9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Содержание

В уроке «Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°» синус и косинус любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ стали координатами точки единичной полуокружности. Сегодня выясним, как они связаны между собой: выведем основное тригонометрическое тождество, научимся находить одну функцию по другой и докажем формулы для угла $180^\circ-\alpha$.

Высота конца рейки известна — какой длины ее тень

Вспомним модель прошлого урока: рейка, как крышка ноутбука, поворачивается над столом. Рейка $OP$ длины $1$ закреплена шарниром в точке $O$ и поворачивается над столом — осью абсцисс. Ее конец $P$ ходит по единичной полуокружности. Тень рейки на стол, взятая со знаком, — это $\cos\alpha$, высота конца над столом — $\sin\alpha$.

Пусть про угол $\alpha$ известно только одно: $\sin\alpha = \dfrac35$, то есть конец рейки поднят на высоту $\dfrac35$. Чему равен $\cos\alpha$? Первая мысль многих: «$\cos\alpha = 1-\dfrac35 = \dfrac25$, ведь синус и косинус вместе дают единицу». Проверим ее на чертеже.

Рейка длины 1 на высоте 3/5: тень по Пифагору 4/5; сумма 2/5 и 3/5 даст гипотенузу около 0,72, а не 1 — Рейка длины $1$ на высоте $\dfrac35$ отбрасывает тень $\dfrac45$; тень $\dfrac25$ дала бы отрезок длиной около $0{,}72$, а не рейку длины $1$

Опустим из точки $P$ перпендикуляр $PH$ на стол. Получился прямоугольный треугольник $OHP$: гипотенуза — рейка $OP = 1$, катеты — высота $PH = \dfrac35$ и тень $OH$. По теореме Пифагора («Теорема Пифагора») $OH^2 = 1-\dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, откуда $OH = \dfrac45$.

Тень $\dfrac25$ не подходит: отрезок с такими катетами имел бы длину $\sqrt{\dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{25}} = \dfrac{\sqrt{13}}{5} \approx 0{,}72$, а рейка у нас длины $1$. Итак, длина тени равна $\dfrac45$. Но в какую сторону от шарнира она ложится — вперед или назад? От этого зависит знак косинуса. Запомним этот вопрос: знак мы выберем в середине урока, а что он меняет в настоящем треугольнике, увидим в конце.

{"questions":[{"content":"Рейка $OP$ длины $1$ закреплена шарниром в точке $O$, угол $\\alpha$ между рейкой и столом острый, конец $P$ поднят на высоту $PH = \\dfrac{20}{29}$. Найдите длину тени $OH$, то есть $\\cos\\alpha$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21/29"}},"hints":["Рейка, ее тень и высота образуют прямоугольный треугольник $OHP$ с гипотенузой $OP = 1$.","По теореме Пифагора $OH^2 = 1-\\left(\\dfrac{20}{29}\\right)^2 = \\dfrac{441}{841}$.","$OH = \\cos\\alpha = \\dfrac{21}{29}$."],"step":1}],"mix":1}

Теорема Пифагора для рейки длины 1

Повторим рассуждение для любого угла. Конец рейки $P$ имеет координаты $(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Если угол $\alpha$ острый, катеты треугольника $OHP$ равны $OH = \cos\alpha$ и $PH = \sin\alpha$, гипотенуза $OP = 1$.

Если угол тупой, тень ложится назад: $\cos\alpha < 0$, и длина катета $OH$ равна $-\cos\alpha$. Но в теорему Пифагора катет входит в квадрате, а $(-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$ — знак исчезает. Поэтому равенство получается одно и то же.

Теорема

Для любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ сумма квадратов синуса и косинуса равна единице:

Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством.

Доказательство

Шаг 1. Для углов $0^\circ$, $90^\circ$ и $180^\circ$ точка $P$ лежит на оси: это $(1; 0)$, $(0; 1)$ и $(-1; 0)$. В каждом случае сумма квадратов координат равна $1$.

Шаг 2. Для остальных углов опустим перпендикуляр $PH$ на ось абсцисс. Треугольник $OHP$ прямоугольный, гипотенуза $OP = 1$ (радиус полуокружности), катет $PH = \sin\alpha$, катет $OH = \lvert \cos\alpha \rvert$ (по определению синуса и косинуса как координат точки $P$).

Шаг 3. По теореме Пифагора $OH^2 + PH^2 = OP^2$, то есть $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: квадрат модуля равен квадрату числа. Что и требовалось доказать.

Обратите внимание

Запись $\sin^2\alpha$ означает $(\sin\alpha)^2$: сначала находят синус, потом возводят его в квадрат. Например, $\sin^2 30^\circ = \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac14$. Запись $\sin\alpha^2$ означала бы синус от квадрата угла — в квадрат возвели бы угол, а не значение. Проверка на числах: $\sin^2 30^\circ = \dfrac14$, а $\sin(30^2)^\circ = \sin 900^\circ$ — такого угла в курсе нет. В тождестве в квадрат возводятся числа $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$; у тупого угла $\cos^2\alpha$ равен квадрату длины тени.

Пример

Проверим с помощью тождества строку таблицы для угла $150^\circ$: $\sin 150^\circ = \dfrac12$, $\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Решение. $\sin^2 150^\circ + \cos^2 150^\circ = \dfrac14 + \dfrac34 = 1$ — тождество выполняется. Если бы по ошибке было записано $\cos 150^\circ = -\dfrac12$, получилось бы $\dfrac14 + \dfrac14 = \dfrac12 \ne 1$, и ошибку было бы видно сразу.

Ответ: строка таблицы верна.

{"questions":[{"content":"Для любого угла $\\alpha$ верно: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = $ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1$","$\\operatorname{tg}^2\\alpha$","$0$","$2$"],"answer":0}},"hints":["Точка $P(\\cos\\alpha; \\sin\\alpha)$ лежит на окружности радиуса $1$: теорема Пифагора для рейки.","$\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$."],"step":1},{"content":"Что означает запись $\\sin^2\\alpha$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(\\sin\\alpha)^2$ — квадрат значения синуса","$2\\sin\\alpha$ — удвоенный синус","$\\sin (\\alpha^2)$ — синус квадрата угла","$\\sin (2\\alpha)$ — синус удвоенного угла"],"explanations":["","Удвоенный синус — это $2\\sin\\alpha$; степень означает умножение значения на себя","Квадрат угла — не угол; показатель относится к значению синуса","Удвоенный угол записывают $\\sin 2\\alpha$, без степени"],"answer":[0]}},"hints":["Показатель степени стоит у функции, а не у угла.","$\\sin^2\\alpha = (\\sin\\alpha)^2$: сначала синус, потом квадрат."],"step":1}],"mix":1}

Одна высота — две рейки: откуда берется знак косинуса

Теперь найдем косинус по синусу в общем виде. Из тождества $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$. Квадрат косинуса известен, а у положительного числа два квадратных корня — положительный и отрицательный. На полуокружности это видно: горизонтальная прямая на заданной высоте пересекает полуокружность в двух точках — одна рейка наклонена вперед, другая назад.

Одна высота 5/13 — две точки: у острого угла тень 12/13 вперед, у тупого −12/13 назад — На высоте $\dfrac{5}{13}$ лежат две точки полуокружности: у острого угла тень $\dfrac{12}{13}$ ложится вперед, у тупого — тень той же длины назад, и $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$

Пример

Известно, что $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$. Найдем $\cos\alpha$.

Тождество. $\cos^2\alpha = 1-\dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$, поэтому $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ или $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$.

Выбор знака. Если угол $\alpha$ острый, тень ложится вперед: $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$. Если тупой — назад: $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$. Если о виде угла ничего не сказано, подходят оба значения.

Ответ: $\dfrac{12}{13}$ для острого угла, $-\dfrac{12}{13}$ для тупого.

Правило

Косинус по синусу находят из тождества, а знак выбирают по виду угла: плюс — для острого, минус — для тупого:

Синус по косинусу находится однозначно, потому что на полуокружности синус неотрицателен:

Тангенс находят после синуса и косинуса: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; его знак совпадает со знаком косинуса.

Пример

Известно, что $\cos\alpha = -\dfrac{9}{41}$. Найдем $\sin\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$.

Синус. $\sin^2\alpha = 1-\dfrac{81}{1681} = \dfrac{1600}{1681}$. Синус неотрицателен, поэтому $\sin\alpha = \dfrac{40}{41}$ — второго значения нет.

Тангенс. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{40}{41} : \left(-\dfrac{9}{41}\right) = -\dfrac{40}{9}$.

Проверка смысла. Косинус отрицателен — угол тупой, тень назад, и тангенс тупого угла отрицателен.

Ответ: $\sin\alpha = \dfrac{40}{41}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\dfrac{40}{9}$.

Ошибка

Решавр решает: «Угол $\alpha$ тупой, $\sin\alpha = \dfrac{12}{37}$. Тогда $\cos^2\alpha = 1-\dfrac{144}{1369} = \dfrac{1225}{1369}$ и $\cos\alpha = \dfrac{35}{37}$».

Проверка на числах. Положительный косинус бывает у острого угла: точка $\left(\dfrac{35}{37}; \dfrac{12}{37}\right)$ лежит правее оси ординат, рейка наклонена вперед. Сравните с известным тупым углом $150^\circ$: его синус $\dfrac12$ положителен, а косинус $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ отрицателен.

Где сломалось. Из $\cos^2\alpha = \dfrac{1225}{1369}$ следует $\cos\alpha = \pm\dfrac{35}{37}$, а Решавр взял только положительный корень. Угол тупой, тень ложится назад: $\cos\alpha = -\dfrac{35}{37}$.

Ошибка Решавра: положительный косинус 35/37 — рейка вперед, острый угол; у тупого угла тень назад, cos α = −35/37 — Решавр взял точку с абсциссой $\dfrac{35}{37}$ — это острый угол; тупому углу с той же высотой $\dfrac{12}{37}$ соответствует зеркальная точка с абсциссой $-\dfrac{35}{37}$

{"questions":[{"content":"Угол $\\alpha$ тупой, $\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}$. Найдите $\\cos\\alpha$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac35$","$\\dfrac15$","$-\\dfrac45$","$-\\dfrac35$"],"explanations":["Число верно, но у тупого угла косинус отрицателен","Так выходит из «$\\cos\\alpha = 1-\\sin\\alpha$»; тождество связывает квадраты, а не сами значения","Это синус со знаком минус; косинус находится из $\\cos^2\\alpha = 1-\\sin^2\\alpha$",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{16}{25} = \\dfrac{9}{25}$, значит, $\\cos\\alpha = \\pm\\dfrac35$.","Угол тупой: точка полуокружности левее оси ординат, абсцисса отрицательна.","$\\cos\\alpha = -\\dfrac35$."],"step":1},{"content":"Угол $\\alpha$ острый, $\\sin\\alpha = \\dfrac35$. Найдите $\\operatorname{tg}\\alpha$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-\\dfrac34$","$\\dfrac34$","$\\dfrac35$","$\\dfrac43$"],"explanations":["Угол острый: и синус, и косинус положительны, тангенс положителен","","Это сам синус; тангенс — отношение синуса к косинусу","Дробь перевернута: тангенс — синус, деленный на косинус, а не наоборот"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала косинус: $\\cos\\alpha = \\sqrt{1-\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac45$ (угол острый).","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac35 : \\dfrac45$.","$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac34$."],"step":1},{"content":"Решавр решает: «Угол $\\alpha$ тупой, $\\sin\\alpha = \\dfrac{33}{65}$. Тогда $\\cos^2\\alpha = 1-\\dfrac{1089}{4225} = \\dfrac{3136}{4225}$ и $\\cos\\alpha = \\dfrac{56}{65}$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо вычитать без квадратов: $\\cos\\alpha = \\dfrac{32}{65}$","Ошибки нет: косинус всегда положителен","Неверно вычтено: $\\cos^2\\alpha = \\dfrac{1089}{4225}$","Потерян знак: у тупого угла $\\cos\\alpha = -\\dfrac{56}{65}$"],"explanations":["Тождество связывает квадраты: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$","Косинус — абсцисса точки; у тупого угла точка левее оси ординат","$4225-1089 = 3136$, вычитание верное; ошибка в знаке ответа",""],"answer":[3]}},"hints":["У тупого угла тень рейки ложится назад, за шарнир: абсцисса точки отрицательна.","Из $\\cos^2\\alpha = \\dfrac{3136}{4225}$ следует $\\cos\\alpha = \\pm\\dfrac{56}{65}$; угол тупой — берем минус.","$\\cos\\alpha = -\\dfrac{56}{65}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Зеркальные рейки: высота та же, тень меняет знак

Повернем одну рейку на угол $\alpha$, а другую такую же — на угол $180^\circ-\alpha$. Вторая рейка образует угол $\alpha$ с левой половиной стола: она — зеркальное отражение первой относительно оси ординат. В прошлом уроке мы заметили эти равенства по таблице и объяснили их симметрией относительно оси ординат. Теперь докажем их через равенство треугольников и добавим формулу для тангенса.

Зеркальные рейки OP (угол α) и OP′ (угол 180°−α): треугольники OHP и OH′P′ равны, высота та же, тень меняет знак — Рейки $OP$ и $OP’$ под углами $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$ зеркальны: высоты $PH$ и $P’H’$ равны, тени $OH$ и $OH’$ равны по длине и направлены в разные стороны

Теорема

Для любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$:

При $\alpha \ne 90^\circ$ также $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$. Эти равенства — формулы приведения для угла $180^\circ-\alpha$: они приводят синус, косинус и тангенс тупого угла к значениям для острого.

Доказательство

Шаг 1. Пусть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Точка $P$ отвечает углу $\alpha$, точка $P’$ — углу $180^\circ-\alpha$. Опустим перпендикуляры $PH$ и $P’H’$ на ось абсцисс.

Шаг 2. В прямоугольных треугольниках $OHP$ и $OH’P’$ гипотенузы равны: $OP = OP’ = 1$. Угол $POH$ равен $\alpha$, а угол $P’OH’$ смежный с углом $180^\circ-\alpha$, поэтому тоже равен $\alpha$. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу.

Шаг 3. Из равенства треугольников $P’H’ = PH$: точки на одной высоте, и $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$. Также $OH’ = OH$, но точка $H’$ лежит по другую сторону от $O$: абсциссы противоположны, и $\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha$.

Шаг 4. Делим: $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha) = \dfrac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\operatorname{tg}\alpha$. Если угол $\alpha$ тупой, то угол $180^\circ-\alpha$ острый, и формулы следуют из шагов 1–4 для него. Для $0^\circ$, $90^\circ$ и $180^\circ$ равенства проверяются по координатам точек $(1; 0)$, $(0; 1)$, $(-1; 0)$. Что и требовалось доказать.

Обратите внимание

Для $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ верны и такие формулы приведения: $\sin(90^\circ-\alpha) = \cos\alpha$ и $\cos(90^\circ-\alpha) = \sin\alpha$. Они известны из 8 класса: в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого. Например, $\cos 40^\circ = \sin 50^\circ$.

Проверим формулы на табличных углах прошлого урока. $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} = \sin 60^\circ$ — высоты равны. $\cos 120^\circ = -\dfrac12 = -\cos 60^\circ$ — тени равны по длине и противоположны по знаку. Все сходится.

Ошибка

Решавр пишет: «$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ-45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}$, ведь угол тупой».

Проверка на числах. Синус — высота конца рейки над столом. Точка с ординатой $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ лежит ниже стола, на полуокружности ее нет. По таблице прошлого урока $\sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$. Обратите внимание: проверка тождеством эту ошибку не ловит, потому что в квадрате знак пропадает, — проверять нужно по чертежу.

Где сломалось. Минус перенесли с косинуса на синус. При зеркальном отражении меняется сторона, куда ложится тень, а высота остается: $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, и только $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Ошибка Решавра sin 135° = −sin 45°: точка (−√2/2; −√2/2) под столом не лежит на полуокружности, синус — высота, минус бывает только у тени — Точка с ординатой $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ из рассуждения Решавра лежит под столом, вне полуокружности; верная точка для $135^\circ$ — на той же высоте $\dfrac{\sqrt2}{2}$, что и для $45^\circ$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Чему равен $\\sin 140^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/m48ytvvzer0g.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cos 40^\\circ$","$\\sin 40^\\circ$","$-\\cos 40^\\circ$","$-\\sin 40^\\circ$"],"explanations":["Косинус $40^\\circ$ — это $\\sin 50^\\circ$, а не $\\sin 140^\\circ$","","$-\\cos 40^\\circ = \\cos 140^\\circ$ — это косинус, а спрашивают синус","Синус на полуокружности не бывает отрицательным; знак меняется у косинуса"],"answer":[1]}},"hints":["Углы $140^\\circ$ и $40^\\circ$ симметричны относительно оси ординат: их точки на одной высоте.","Высота — это синус, она одинакова.","$\\sin 140^\\circ = \\sin 40^\\circ$."],"step":1},{"content":"Известно, что $\\cos\\alpha = 0{,}6$. Найдите $\\cos (180^\\circ-\\alpha)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-0,6","-0.6"]}},"hints":["Точки для $\\alpha$ и $180^\\circ-\\alpha$ зеркальны относительно оси ординат.","Абсцисса меняет знак: $\\cos (180^\\circ-\\alpha) = -\\cos\\alpha$.","$-0{,}6$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\sin 170^\\circ-\\sin 10^\\circ + \\cos 170^\\circ + \\cos 10^\\circ$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Рейки под углами $10^\\circ$ и $170^\\circ$ зеркальны: концы на одной высоте, тени равны и противоположны.","$\\sin 170^\\circ = \\sin 10^\\circ$, $\\cos 170^\\circ = -\\cos 10^\\circ$.","$\\sin 10^\\circ-\\sin 10^\\circ-\\cos 10^\\circ + \\cos 10^\\circ = 0$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Выражения, где встречаются угол и зеркальный ему

Формулы приведения и тождество часто работают вместе: сначала все углы приводят к одному углу, потом применяют тождество. Значения самих синусов и косинусов при этом знать не нужно.

Пример

Упростим выражение $\sin^2\alpha + \cos^2(180^\circ-\alpha)$.

Решение. По формуле приведения $\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha$, поэтому $\cos^2(180^\circ-\alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$. Выражение равно $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Проверка на числах. При $\alpha = 60^\circ$: $\sin^2 60^\circ + \cos^2 120^\circ = \dfrac34 + \dfrac14 = 1$.

Ответ: $1$.

Рейки 25° и 155°: тени cos 25° и cos 155° равны по длине и направлены в разные стороны, их сумма 0; высоты равны — Рейки под углами $25^\circ$ и $155^\circ$: высоты одинаковы, поэтому $\sin 155^\circ : \sin 25^\circ = 1$; тени равны и направлены в разные стороны, поэтому $\cos 25^\circ + \cos 155^\circ = 0$

Пример

Вычислим $\cos 25^\circ + \cos 155^\circ$ и $\dfrac{\sin 155^\circ}{\sin 25^\circ}$.

Решение. $155^\circ = 180^\circ-25^\circ$. Тени зеркальных реек равны по длине и противоположны по знаку: $\cos 155^\circ = -\cos 25^\circ$, и сумма равна $0$. Высоты равны: $\sin 155^\circ = \sin 25^\circ$, и отношение равно $1$.

Ответ: $0$ и $1$.

Важно

Квадрат убирает минус: $\cos^2(180^\circ-\alpha) = \cos^2\alpha$, а не $-\cos^2\alpha$. Минус стоит внутри скобки, которую возводят в квадрат. Если оставить его снаружи, при $\alpha = 60^\circ$ вместо $1$ получится $\dfrac34-\dfrac14 = \dfrac12$.

{"questions":[{"content":"Вычислите $\\sin^2 37^\\circ + \\cos^2 143^\\circ$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["$143^\\circ = 180^\\circ-37^\\circ$, поэтому $\\cos 143^\\circ = -\\cos 37^\\circ$.","Квадрат убирает знак: $\\cos^2 143^\\circ = \\cos^2 37^\\circ$.","$\\sin^2 37^\\circ + \\cos^2 37^\\circ = 1$."],"step":1},{"content":"Распределите равенства (угол $\\alpha$ — от $0^\\circ$ до $180^\\circ$).[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$","$\\cos 150^\\circ = -\\cos 30^\\circ$"],["$\\sin 150^\\circ = -\\sin 30^\\circ$","$\\cos 150^\\circ = \\cos 30^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите равенства","hints":["Зеркальная рейка: высота (синус) та же, тень (косинус) того же размера, но с другим знаком.","$\\sin (180^\\circ-\\alpha) = \\sin\\alpha$, $\\cos (180^\\circ-\\alpha) = -\\cos\\alpha$.","Верно: $\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$; $\\cos 150^\\circ = -\\cos 30^\\circ$. Неверно: $\\sin 150^\\circ = -\\sin 30^\\circ$; $\\cos 150^\\circ = \\cos 30^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Один синус — два треугольника

Вернемся к вопросу из начала урока: $\sin\alpha = \dfrac35$ — чему равен $\cos\alpha$? В разд. 3 мы ответили про знак: $\cos\alpha = \dfrac45$, если угол острый, и $\cos\alpha = -\dfrac45$, если тупой. Теперь посмотрим, что знак меняет в настоящем треугольнике, где угол может оказаться любым.

Задача

В треугольнике $ABC$ стороны $CB = 5$, $CA = 7$ и $\sin C = \dfrac35$. Найдите высоту $BH$, проведенную к прямой $CA$, и площадь треугольника.

Случай 1: угол $C$ острый. Точка $H$ лежит на стороне $CA$. В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ противолежит углу $C$: $BH = CB \cdot \sin C = 5 \cdot \dfrac35 = 3$.

Случай 2: угол $C$ тупой. Высота падает на продолжение стороны $CA$ за точку $C$. В прямоугольном треугольнике $BCH$ острый угол $BCH$ смежный с углом $C$ и равен $180^\circ-C$, поэтому $BH = CB \cdot \sin(180^\circ-C) = CB \cdot \sin C = 3$.

Площадь. В обоих случаях $S = \dfrac12 \cdot CA \cdot BH = \dfrac12 \cdot 7 \cdot 3 = 10{,}5$.

Ответ: $BH = 3$, $S = 10{,}5$.

Один синус — два треугольника: CB = 5, высота BH = 3, CA = 7; при остром угле C тень 4 вперед, cos C = 4/5, при тупом назад, cos C = −4/5; площадь 10,5 в обоих — Два треугольника с $CB = 5$, $CA = 7$ и $\sin C = \dfrac35$: высота $BH = 3$ одна и та же, а тень $CH = 4$ ложится вперед ($\cos C = \dfrac45$) или назад ($\cos C = -\dfrac45$)

Формула приведения позволила записать одно равенство $BH = CB \cdot \sin C$ для обоих случаев. Но треугольники разные. Тень рейки $CB$ на прямую $CA$ равна $4$ и ложится вперед или назад. В первом треугольнике $AH = 7-4 = 3$ и $AB = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt2$, во втором $AH = 7 + 4 = 11$ и $AB = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130}$.

Синус задает высоту — и площадь у треугольников общая. Косинус задает тень — и форму треугольника. Поэтому по одному синусу угол треугольника не восстановить, а по косинусу можно: знак косинуса сразу говорит, острый угол или тупой. Оба факта понадобятся в следующем уроке «Теорема косинусов».

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\\circ$, $CB = 8$. Найдите высоту $BH$, проведенную к прямой $CA$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Угол $C$ тупой, поэтому точка $H$ лежит на продолжении $CA$ за точку $C$; в прямоугольном треугольнике $BCH$ угол $BCH = 180^\\circ-150^\\circ = 30^\\circ$.","$BH = CB \\cdot \\sin 30^\\circ = CB \\cdot \\sin 150^\\circ = 8 \\cdot \\dfrac12$.","$BH = 4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это теорема Пифагора для рейки длины $1$: тень и высота — катеты. По нему одну функцию находят по другой; синус по косинусу находится однозначно, а знак косинуса выбирают по виду угла. Формулы приведения описывают зеркальную рейку: при переходе к углу $180^\circ-\alpha$ синус сохраняется, а косинус и тангенс меняют знак. Эти факты нужны в задачах ОГЭ на вычисление и на выбор верных утверждений, а дальше — в теоремах о треугольниках.

Чтобы вспомнить главное, представьте рейку длины $1$ над столом и ее зеркальное отражение.

Случай	Что с рейкой	Что с формулой
Дан $\sin\alpha$, найти $\cos\alpha$	Высота дана, тень — по Пифагору; реек две	$\cos\alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$, плюс — острый, минус — тупой
Дан $\cos\alpha$, найти $\sin\alpha$	Тень дана, конец рейки над столом один	$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$
Угол $180^\circ-\alpha$: синус	Зеркальная рейка на той же высоте	$\sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha$
Угол $180^\circ-\alpha$: косинус и тангенс	Тень той же длины, но назад	$\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha$, $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$
Квадрат функции	В квадрат входит длина, знак пропадает	$\cos^2(180^\circ-\alpha) = \cos^2\alpha$

Часто задаваемые вопросы

Почему тождество называют основным?

Оно связывает синус и косинус любого угла и не зависит от того, какой это угол. Вместе с определением тангенса оно позволяет по одному значению найти два других. Задачи ОГЭ вида «найдите косинус, если известен синус» решаются именно им.

Почему синус по косинусу находится однозначно, а косинус по синусу — нет?

На полуокружности конец рейки всегда над столом, поэтому синус неотрицателен и из двух корней подходит один. Тень же ложится и вперед, и назад: при одной высоте есть две зеркальные рейки с косинусами разных знаков. Знак косинуса выбирают по виду угла.

Верно ли тождество для тупых углов, ведь у них нет прямоугольного треугольника с углом $\alpha$?

Верно. Треугольник $OHP$ есть и тогда, только у вершины $O$ стоит угол $180^\circ-\alpha$, а катет $OH$ равен $-\cos\alpha$. В теорему Пифагора катет входит в квадрате, и знак пропадает.

Нужно ли заучивать формулы приведения?

Достаточно помнить модель: зеркальная рейка стоит на той же высоте, а тень у нее той же длины, но с другой стороны. Значит, синус не меняется, а косинус и тангенс меняют знак. Проверить себя можно на углах $30^\circ$ и $150^\circ$ по таблице.

Что делать, если в задаче не сказано, острый угол или тупой?

Если известен синус, укажите оба значения косинуса — с плюсом и с минусом. Если же угол — острый угол прямоугольного треугольника или из условия видно, что он тупой, оставьте одно значение с нужным знаком.

Награды за урок