\\circ$","Ошибки нет: синус тупого угла отрицателен","$130^\\circ = 180^\\circ-50^\\circ$ — неверное разложение","Надо было написать $\\cos 50^\\circ$"],"explanations":["","Точки полуокружности не опускаются ниже оси абсцисс: синус неотрицателен","$180^\\circ-50^\\circ = 130^\\circ$ верно; ошибка в знаке","$\\cos 50^\\circ = \\sin 40^\\circ$, а не $\\sin 130^\\circ$; функция при переходе к смежному углу не меняется"],"answer":[0]}},"hints":["Нарисуйте рейки под $50^\\circ$ и $130^\\circ$: они зеркальны, концы на одной высоте.","Высота — синус; она одинаковая и положительная. Знак меняет тень, то есть косинус.","$\\sin 130^\\circ = \\sin 50^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр вычисляет: «$\\sin 150^\\circ + \\sin 30^\\circ = -\\dfrac12 + \\dfrac12 = 0$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\sin 150^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$","$\\sin 150^\\circ = \\frac12$, а не $-\\frac12$: сумма равна $1$","Ошибки нет: сумма равна $0$","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$"],"explanations":["Синус не бывает отрицательным на полуокружности, а $\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $60^\\circ$ и $120^\\circ$","","Нулю равна сумма $\\cos 150^\\circ + \\cos 30^\\circ$; синусы смежных углов равны","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 30^\\circ$; синус $30^\\circ$ равен $\\frac12$"],"answer":[1]}},"hints":["Точки полуокружности для $30^\\circ$ и $150^\\circ$ на одной высоте $\\dfrac12$.","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$; минус был бы у косинуса $150^\\circ$.","Верно: $\\dfrac12 + \\dfrac12 = 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Распределите утверждения (угол $\\alpha$ — от $0^\\circ$ до $180^\\circ$).[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$\\sin^2 70^\\circ + \\cos^2 70^\\circ = 1$","$\\cos 110^\\circ = -\\cos 70^\\circ$"],["$\\sin 110^\\circ = -\\sin 70^\\circ$","$\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1$ для любого угла $\\alpha$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Тождество: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$ для любого угла; зеркальный угол меняет знак косинуса.","Синус зеркального угла тот же; у синуса квадрат нельзя «раскрыть» как $\\sin\\alpha^2$.","Верно: $\\sin^2 70^\\circ + \\cos^2 70^\\circ = 1$; $\\cos 110^\\circ = -\\cos 70^\\circ$. Неверно: $\\sin 110^\\circ = -\\sin 70^\\circ$; $\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1$ для любого угла $\\alpha$."],"step":1},{"id":"8","content":"Распределите утверждения (угол $\\alpha$ — от $0^\\circ$ до $180^\\circ$).[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$\\sin 100^\\circ = \\sin 80^\\circ$","Если $\\sin\\alpha = \\frac35$, то $\\cos\\alpha = \\pm\\frac45$"],["$\\cos 100^\\circ = \\cos 80^\\circ$","$\\sin^2\\alpha$ — то же, что $\\sin (\\alpha^2)$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Тождество: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$; синус зеркального угла тот же, косинус — с другим знаком.","Если $\\cos\\alpha < 0$, угол тупой; из тождества косинус находится с точностью до знака.","Верно: $\\sin 100^\\circ = \\sin 80^\\circ$; если $\\sin\\alpha = \\frac35$, то $\\cos\\alpha = \\pm\\frac45$. Неверно: $\\cos 100^\\circ = \\cos 80^\\circ$; $\\sin^2\\alpha = \\sin\\alpha^2$."],"step":1},{"id":"9","content":"Угол $\\alpha$ тупой, $\\cos\\alpha = -\\dfrac35$. Найдите $\\operatorname{tg}\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"-4/3"}},"hints":["Сначала синус: $\\sin^2\\alpha = 1-\\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$, $\\sin\\alpha = \\dfrac45$ (синус неотрицателен).","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac45 : \\left(-\\dfrac35\\right)$.","$\\operatorname{tg}\\alpha = -\\dfrac43$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Угол $\\alpha$ тупой, $\\cos\\alpha = -\\dfrac{7}{25}$. Найдите $\\operatorname{tg}\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"-24/7"}},"hints":["Сначала синус: $\\sin^2\\alpha = 1-\\dfrac{49}{625} = \\dfrac{576}{625}$, $\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{25}$ (синус неотрицателен).","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{24}{25} : \\left(-\\dfrac{7}{25}\\right)$.","$\\operatorname{tg}\\alpha = -\\dfrac{24}{7}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Известно, что $\\sin\\alpha = 0{,}8$ и $0^\\circ \\le \\alpha \\le 180^\\circ$; больше об угле ничего не известно. Чему может быть равен $\\cos\\alpha$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Только $-0{,}6$","Только $0{,}6$","$0{,}6$ или $-0{,}6$","$0{,}2$"],"explanations":["Такой же синус у острого угла, его косинус $0{,}6$; без условия на вид угла ответа два","Такой же синус у тупого угла $180^\\circ-\\alpha$, а его косинус равен $-0{,}6$","","Так выходит из «$1-0{,}8$»; тождество связывает квадраты, а не сами значения"],"answer":[2]}},"hints":["$\\cos^2\\alpha = 1-0{,}64 = 0{,}36$.","Два угла с таким синусом: острый (косинус положителен) и тупой (отрицателен).","$\\cos\\alpha = 0{,}6$ или $\\cos\\alpha = -0{,}6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Известно, что $\\sin\\alpha = 0{,}28$ и $0^\\circ \\le \\alpha \\le 180^\\circ$; больше об угле ничего не известно. Чему может быть равен $\\cos\\alpha$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$0{,}96$ или $-0{,}96$","Только $0{,}96$","Только $-0{,}96$","$0{,}72$"],"explanations":["","Такой же синус у тупого угла $180^\\circ-\\alpha$, а его косинус равен $-0{,}96$","Такой же синус у острого угла, его косинус $0{,}96$; без условия на вид угла ответа два","Так выходит из «$1-0{,}28$»; тождество связывает квадраты, а не сами значения"],"answer":[0]}},"hints":["$\\cos^2\\alpha = 1-0{,}0784 = 0{,}9216$.","$\\sqrt{0{,}9216} = 0{,}96$; два угла с таким синусом: острый и тупой.","$\\cos\\alpha = 0{,}96$ или $\\cos\\alpha = -0{,}96$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>