Решение треугольников: сторона и два угла, две стороны и угол против одной из них

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $a = 4\\sqrt3$, угол $A = 60^\\circ$, угол $B = 30^\\circ$. Найдите сторону $c$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Третий угол: $C = 180^\\circ-60^\\circ-30^\\circ = 90^\\circ$.","$c = \\dfrac{a \\sin C}{\\sin A} = \\dfrac{4\\sqrt3 \\cdot 1}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 8$."],"step":1},{"id":"1","content":"В треугольнике $PQR$ сторона $p = 6\\sqrt3$, угол $P = 60^\\circ$, угол $Q = 30^\\circ$. Найдите сторону $r$ (против угла $R$). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Третий угол: $R = 180^\\circ-60^\\circ-30^\\circ = 90^\\circ$.","$r = \\dfrac{p \\sin R}{\\sin P} = \\dfrac{6\\sqrt3 \\cdot 1}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 12$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ известны сторона $a$ и углы $A$ и $B$. Сторона $b = $ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{a \\sin A}{\\sin B}$","$\\dfrac{a \\sin C}{\\sin A}$","$a \\sin B$","$\\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["В теореме синусов каждая сторона стоит в паре с синусом угла <em>против</em> нее: $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$.","Умножим обе части на $\\sin B$: $b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$.","Ответ: $\\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ известны сторона $b$ и углы $B$ и $C$. Сторона $c = $ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$b \\sin C$","$\\dfrac{b \\sin A}{\\sin B}$","$\\dfrac{b \\sin C}{\\sin B}$","$\\dfrac{b \\sin B}{\\sin C}$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["В теореме синусов каждая сторона стоит в паре с синусом угла <em>против</em> нее: $\\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C}$.","Умножим обе части на $\\sin C$: $c = \\dfrac{b \\sin C}{\\sin B}$.","Ответ: $\\dfrac{b \\sin C}{\\sin B}$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-1]]В треугольнике $PQR$ сопоставьте каждой стороне угол, который лежит против нее.[[matcher-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hqfktn1kaept.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$QR$","$PR$","$PQ$"],"items":["$\\angle P$","$\\angle Q$","$\\angle R$"]}},"hints":["Угол, лежащий против стороны, — тот, что не принадлежит ей.","Против $QR$ лежит $P$, против $PR$ — $Q$, против $PQ$ — $R$.","Ответ: $QR$ — $\\angle P$, $PR$ — $\\angle Q$, $PQ$ — $\\angle R$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-2]]В треугольнике $KLM$ сопоставьте каждой стороне угол, который лежит против нее.[[matcher-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tydnsrjkvtgi.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$LM$","$KM$","$KL$"],"items":["$\\angle K$","$\\angle L$","$\\angle M$"]}},"hints":["Угол, лежащий против стороны, — тот, что не принадлежит ей.","Против $LM$ лежит $K$, против $KM$ — $L$, против $KL$ — $M$.","Ответ: $LM$ — $\\angle K$, $KM$ — $\\angle L$, $KL$ — $\\angle M$."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике угол $A = 30^\\circ$, сторона $b = 12$, сторона $a = 9$ (против угла $A$). Сколько существует таких треугольников?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни одного","Определить нельзя: не дан угол $B$","Два","Один"],"explanations":["Ни одного не было бы при $a < h = 6$, а здесь $a = 9$","Угол $B$ находят по теореме синусов, данных хватает: рейка пересекает луч не более чем в двух точках","","Один был бы при $a = h = 6$ или $a \\ge b = 12$, а здесь $6 < 9 < 12$"],"answer":[2]}},"hints":["$h = b\\sin A = 12 \\cdot \\dfrac12 = 6$.","$h = 6 < a = 9 < b = 12$: рейка ложится в двух местах.","Ответ: два."],"step":1},{"id":"4","content":"В треугольнике угол $A = 30^\\circ$, сторона $b = 14$, сторона $a = 5$ (против угла $A$). Сколько существует таких треугольников?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Определить нельзя: не дан угол $B$","Два","Ни одного","Один"],"explanations":["Угол $B$ находят по теореме синусов, данных хватает","Два было бы при $7 < a < 14$, а здесь $a = 5 < 7$","","Один был бы при $a = h = 7$ или $a \\ge b = 14$, а здесь $a = 5$"],"answer":[2]}},"hints":["$h = b\\sin A = 14 \\cdot \\dfrac12 = 7$.","$a = 5 < h = 7$: рейка не достает до луча.","Ответ: ни одного."],"step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $a = 9$, $A = 30^\\circ$, $B = 45^\\circ$. Решавр пишет: «$b = \\dfrac{a \\sin A}{\\sin B} = \\dfrac{9 \\cdot \\frac12}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = \\dfrac{9}{\\sqrt2}$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Не найден угол $C$: сначала $C = 105^\\circ$, потом формула","Синусы перевернуты: надо $b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$","Ошибки нет: $b = \\dfrac{9}{\\sqrt2}$","Надо было использовать косинус: $b = \\dfrac{a \\cos B}{\\cos A}$"],"explanations":["Угол $C$ для стороны $b$ не нужен: хватает пары $a$, $A$ и угла $B$","","Сторона против большего угла должна быть больше: $B = 45^\\circ > A$, а $\\dfrac{9}{\\sqrt2} < a$","Теорема синусов связывает стороны с синусами; косинус здесь ни при чем"],"answer":[1]}},"hints":["Из $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$ следует $b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$.","$b = \\dfrac{9 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{\\frac12} = 9\\sqrt2$.","Ответ: синусы поставлены в обратном порядке."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В треугольнике $a = 10$, $A = 30^\\circ$, $B = 60^\\circ$. Решавр пишет: «$b = \\dfrac{a \\sin A}{\\sin B} = \\dfrac{10 \\cdot \\frac12}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt3}$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Не найден угол $C$: сначала $C = 90^\\circ$, потом формула","Синусы перевернуты: надо $b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$","Ошибки нет: $b = \\dfrac{10}{\\sqrt3}$","Надо было использовать косинус: $b = \\dfrac{a \\cos B}{\\cos A}$"],"explanations":["Угол $C$ для стороны $b$ не нужен: хватает пары $a$, $A$ и угла $B$","","Сторона против большего угла должна быть больше: $B = 60^\\circ > A$, а $\\dfrac{10}{\\sqrt3} < a$","Теорема синусов связывает стороны с синусами; косинус здесь ни при чем"],"answer":[1]}},"hints":["Из $\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B}$ следует $b = \\dfrac{a \\sin B}{\\sin A}$.","$b = \\dfrac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}}{\\frac12} = 10\\sqrt3$.","Ответ: синусы поставлены в обратном порядке."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике угол $A = 120^\\circ$, сторона $b = 6$, сторона $a = 10$ (против угла $A$). Сколько существует таких треугольников?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Один","Определить нельзя: нужны еще углы","Два","Ни одного"],"explanations":["","При тупом $A$ число решений определяется сравнением $a$ и $b$","Тупого угла $B$ при тупом $A$ быть не может: $A + B > 180^\\circ$","Ни одного не было бы при $a \\le b$, а здесь $10 > 6$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $A$ тупой: в треугольнике против него лежит наибольшая сторона.","$a = 10 > b = 6$ — условие выполнено, угол $B$ острый и находится единственным образом.","Ответ: один."],"step":1},{"id":"6","content":"В треугольнике угол $A = 135^\\circ$, сторона $b = 8$, сторона $a = 5$ (против угла $A$). Сколько существует таких треугольников?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Два","Один","Определить нельзя: нужны еще углы","Ни одного"],"explanations":["Тупого угла $B$ при тупом $A$ быть не может: $A + B > 180^\\circ$","Один был бы при $a > b$, а здесь $5 < 8$","При тупом $A$ число решений определяется сравнением $a$ и $b$",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол $A$ тупой: против него лежит наибольшая сторона.","$a = 5 < b = 8$ — противоречие: сторона против тупого угла меньше другой.","Ответ: ни одного."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $A = 30^\\circ$, $a = 6$, $b = 6\\sqrt3$. Найдите наибольший из возможных углов $B$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{b\\sin A}{a} = \\dfrac{6\\sqrt3 \\cdot \\frac12}{6} = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $B = 60^\\circ$ или $B = 120^\\circ$.","Проверка: $30^\\circ + 120^\\circ = 150^\\circ < 180^\\circ$, оба подходят.","Наибольший: $120^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"В треугольнике $A = 45^\\circ$, $a = 2\\sqrt2$, $b = 2\\sqrt3$. Найдите наибольший из возможных углов $B$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{b\\sin A}{a} = \\dfrac{2\\sqrt3 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{2\\sqrt2} = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $B = 60^\\circ$ или $B = 120^\\circ$.","Проверка: $45^\\circ + 120^\\circ = 165^\\circ < 180^\\circ$, оба подходят.","Наибольший: $120^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $A = 30^\\circ$, $a = 4$, $b = 4\\sqrt3$. Найдите наименьшее из возможных значений стороны $c$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $B = 60^\\circ$ или $B = 120^\\circ$.","При $B = 60^\\circ$: $C = 90^\\circ$, $c = \\dfrac{a \\sin C}{\\sin A} = 8$. При $B = 120^\\circ$: $C = 30^\\circ$, $c = \\dfrac{4 \\cdot \\frac12}{\\frac12} = 4$.","Наименьшее: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $A = 30^\\circ$, $a = 10$, $b = 10\\sqrt3$. Найдите наименьшее из возможных значений стороны $c$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $B = 60^\\circ$ или $B = 120^\\circ$.","При $B = 60^\\circ$: $C = 90^\\circ$, $c = 20$. При $B = 120^\\circ$: $C = 30^\\circ$, $c = \\dfrac{10 \\cdot \\frac12}{\\frac12} = 10$.","Наименьшее: $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $A = 45^\\circ$, $a = 4$, $b = 2\\sqrt6$. Решавр пишет: «$\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, значит, $B = 60^\\circ$ — единственное решение». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Угол $B$ найден неверно: надо $\\sin B = \\dfrac{a \\sin A}{b}$","Пропущен угол $120^\\circ$: $45^\\circ + 120^\\circ < 180^\\circ$, решений два","Решений нет: $\\sin B$ больше $\\sin A$, а так не бывает","Тупой угол не проходит проверку суммы: $45^\\circ + 120^\\circ > 180^\\circ$"],"explanations":["Формула $\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a}$ применена верно","","Бывает: против большей стороны лежит больший угол, а $b > a$","Сумма равна $165^\\circ < 180^\\circ$, тупой угол подходит"],"answer":[1]}},"hints":["У синуса $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$ два угла: $60^\\circ$ и $120^\\circ$.","$h = b \\sin A = 2\\sqrt3 \\approx 3{,}5 < a = 4 < b \\approx 4{,}9$ — треугольников два.","Проверка: $45^\\circ + 120^\\circ = 165^\\circ < 180^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В треугольнике $A = 45^\\circ$, $a = 6$, $b = 3\\sqrt6$. Решавр пишет: «$\\sin B = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, значит, $B = 60^\\circ$ — единственное решение». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Пропущен угол $120^\\circ$: $45^\\circ + 120^\\circ < 180^\\circ$, решений два","Решений нет: $\\sin B$ больше $\\sin A$, а так не бывает","Тупой угол не проходит проверку суммы: $45^\\circ + 120^\\circ > 180^\\circ$","Угол $B$ найден неверно: надо $\\sin B = \\dfrac{a \\sin A}{b}$"],"explanations":["","Бывает: против большей стороны лежит больший угол, а $b > a$","Сумма равна $165^\\circ < 180^\\circ$, тупой угол подходит","Формула $\\sin B = \\dfrac{b \\sin A}{a}$ применена верно"],"answer":[0]}},"hints":["У синуса $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$ два угла: $60^\\circ$ и $120^\\circ$.","$h = b \\sin A = 3\\sqrt3 \\approx 5{,}2 < a = 6 < b \\approx 7{,}3$ — треугольников два.","Проверка: $45^\\circ + 120^\\circ = 165^\\circ < 180^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $A = 135^\\circ$, $a = 6$, $b = 8$. Решавр пишет: «$\\sin B = \\dfrac{8 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{6} \\approx 0{,}94$, значит, $B \\approx 70{,}5^\\circ$ или $109{,}5^\\circ$ — два решения». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Подходит один угол $B \\approx 109{,}5^\\circ$: против большей стороны больший угол","Ошибки нет: два решения, ведь $b \\sin A < a < b$, как при остром $A$","Подходит один угол $B \\approx 70{,}5^\\circ$: при тупом $A$ угол $B$ должен быть острым","Против тупого угла $A$ должна лежать большая сторона, а $a < b$: решений нет"],"explanations":["Он тоже не подходит: $135^\\circ + 109{,}5^\\circ > 180^\\circ$","При тупом $A$ условие другое: решение есть только при $a > b$","Он тоже не подходит: $135^\\circ + 70{,}5^\\circ > 180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а здесь $a = 6 < b = 8$.","Проверка суммой: $135^\\circ + 70{,}5^\\circ = 205{,}5^\\circ > 180^\\circ$, $135^\\circ + 109{,}5^\\circ > 180^\\circ$.","Ответ: ни один угол не подходит, треугольника нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $A = 120^\\circ$, $a = 7$, $b = 8$. Решавр пишет: «$\\sin B = \\dfrac{8 \\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}}{7} \\approx 0{,}99$, значит, $B \\approx 81{,}8^\\circ$ или $98{,}2^\\circ$ — два решения». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Против тупого угла $A$ должна лежать большая сторона, а $a < b$: решений нет","Ошибки нет: два решения, ведь $b \\sin A < a < b$, как при остром $A$","Подходит один угол $B \\approx 81{,}8^\\circ$: при тупом $A$ угол $B$ должен быть острым","Подходит один угол $B \\approx 98{,}2^\\circ$: против большей стороны больший угол"],"explanations":["","При тупом $A$ условие другое: решение есть только при $a > b$","Он тоже не подходит: $120^\\circ + 81{,}8^\\circ > 180^\\circ$","Он тоже не подходит: $120^\\circ + 98{,}2^\\circ > 180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Против тупого угла лежит наибольшая сторона, а здесь $a = 7 < b = 8$.","Проверка суммой: $120^\\circ + 81{,}8^\\circ = 201{,}8^\\circ > 180^\\circ$, $120^\\circ + 98{,}2^\\circ > 180^\\circ$.","Ответ: ни один угол не подходит, треугольника нет."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>