Теорема косинусов

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 5$ и $BC = 21$, угол $C = 60^\\circ$. Найдите сторону $AB$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/psrpd5msznsp.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"19"}},"hints":["Угол $C$ стоит между $AC$ и $BC$: $AB^2 = 5^2 + 21^2-2 \\cdot 5 \\cdot 21 \\cdot \\cos 60^\\circ$.","$AB^2 = 25 + 441-105 = 361$.","$AB = 19$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В треугольнике $MNK$ стороны $MK = 9$ и $NK = 24$, угол $K = 60^\\circ$. Найдите сторону $MN$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qd4fvr4lk5co.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Угол $K$ стоит между $MK$ и $NK$: $MN^2 = 9^2 + 24^2-2 \\cdot 9 \\cdot 24 \\cdot \\cos 60^\\circ$.","$MN^2 = 81 + 576-216 = 441$.","$MN = 21$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB$, $AC$ и все три угла. Какой угол нужно подставить в теорему косинусов, чтобы найти $BC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Угол $B$","Угол $A$","Любой из трех: все углы известны","Угол $C$"],"explanations":["Угол $B$ образован сторонами $AB$ и $BC$, а $BC$ как раз неизвестна","","Формула для $BC$ работает только с углом между $AB$ и $AC$, остальные дадут другую сторону","Угол $C$ образован сторонами $AC$ и $BC$; между $AB$ и $AC$ он не стоит"],"answer":[1]}},"hints":["Для стороны $BC$ нужны две другие стороны и угол между ними.","$AB$ и $AC$ выходят из вершины $A$.","Ответ: угол $A$ — он лежит против искомой $BC$."],"step":1},{"id":"2","content":"В треугольнике $MNK$ известны стороны $MN$, $NK$ и все три угла. Какой угол нужно подставить в теорему косинусов, чтобы найти $MK$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Угол $M$","Угол $N$","Угол $K$","Любой из трех: все углы известны"],"explanations":["Угол $M$ образован сторонами $MN$ и $MK$, а $MK$ как раз неизвестна","","Угол $K$ образован сторонами $NK$ и $MK$; между $MN$ и $NK$ он не стоит","Формула для $MK$ работает только с углом между $MN$ и $NK$, остальные дадут другую сторону"],"answer":[1]}},"hints":["Для стороны $MK$ нужны две другие стороны и угол между ними.","$MN$ и $NK$ выходят из вершины $N$.","Ответ: угол $N$ — он лежит против искомой $MK$."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике стороны $a$ и $b$ образуют угол $C$, сторона $c$ лежит против него. Подберите к каждой задаче формулу; одна формула лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Найти $c$ по $a$, $b$ и углу $C$ между ними","Найти $\\cos C$ по трем сторонам","Найти $c$, если $C = 90^\\circ$","Найти $c$, если $C = 120^\\circ$"],"items":["$c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$","$\\cos C = \\dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$","$c^2 = a^2 + b^2$","$c^2 = a^2 + b^2 + ab$","$c^2 = a^2 + b^2-ab$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и формулу","hints":["Все формулы — одна теорема косинусов $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$ с подставленным косинусом или решенная относительно него.","$\\cos 90^\\circ = 0$ убирает последнее слагаемое; $\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$ превращает $-2ab\\cos C$ в $+ab$.","Лишняя формула $c^2 = a^2 + b^2-ab$ — случай $C = 60^\\circ$, которого среди задач нет."],"step":1},{"id":"3","content":"В треугольнике стороны $a$ и $b$ образуют угол $C$, сторона $c$ лежит против него. Подберите к каждой задаче формулу; одна формула лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Найти $c$ по $a$, $b$ и углу $C$ между ними","Найти $\\cos C$ по трем сторонам","Найти $c$, если $C = 60^\\circ$","Найти $c$, если $C = 90^\\circ$"],"items":["$c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$","$\\cos C = \\dfrac{a^2 + b^2-c^2}{2ab}$","$c^2 = a^2 + b^2-ab$","$c^2 = a^2 + b^2$","$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и формулу","hints":["Все формулы — одна теорема косинусов $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$ с подставленным косинусом или решенная относительно него.","$\\cos 60^\\circ = \\dfrac12$ дает $-ab$; $\\cos 90^\\circ = 0$ убирает последнее слагаемое.","Лишняя формула $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ — это $(a + b)^2$: так было бы при угле $180^\\circ$, когда треугольника нет."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны $8$, $13$ и $15$. Найдите угол, лежащий против стороны $13$. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$\\cos \\varphi = \\dfrac{8^2 + 15^2-13^2}{2 \\cdot 8 \\cdot 15}$: в числителе со знаком минус — квадрат стороны против угла.","$\\cos \\varphi = \\dfrac{64 + 225-169}{240} = \\dfrac{120}{240} = \\dfrac12$.","$\\varphi = 60^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны треугольника равны $5$, $16$ и $19$. Найдите угол, лежащий против стороны $19$. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["$\\cos \\varphi = \\dfrac{5^2 + 16^2-19^2}{2 \\cdot 5 \\cdot 16}$: в числителе со знаком минус — квадрат стороны против угла.","$\\cos \\varphi = \\dfrac{25 + 256-361}{160} = -\\dfrac{80}{160} = -\\dfrac12$.","Косинус отрицательный: $\\varphi = 120^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Стороны $a$ и $b$ образуют угол $C = 90^\\circ$. Тогда $c^2 = $ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$a^2 + b^2-2ab$","$a^2 + b^2$","$a^2 + b^2-ab$","$a^2 + b^2 + ab$"],"answer":1}},"hints":["Подставьте $\\cos 90^\\circ = 0$ в $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$.","Слагаемое с косинусом исчезает: $c^2 = a^2 + b^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Стороны $a$ и $b$ образуют угол $C = 120^\\circ$. Тогда $c^2 = $ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$a^2 + b^2 + ab$","$a^2 + b^2-ab$","$a^2 + b^2$","$a^2 + b^2 + 2ab$"],"answer":0}},"hints":["Подставьте $\\cos 120^\\circ = -\\dfrac12$ в $c^2 = a^2 + b^2-2ab\\cos C$.","$-2ab \\cdot \\left(-\\dfrac12\\right) = +ab$: $c^2 = a^2 + b^2 + ab$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 12$ и $BC = 20$, угол $C = 120^\\circ$. Иксератопс получил $AB = 28$, Решавр — $AB = \\sqrt{304} \\approx 17{,}4$. Кто прав, и какая проверка показывает ошибку без пересчета?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bu6rcbt8xcvc.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Прав Иксератопс: против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $17{,}4 < 20$","Прав Иксератопс, но без пересчета ошибку не увидеть","Оба неправы: $AB = \\sqrt{544} \\approx 23{,}3$","Прав Решавр: при $120^\\circ$ из $a^2 + b^2$ вычитают $2ab\\cos C$, и сторона короче, чем при $90^\\circ$"],"explanations":["","Проверка есть: сторона против тупого угла — наибольшая, а у Решавра она короче $BC = 20$","$544 = 12^2 + 20^2$ — это сторона при угле $90^\\circ$; слагаемое с косинусом потеряно","$\\cos 120^\\circ = -\\frac12$, слагаемое $-2ab\\cos C = +240$ прибавляется: при тупом угле третья сторона длиннее, чем при прямом ($\\sqrt{544} \\approx 23{,}3$)"],"answer":[0]}},"hints":["Против большего угла лежит большая сторона. Угол $C$ тупой, значит, $AB$ должна быть больше обеих других сторон.","$17{,}4 < 20 = BC$ — ответ Решавра не проходит проверку: он вычел $240$, то есть взял $\\cos 120^\\circ = \\dfrac12$.","Верно: $AB^2 = 544 + 240 = 784$, $AB = 28 > 20$. Прав Иксератопс."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]В треугольнике $PQR$ стороны $PR = 7$ и $QR = 33$, угол $R = 120^\\circ$. Иксератопс получил $PQ = 37$, Решавр — $PQ = \\sqrt{907} \\approx 30{,}1$. Кто прав, и какая проверка показывает ошибку без пересчета?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1izz2k38yszx.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Прав Иксератопс, но без пересчета ошибку не увидеть","Прав Решавр: при $120^\\circ$ из $a^2 + b^2$ вычитают $2ab\\cos C$, и сторона короче, чем при $90^\\circ$","Прав Иксератопс: против тупого угла лежит наибольшая сторона, а $30{,}1 < 33$","Оба неправы: $PQ = \\sqrt{1138} \\approx 33{,}7$"],"explanations":["Проверка есть: сторона против тупого угла — наибольшая, а у Решавра она короче $QR = 33$","$\\cos 120^\\circ = -\\frac12$, слагаемое $-2ab\\cos C = +231$ прибавляется: при тупом угле третья сторона длиннее, чем при прямом ($\\sqrt{1138} \\approx 33{,}7$)","","$1138 = 7^2 + 33^2$ — это сторона при угле $90^\\circ$; слагаемое с косинусом потеряно"],"answer":[2]}},"hints":["Против большего угла лежит большая сторона. Угол $R$ тупой, значит, $PQ$ должна быть больше обеих других сторон.","$30{,}1 < 33 = QR$ — ответ Решавра не проходит проверку: он вычел $231$, то есть взял $\\cos 120^\\circ = \\dfrac12$.","Верно: $PQ^2 = 1138 + 231 = 1369$, $PQ = 37 > 33$. Прав Иксератопс."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"По $a = 7$, $b = 40$ и $C = 60^\\circ$ Решавр находит $c$: «$c^2 = 49 + 1600-280 = 1369$, значит, $c = 1369$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Косинус $60^\\circ$ равен $\\frac{\\sqrt3}{2}$, число $1369$ неверно","Надо было вычесть $2 \\cdot 7 \\cdot 40 = 560$, а не $280$","Ошибки нет: $c = 1369$","В ответ записан $c^2$: верно $c = \\sqrt{1369} = 37$"],"explanations":["$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это синус $60^\\circ$; косинус равен $\\frac12$, и $1369$ получено верно","$2ab\\cos 60^\\circ = 560 \\cdot \\frac12 = 280$: умножение на косинус выполнено верно","Сторона не может быть больше суммы двух других: $7 + 40 = 47 < 1369$",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте ответ неравенством треугольника: $c < a + b = 47$, а $1369$ намного больше.","Формула дает квадрат стороны; сторона — корень из него.","$c = \\sqrt{1369} = 37$. Ошибка: в ответ попал $c^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"По $a = 11$, $b = 35$ и $C = 60^\\circ$ Решавр находит $c$: «$c^2 = 121 + 1225-385 = 961$, значит, $c = 961$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Косинус $60^\\circ$ равен $\\frac{\\sqrt3}{2}$, число $961$ неверно","В ответ записан $c^2$: верно $c = \\sqrt{961} = 31$","Надо было вычесть $2 \\cdot 11 \\cdot 35 = 770$, а не $385$","Ошибки нет: $c = 961$"],"explanations":["$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это синус $60^\\circ$; косинус равен $\\frac12$, и $961$ получено верно","","$2ab\\cos 60^\\circ = 770 \\cdot \\frac12 = 385$: умножение на косинус выполнено верно","Сторона не может быть больше суммы двух других: $11 + 35 = 46 < 961$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте ответ неравенством треугольника: $c < 11 + 35 = 46$, а $961$ намного больше.","Формула дает квадрат стороны; сторона — корень из него.","$c = \\sqrt{961} = 31$. Ошибка: в ответ попал $c^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Рамка Вообразавра: рейки $3\\sqrt2$ и $7$ скреплены шарниром под углом $45^\\circ$. На каком расстоянии друг от друга свободные концы реек? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Концы реек и шарнир — треугольник со сторонами $3\\sqrt2$, $7$ и углом $45^\\circ$ между ними; $\\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$, произведение $2 \\cdot 3\\sqrt2 \\cdot 7 \\cdot \\dfrac{\\sqrt2}{2}$ считайте отдельно.","$2 \\cdot 3\\sqrt2 \\cdot 7 \\cdot \\dfrac{\\sqrt2}{2} = 3 \\cdot 7 \\cdot 2 = 42$; $c^2 = 18 + 49-42 = 25$.","Расстояние равно $5$."],"step":1},{"id":"8","content":"Рамка Вообразавра: рейки $5\\sqrt2$ и $17$ скреплены шарниром под углом $45^\\circ$. На каком расстоянии друг от друга свободные концы реек? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Концы реек и шарнир — треугольник со сторонами $5\\sqrt2$, $17$ и углом $45^\\circ$ между ними; $\\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$, произведение $2 \\cdot 5\\sqrt2 \\cdot 17 \\cdot \\dfrac{\\sqrt2}{2}$ считайте отдельно.","$2 \\cdot 5\\sqrt2 \\cdot 17 \\cdot \\dfrac{\\sqrt2}{2} = 5 \\cdot 17 \\cdot 2 = 170$; $c^2 = 50 + 289-170 = 169$.","Расстояние равно $13$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]В треугольнике $ABC$: $AB = 5$, $AC = 7$, угол $B = 60^\\circ$. Решавр ищет $BC$: «$BC^2 = AB^2 + AC^2-2 \\cdot AB \\cdot AC \\cdot \\cos B = 25 + 49-35 = 39$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/p9tq0zfnsyrk.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["При угле $60^\\circ$ произведение надо прибавлять, а не вычитать","Угол $B$ не между $AB$ и $AC$: с ним формула пишется для $AC$, и тогда $BC = 8$","Ошибки нет: $BC = \\sqrt{39}$","$\\cos 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, поэтому число $39$ неверно"],"explanations":["Прибавляют только при тупом угле, когда косинус отрицателен; $\\cos 60^\\circ > 0$","","При $BC = \\sqrt{39} \\approx 6{,}2$ и $AB = 5$ угол $B = 60^\\circ$ дал бы $AC^2 = 25 + 39-5\\sqrt{39} \\approx 32{,}8 \\ne 49$: данные не сходятся","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $60^\\circ$; косинус равен $\\frac12$, и $2 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot \\frac12 = 35$ посчитано верно"],"answer":[1]}},"hints":["Посмотрите на чертеж: между какими сторонами стоит угол $B$? Это $AB$ и $BC$, а не $AB$ и $AC$.","С углом $B$ формула записывается для стороны против него — $AC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2-2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos B$ — получится уравнение относительно $BC$.","$49 = 25 + BC^2-5 \\cdot BC$, откуда $BC^2-5BC-24 = 0$ и $BC = 8$ (проверка: $25 + 64-40 = 49$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]В треугольнике $MNK$: $MN = 16$, $MK = 19$, угол $N = 60^\\circ$. Решавр ищет $NK$: «$NK^2 = MN^2 + MK^2-2 \\cdot MN \\cdot MK \\cdot \\cos N = 256 + 361-304 = 313$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/k4u5ymle44ox.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Угол $N$ не между $MN$ и $MK$: с ним формула пишется для $MK$, и тогда $NK = 21$","Ошибки нет: $NK = \\sqrt{313}$","При угле $60^\\circ$ произведение надо прибавлять, а не вычитать","$\\cos 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, поэтому число $313$ неверно"],"explanations":["","При $NK = \\sqrt{313} \\approx 17{,}7$ и $MN = 16$ угол $N = 60^\\circ$ дал бы $MK^2 = 256 + 313-16\\sqrt{313} \\approx 285{,}9 \\ne 361$: данные не сходятся","Прибавляют только при тупом угле, когда косинус отрицателен; $\\cos 60^\\circ > 0$","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $60^\\circ$; косинус равен $\\frac12$, и $2 \\cdot 16 \\cdot 19 \\cdot \\frac12 = 304$ посчитано верно"],"answer":[0]}},"hints":["Посмотрите на чертеж: между какими сторонами стоит угол $N$? Это $MN$ и $NK$, а не $MN$ и $MK$.","С углом $N$ формула записывается для стороны против него — $MK$: $MK^2 = MN^2 + NK^2-2 \\cdot MN \\cdot NK \\cdot \\cos N$ — получится уравнение относительно $NK$.","$361 = 256 + NK^2-16 \\cdot NK$, откуда $NK^2-16NK-105 = 0$ и $NK = 21$ (проверка: $256 + 441-336 = 361$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Стороны треугольника $a = 6$ и $b = 8$, третья сторона $c = 12$. Каким является угол $C$ между сторонами $a$ и $b$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Острый","Такого треугольника нет: $12 > 6 + 8$","Тупой","Прямой"],"explanations":["При остром угле $c^2 < a^2 + b^2 = 100$, а здесь $144 > 100$","Неравенство треугольника выполнено: $6 + 8 = 14 > 12$","","При прямом угле $c = 10$, а дано $c = 12$"],"answer":[2]}},"hints":["При $C = 90^\\circ$ было бы $c^2 = 36 + 64 = 100$, то есть $c = 10$.","$c^2 = 144 > 100$: слагаемое $-2ab\\cos C$ положительно, значит, $\\cos C < 0$.","Угол $C$ тупой."],"step":1},{"id":"10","content":"Стороны треугольника $a = 6$ и $b = 8$, третья сторона $c = 9$. Каким является угол $C$ между сторонами $a$ и $b$?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Определить нельзя, нужно вычислить косинус","Тупой","Прямой","Острый"],"explanations":["Знак $\\cos C$ виден из сравнения $c^2 = 81$ с $a^2 + b^2 = 100$: само значение косинуса считать не нужно","При тупом угле $c^2 > a^2 + b^2 = 100$, а здесь $81 < 100$","При прямом угле $c = 10$, а дано $c = 9$",""],"answer":[3]}},"hints":["При $C = 90^\\circ$ было бы $c^2 = 36 + 64 = 100$, то есть $c = 10$.","$c^2 = 81 < 100$: слагаемое $-2ab\\cos C$ отрицательно, значит, $\\cos C > 0$.","Угол $C$ острый."],"step":1}]}</textarea></pre></div>