Решение треугольников

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 6$ и $BC = 16$, угол $C = 60^\\circ$. Решавр начинает искать $AB$ по теореме синусов: «$\\dfrac{AB}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{16}{\\sin A}$». Какое решение верное?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qq86q7uagski.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["<span>Теорема синусов:<br>$AB = 16 \\sin 60^\\circ$,<br>$AB = 8\\sqrt3$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$AB = 36 + 256-96$,<br>$AB = 196$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$AB^2 = 36 + 256 + 96$,<br>$AB = \\sqrt{388}$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$AB^2 = 36 + 256-96$,<br>$AB = 14$</span>"],"explanations":["Так было бы, только если $\\sin A = 1$, то есть угол $A$ прямой, а этого никто не дал: угол $A$ неизвестен, и пары «сторона — угол против нее» нет","Теорема косинусов дает квадрат стороны: $AB^2 = 196$, а сама сторона $AB = 14$","Угол $60^\\circ$ острый, $\\cos 60^\\circ = \\dfrac12 > 0$, поэтому $2ab\\cos C$ вычитают, а не прибавляют",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол $C$ стоит между известными сторонами $AC$ и $BC$ — это случай SAS. В записи Решавра неизвестны и $AB$, и угол $A$: теорема синусов здесь не работает.","Теорема косинусов: $AB^2 = 36 + 256-2 \\cdot 6 \\cdot 16 \\cdot \\dfrac12 = 196$.","$AB = 14$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В треугольнике $MNK$ стороны $MN = 12$ и $NK = 32$, угол $N = 60^\\circ$. Решавр начинает искать $MK$ по теореме синусов: «$\\dfrac{MK}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{32}{\\sin M}$». Какое решение верное?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/f3emp9ytxt6v.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["<span>Теорема синусов:<br>$MK = 32 \\sin 60^\\circ$,<br>$MK = 16\\sqrt3$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$MK^2 = 144 + 1024 + 384$,<br>$MK = \\sqrt{1552}$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$MK^2 = 144 + 1024-384$,<br>$MK = 28$</span>","<span>Теорема косинусов:<br>$MK = 144 + 1024-384$,<br>$MK = 784$</span>"],"explanations":["Так было бы, только если $\\sin M = 1$, то есть угол $M$ прямой, а этого никто не дал: угол $M$ неизвестен, и пары «сторона — угол против нее» нет","Угол $60^\\circ$ острый, $\\cos 60^\\circ = \\dfrac12 > 0$, поэтому $2ab\\cos N$ вычитают, а не прибавляют","","Теорема косинусов дает квадрат стороны: $MK^2 = 784$, а сама сторона $MK = 28$"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $N$ стоит между известными сторонами $MN$ и $NK$ — это случай SAS. В записи Решавра неизвестны и $MK$, и угол $M$: теорема синусов здесь не работает.","Теорема косинусов: $MK^2 = 144 + 1024-2 \\cdot 12 \\cdot 32 \\cdot \\dfrac12 = 784$.","$MK = 28$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 7$ и $BC = 8$, угол $C = 120^\\circ$. Найдите $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wynemombqmkn.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому $-2ab\\cos C = +ab$.","$AB^2 = 49 + 64 + 56 = 169$.","$AB = 13$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]В треугольнике $MNK$ стороны $MN = 14$ и $NK = 16$, угол $N = 120^\\circ$. Найдите $MK$. [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zl0bmtz3utot.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["$\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$, поэтому $-2ab\\cos N = +ab$.","$MK^2 = 196 + 256 + 224 = 676$.","$MK = 26$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 13$, $AC = 35$, $BC = 43$. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i5nipnwv8dwu.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Угол $A$ лежит против стороны $BC = 43$.","$\\cos A = \\dfrac{169 + 1225-1849}{2 \\cdot 13 \\cdot 35} = \\dfrac{-455}{910} = -\\dfrac12$.","Косинус отрицательный — угол тупой: $A = 120^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]В треугольнике $PQR$ стороны $PQ = 16$, $QR = 39$, $PR = 49$. Найдите угол $Q$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5hqmbcakvbvb.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Угол $Q$ лежит против стороны $PR = 49$.","$\\cos Q = \\dfrac{256 + 1521-2401}{2 \\cdot 16 \\cdot 39} = \\dfrac{-624}{1248} = -\\dfrac12$.","Косинус отрицательный — угол тупой: $Q = 120^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]В треугольнике $ABC$ сторона $a = 6$, угол $A = 30^\\circ$, угол $B = 45^\\circ$. Найдите сторону $b$.[[choice-3]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/umiqfe9ysuua.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$9$","$3\\sqrt2$","$6\\sqrt2$","$6$"],"explanations":["Стороны пропорциональны синусам углов, а не самим углам: $45 : 30 = 1{,}5$ ничего не дает","Пропорция перевернута: синусы поставлены в обратном порядке","","Равенство сторон возможно только при равных углах, а здесь $A \\ne B$"],"answer":[2]}},"hints":["Против $a$ лежит $A$, против $b$ — $B$: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$.","$b = \\dfrac{6 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{\\frac12} = 6\\sqrt2$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-8]]В треугольнике $ABC$ сторона $a = 9$, угол $A = 60^\\circ$, угол $B = 45^\\circ$. Найдите сторону $b$.[[choice-4]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cx0xcqmixju1.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$9$","$\\dfrac{9\\sqrt6}{2}$","$3\\sqrt6$","$\\dfrac{9\\sqrt2}{2}$"],"explanations":["Равенство сторон возможно только при равных углах, а здесь $A \\ne B$","Пропорция перевернута: синусы поставлены в обратном порядке","","Забыто деление на $\\sin A$: умножили $a$ на $\\sin B$ и остановились"],"answer":[2]}},"hints":["Против $a$ лежит $A$, против $b$ — $B$: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$.","$b = \\dfrac{9 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = \\dfrac{9\\sqrt2}{\\sqrt3} = 3\\sqrt6$."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $a = 4$, сторона $b = 4\\sqrt2$. Тогда угол $B = $ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["только $135^\\circ$","только $45^\\circ$","$45^\\circ$ или $135^\\circ$","треугольника нет"],"answer":2}},"hints":["По теореме синусов $\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a} = \\dfrac{4\\sqrt2 \\cdot \\frac12}{4} = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$. Синус от $0$ до $1$ бывает у двух углов треугольника — острого и тупого.","Острый угол $45^\\circ$, тупой $180^\\circ-45^\\circ = 135^\\circ$. Проверьте каждый по сумме углов: $30^\\circ + 45^\\circ < 180^\\circ$ и $30^\\circ + 135^\\circ = 165^\\circ < 180^\\circ$ — подходят оба.","$B = 45^\\circ$ или $B = 135^\\circ$ (сторона $a = 4$ меньше $b$, но больше высоты $b \\sin A = 2\\sqrt2$)."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $a = 6$, сторона $b = 6\\sqrt2$. Тогда угол $B = $ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["только $135^\\circ$","треугольника нет","$45^\\circ$ или $135^\\circ$","только $45^\\circ$"],"answer":2}},"hints":["По теореме синусов $\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a} = \\dfrac{6\\sqrt2 \\cdot \\frac12}{6} = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$. Синус от $0$ до $1$ бывает у двух углов треугольника — острого и тупого.","Острый угол $45^\\circ$, тупой $180^\\circ-45^\\circ = 135^\\circ$. Проверьте каждый по сумме углов: $30^\\circ + 45^\\circ < 180^\\circ$ и $30^\\circ + 135^\\circ = 165^\\circ < 180^\\circ$ — подходят оба.","$B = 45^\\circ$ или $B = 135^\\circ$ (сторона $a = 6$ меньше $b$, но больше высоты $b \\sin A = 3\\sqrt2$)."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-9]]В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $b = 12$. Распределите значения стороны $a$ (против угла $A$) по числу треугольников.[[grouper-1]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ibmqfbvvwkqf.svg"},"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Нет треугольника","Один треугольник","Два треугольника"],"items":[["$a = 4$"],["$a = 6$","$a = 12$"],["$a = 8$"]]}},"instruction":"Распределите значения","hints":["Высота $h = b\\sin A = 12 \\cdot \\dfrac12 = 6$.","$a = 4 < h$ — треугольника нет; $a = 6 = h$ и $a = 12 \\ge b$ — один; $h < a = 8 < b$ — два.","Ответ: нет — $a = 4$; один — $a = 6$ и $a = 12$; два — $a = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-10]]В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\\circ$, сторона $b = 14$. Распределите значения стороны $a$ (против угла $A$) по числу треугольников.[[grouper-2]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uajruhsq5xsf.svg"},"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Нет треугольника","Один треугольник","Два треугольника"],"items":[["$a = 6$"],["$a = 7$","$a = 14$"],["$a = 10$"]]}},"instruction":"Распределите значения","hints":["Высота $h = b\\sin A = 14 \\cdot \\dfrac12 = 7$.","$a = 6 < h$ — треугольника нет; $a = 7 = h$ и $a = 14 \\ge b$ — один; $h < a = 10 < b$ — два.","Ответ: нет — $a = 6$; один — $a = 7$ и $a = 14$; два — $a = 10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-11]]Две стороны треугольника равны 6 и 10, угол между ними $150^\\circ$. Найдите площадь. [[input-5]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tbze4mmom2yp.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot \\dfrac12 = 15$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-12]]Две стороны треугольника равны 8 и 9, угол между ними $150^\\circ$. Найдите площадь. [[input-6]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/7eoun5l4mzwp.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot 9 \\cdot \\dfrac12 = 18$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-13]]Две стороны треугольника равны 7 и 9, медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7. Найдите третью сторону. [[input-7]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4jg6enre9znd.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Формула медианы: $4m^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$, отсюда $c^2 = 2a^2 + 2b^2-4m^2$.","$c^2 = 2 \\cdot 49 + 2 \\cdot 81-4 \\cdot 49 = 98 + 162-196 = 64$.","$c = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-14]]Две стороны треугольника равны 11 и 13, медиана, проведенная к третьей стороне, равна 8. Найдите третью сторону. [[input-8]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/n9nhbmm9ee4a.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Формула медианы: $4m^2 = 2a^2 + 2b^2-c^2$, отсюда $c^2 = 2a^2 + 2b^2-4m^2$.","$c^2 = 2 \\cdot 121 + 2 \\cdot 169-4 \\cdot 64 = 242 + 338-256 = 324$.","$c = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-15]]Угломер лежит на земле в 12 м от основания опоры линии электропередачи. Луч зрения на верх опоры составляет с вертикалью угол $30^\\circ$. Найдите высоту опоры.[[choice-5]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4dyqes4pomvu.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$12\\sqrt3$ м","$4\\sqrt3$ м","$24$ м","$6$ м"],"explanations":["","Угол с вертикалью принят за угол подъема: $30^\\circ$ лежит при вертикали, а в формуле $h = d \\operatorname{tg}\\alpha$ нужен угол при земле, $60^\\circ$","$\\dfrac{12}{\\cos 60^\\circ} = 24$ м — это длина луча зрения $OT$ (гипотенуза), а не высота $BT$","$12 \\cos 60^\\circ = 6$: взят косинус вместо тангенса; высота — противолежащий катет, она равна $12 \\operatorname{tg} 60^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол подъема отсчитывают от горизонта: $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$.","$h = 12 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ = 12\\sqrt3$ м."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-16]]Угломер лежит на земле в 15 м от основания вышки. Луч зрения на верх вышки составляет с вертикалью угол $30^\\circ$. Найдите высоту вышки.[[choice-6]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gbzd5mgrvj4s.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$30$ м","$15\\sqrt3$ м","$5\\sqrt3$ м","$7{,}5$ м"],"explanations":["$\\dfrac{15}{\\cos 60^\\circ} = 30$ м — это длина луча зрения $OT$ (гипотенуза), а не высота $BT$","","Угол с вертикалью принят за угол подъема: $30^\\circ$ лежит при вертикали, а в формуле $h = d \\operatorname{tg}\\alpha$ нужен угол при земле, $60^\\circ$","$15 \\cos 60^\\circ = 7{,}5$: взят косинус вместо тангенса; высота — противолежащий катет, она равна $15 \\operatorname{tg} 60^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Угол подъема отсчитывают от горизонта: $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$.","$h = 15 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ = 15\\sqrt3$ м."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-17]]Башню видно из двух точек на одной прямой с ее основанием: из дальней под углом $30^\\circ$, из ближней под углом $60^\\circ$; расстояние между точками 40 м. Решавр пишет: «$h\\sqrt3 + \\dfrac{h}{\\sqrt3} = 40$, значит, $h = 10\\sqrt3$ м». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-17":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/maq4x93fnnop.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["<span>Котангенс взят неверно:<br>$\\operatorname{ctg} 30^\\circ = \\frac{1}{\\sqrt3}$</span>","<span>Нужна разность, а не сумма:<br>$h = 20\\sqrt3$ м</span>","<span>Ошибки нет:<br>$h = 10\\sqrt3$ м</span>","<span>Котангенсы не подходят:<br>нужна теорема косинусов</span>"],"explanations":["$\\operatorname{ctg} 30^\\circ = \\sqrt3$: при угле $30^\\circ$ прилежащий катет в $\\sqrt3$ раз длиннее противолежащего","","При $h = 10\\sqrt3$ расстояния до основания $30$ м и $10$ м: разность $20$ м, а не 40 м","Оба треугольника прямоугольные с общим катетом $h$, котангенсы здесь подходят"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояния до основания: $h\\operatorname{ctg} 30^\\circ = h\\sqrt3$ и $h\\operatorname{ctg} 60^\\circ = \\dfrac{h}{\\sqrt3}$.","Точки лежат по одну сторону от башни, поэтому 40 м — <em>разность</em> этих расстояний: $h\\sqrt3-\\dfrac{h}{\\sqrt3} = \\dfrac{2h}{\\sqrt3} = 40$.","$h = 20\\sqrt3$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-18]]Скалу видно из двух точек на одной прямой с ее основанием: из дальней под углом $45^\\circ$, из ближней под углом $60^\\circ$; расстояние между точками 20 м. Решавр пишет: «$h + \\dfrac{h}{\\sqrt3} = 20$, значит, $h = 10(3-\\sqrt3)$ м». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-18":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/h4bnug3oqubj.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["<span>Ошибки нет:<br>$h = 10(3-\\sqrt3)$ м</span>","<span>Нужна разность, а не сумма:<br>$h = 10(3 + \\sqrt3)$ м</span>","<span>Котангенсы не подходят:<br>нужна теорема косинусов</span>","<span>Котангенс взят неверно:<br>$\\operatorname{ctg} 60^\\circ = \\sqrt3$</span>"],"explanations":["При $h = 10(3-\\sqrt3) \\approx 12{,}7$ расстояния до основания $12{,}7$ и $7{,}3$ м: разность $5{,}4$ м, а не 20 м","","Оба треугольника прямоугольные с общим катетом $h$, котангенсы здесь подходят","$\\operatorname{ctg} 60^\\circ = \\dfrac{1}{\\sqrt3}$, а $\\sqrt3$ — это $\\operatorname{ctg} 30^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Расстояния до основания: $h\\operatorname{ctg} 45^\\circ = h$ и $h\\operatorname{ctg} 60^\\circ = \\dfrac{h}{\\sqrt3}$.","Точки лежат по одну сторону от скалы, поэтому 20 м — <em>разность</em> этих расстояний: $h\\left(1-\\dfrac{1}{\\sqrt3}\\right) = 20$.","$h = \\dfrac{20\\sqrt3}{\\sqrt3-1} = 10(3 + \\sqrt3)$ м."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>