Площадь треугольника и параллелограмма через синус

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Две стороны треугольника равны $8$ и $7$, угол между ними $30^\\circ$. Найдите площадь треугольника. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ngnmvn1yp5hw.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$S = \\dfrac12 ab\\sin C$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot \\dfrac12 = 56 \\cdot \\dfrac14$.","$S = 14$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Две стороны треугольника равны $12$ и $7$, угол между ними $30^\\circ$. Найдите площадь треугольника. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tqph4fye7qmq.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$S = \\dfrac12 ab\\sin C$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 12 \\cdot 7 \\cdot \\dfrac12 = 84 \\cdot \\dfrac14$.","$S = 21$."],"step":1},{"id":"2","content":"Две стороны треугольника равны $12$ и $5$, угол между ними $150^\\circ$. Тогда $S = \\dfrac12 \\cdot 12 \\cdot 5 \\cdot \\sin 150^\\circ = $ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$15\\sqrt3$","$15$","$30$","$-15$"],"answer":1}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin (180^\\circ-30^\\circ) = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$ — положительный.","$S = 30 \\cdot \\dfrac12 = 15$."],"step":1},{"id":"2","content":"Две стороны треугольника равны $7$ и $10$, угол между ними $150^\\circ$. Тогда $S = \\dfrac12 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot \\sin 150^\\circ = $ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$-17{,}5$","$35$","$17{,}5$","$\\dfrac{35\\sqrt3}{2}$"],"answer":2}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\sin (180^\\circ-30^\\circ) = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$ — положительный.","$S = 35 \\cdot \\dfrac12 = 17{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Две стороны треугольника равны $4$ и $14$, угол между ними $120^\\circ$. Найдите площадь треугольника.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-14\\sqrt3$","$14\\sqrt3$","$14$","$28\\sqrt3$"],"explanations":["Синус тупого угла положителен, отрицателен только косинус; площадь не бывает отрицательной","","Взят $\\sin 120^\\circ = \\frac12$, а это синус $150^\\circ$; $\\sin 120^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$","Потеряна $\\frac12$: $\\frac12 \\cdot 4 \\cdot 14 = 28$, затем еще $\\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}$"],"answer":[1]}},"hints":["$\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 4 \\cdot 14 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2} = 28 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","$S = 14\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Две стороны треугольника равны $5$ и $6$, угол между ними $120^\\circ$. Найдите площадь треугольника.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{15\\sqrt3}{2}$","$15$","$15\\sqrt3$","$\\dfrac{15}{2}$"],"explanations":["","Так было бы при угле $90^\\circ$, когда $\\sin = 1$; здесь угол $120^\\circ$, его синус $\\frac{\\sqrt3}{2}$","Потеряна $\\frac12$: $\\frac12 \\cdot 5 \\cdot 6 = 15$, затем еще $\\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}$","Взят $\\sin 120^\\circ = \\frac12$, а это синус $150^\\circ$; $\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["$\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 5 \\cdot 6 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2} = 15 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","$S = \\dfrac{15\\sqrt3}{2}$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-3]]Стороны параллелограмма равны $8$ и $9$, угол между ними $30^\\circ$. Найдите площадь параллелограмма. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uck7p7yweutz.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Параллелограмм — два равных треугольника со сторонами $8$, $9$ и углом $30^\\circ$: $S = ab\\sin\\alpha$.","$S = 8 \\cdot 9 \\cdot \\dfrac12$.","$S = 36$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-4]]Стороны параллелограмма равны $5$ и $14$, угол между ними $150^\\circ$. Найдите площадь параллелограмма. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vp1aspik64gr.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["$S = ab\\sin\\alpha$; $\\sin 150^\\circ = \\dfrac12$.","$S = 5 \\cdot 14 \\cdot \\dfrac12$.","$S = 35$."],"step":1},{"id":"5","content":"Площадь треугольника равна $9$, две его стороны равны $3$ и $12$, угол $C$ между ними тупой. Расставьте шаги решения: каждый шаг опирается на предыдущий.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Записать формулу площади с данными: $9 = \\dfrac12 \\cdot 3 \\cdot 12 \\cdot \\sin C$","Отсюда выразить синус: $\\sin C = \\dfrac{2 \\cdot 9}{3 \\cdot 12} = \\dfrac12$","Значит, $C$ — один из двух углов с синусом $\\dfrac12$: $30^\\circ$ или $150^\\circ$","По условию угол тупой, поэтому $C = 150^\\circ$"]}},"hints":["Начинают с формулы площади, в которую подставляют данные.","Из равенства выражают синус; у значения $\\dfrac12$ два угла — острый и тупой.","Порядок: записать формулу → выразить $\\sin C = \\dfrac12$ → два угла $30^\\circ$ и $150^\\circ$ → по условию тупой: $150^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Площадь треугольника равна $12\\sqrt3$, две его стороны равны $6$ и $8$, угол $C$ между ними острый. Расставьте шаги решения: каждый шаг опирается на предыдущий.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Записать формулу площади с данными: $12\\sqrt3 = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 8 \\cdot \\sin C$","Отсюда выразить синус: $\\sin C = \\dfrac{2 \\cdot 12\\sqrt3}{6 \\cdot 8} = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$","Значит, $C$ — один из двух углов с синусом $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $60^\\circ$ или $120^\\circ$","По условию угол острый, поэтому $C = 60^\\circ$"]}},"hints":["Начинают с формулы площади, в которую подставляют данные.","Из равенства выражают синус; у значения $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$ два угла — острый и тупой.","Порядок: записать формулу → выразить $\\sin C = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$ → два угла $60^\\circ$ и $120^\\circ$ → по условию острый: $60^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Площадь треугольника равна $20$, одна из сторон $8$, угол между ней и второй стороной $30^\\circ$. Найдите вторую сторону. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$20 = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot b \\cdot \\sin 30^\\circ$.","$20 = 2b$.","$b = 10$."],"step":1},{"id":"6","content":"Площадь треугольника равна $21$, одна из сторон $6$, угол между ней и второй стороной $150^\\circ$. Найдите вторую сторону. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$\\sin 150^\\circ = \\dfrac12$: $21 = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot b \\cdot \\dfrac12$.","$21 = 1{,}5b$.","$b = 14$."],"step":1},{"id":"7","content":"Иксератопс и Решавр искали площадь одного треугольника: стороны $7$ и $8$, угол $30^\\circ$ между ними. У Иксератопса вышло $14$, у Решавра — $28$: «$S = 7 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30^\\circ$». Кто прав и в чем ошибка другого?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Прав Иксератопс: Решавр забыл множитель $\\frac12$","Оба неправы: нужен косинус угла, а не синус","Прав Решавр: половина здесь не нужна","Оба неправы: $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$"],"explanations":["Верно $S = \\frac12 \\cdot 7 \\cdot 8 \\cdot \\frac12 = 14$: без половины вышла площадь параллелограмма","Площадь считается через синус угла между сторонами; косинус — в теореме косинусов","$28$ — площадь при угле $90^\\circ$; при $30^\\circ$ высота вдвое меньше стороны, а площадь $14$","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 30^\\circ$; синус $30^\\circ$ равен $\\frac12$, оба взяли его верно"],"answer":[0]}},"hints":["Площадь прямоугольного треугольника с катетами $7$ и $8$ равна $28$; при угле $30^\\circ$ треугольник «сплющен», площадь меньше.","В формуле $S = \\dfrac12 ab\\sin C$ есть множитель $\\dfrac12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 7 \\cdot 8 \\cdot \\dfrac12 = 14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Иксератопс и Решавр искали площадь одного треугольника: стороны $9$ и $4$, угол $150^\\circ$ между ними. У Иксератопса вышло $9$, у Решавра — $18$: «$S = 9 \\cdot 4 \\cdot \\sin 150^\\circ = 36 \\cdot \\dfrac12$». Кто прав и в чем ошибка другого?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Оба неправы: $\\sin 150^\\circ = -\\dfrac12$, решения нет","Оба неправы: $\\sin 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\dfrac12$","Прав Иксератопс: Решавр забыл множитель $\\frac12$","Прав Решавр: половина здесь не нужна"],"explanations":["Синус тупого угла положителен; отрицателен косинус","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\frac12$; $\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $120^\\circ$","Верно $S = \\frac12 \\cdot 9 \\cdot 4 \\cdot \\frac12 = 9$: без половины вышла площадь параллелограмма","$18$ — это площадь параллелограмма со сторонами $9$, $4$ и углом $150^\\circ$; треугольник вдвое меньше"],"answer":[2]}},"hints":["Синус взят верно: $\\sin 150^\\circ = \\dfrac12$. Проверьте саму формулу.","В формуле $S = \\dfrac12 ab\\sin C$ есть множитель $\\dfrac12$.","$S = \\dfrac12 \\cdot 9 \\cdot 4 \\cdot \\dfrac12 = 9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]Иксератопс вырезал треугольник и параллелограмм: у обеих фигур две соседние стороны $6$ и $8$, угол между ними $30^\\circ$. Решавр утверждает: «площади одинаковы, формула одна: $S = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30^\\circ = 12$». Прав ли Решавр?[[choice-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mhrulzhkpqra.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да: одинаковые стороны и угол дают равные площади","Нет: для параллелограмма нужен косинус, а не синус","Нет: ошибка в синусе, $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$","Нет: множитель $\\frac12$ есть только у треугольника"],"explanations":["Одинаковые стороны и угол задают разные фигуры: параллелограмм состоит из двух таких треугольников","Высота параллелограмма — сторона, умноженная на синус угла; косинус дал бы проекцию стороны, а не высоту","$\\sin 30^\\circ = \\frac12$ взят верно; ошибка не в синусе, а в множителе $\\frac12$ для параллелограмма","Треугольник — половина параллелограмма: у треугольника $12$, у параллелограмма $S = 6 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30^\\circ = 24$"],"answer":[3]}},"hints":["Посмотрите на чертеж: диагональ разрезает параллелограмм на два равных треугольника с теми же сторонами $6$, $8$ и углом $30^\\circ$.","Значит, треугольник — лишь половина параллелограмма: у треугольника $S = \\dfrac12 ab\\sin\\alpha = 12$, у параллелограмма вдвое больше.","$S = 6 \\cdot 8 \\cdot \\dfrac12 = 24$: множитель $\\dfrac12$ есть только в формуле треугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]Иксератопс вырезал треугольник и параллелограмм: у обеих фигур две соседние стороны $10$ и $7$, угол между ними $150^\\circ$. Решавр утверждает: «площади одинаковы, формула одна: $S = \\dfrac12 \\cdot 10 \\cdot 7 \\cdot \\sin 150^\\circ = 17{,}5$». Прав ли Решавр?[[choice-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pudn1ocpsj66.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Да: одинаковые стороны и угол дают равные площади","Нет: множитель $\\frac12$ есть только у треугольника","Нет: у параллелограмма надо брать острый угол $30^\\circ$","Нет: ошибка в синусе, $\\sin 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$"],"explanations":["Одинаковые стороны и угол задают разные фигуры: параллелограмм состоит из двух таких треугольников","Треугольник — половина параллелограмма: у треугольника $17{,}5$, у параллелограмма $S = 10 \\cdot 7 \\cdot \\sin 150^\\circ = 35$","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ$: смена угла ничего не меняет; ошибка в множителе $\\frac12$ для параллелограмма","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\frac12$ взят верно; ошибка не в синусе, а в множителе $\\frac12$ для параллелограмма"],"answer":[1]}},"hints":["Посмотрите на чертеж: диагональ разрезает параллелограмм на два равных треугольника с теми же сторонами $10$, $7$ и углом $150^\\circ$.","Значит, треугольник — лишь половина параллелограмма: у треугольника $S = \\dfrac12 ab\\sin\\alpha = 17{,}5$, у параллелограмма вдвое больше.","$S = 10 \\cdot 7 \\cdot \\dfrac12 = 35$: множитель $\\dfrac12$ есть только в формуле треугольника."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-7]]На чертеже треугольник $ABC$: $AB = 6$, $AC = 8$, угол $B = 30^\\circ$. Решавр получил $S = \\dfrac12 \\cdot 6 \\cdot 8 \\cdot \\sin 30^\\circ = 12$. Иксератопс возражает: по этим данным так считать нельзя. Кто прав?[[choice-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ezb3zwhvl65e.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Прав Решавр: в формуле площади годится любой угол треугольника","Оба неправы: нужен угол $C$, он лежит против $AB$","Прав Иксератопс: угол $B$ лежит между $AB$ и $BC$, а в формулу нужен угол $A$","Прав Иксератопс: по двум сторонам и углу не между ними площадь найти нельзя вообще"],"explanations":["При другом угле получится другое число: формула верна только с углом между двумя взятыми сторонами","Угол против стороны нужен в теореме синусов; для площади берут угол между сторонами $AB$ и $AC$, то есть угол $A$","","Можно: по теореме синусов $\\sin C = \\dfrac{AB \\sin B}{AC} = \\dfrac{3}{8}$, затем $A = 180^\\circ-B-C$ и $S = \\frac12 \\cdot 6 \\cdot 8 \\cdot \\sin A$ — но не подстановкой угла $B$"],"answer":[2]}},"hints":["Формула $S = \\dfrac12 ab\\sin C$ требует угол <em>между</em> взятыми сторонами. Из какой вершины выходят $AB$ и $AC$?","Обе стороны выходят из $A$, а угол $30^\\circ$ дан при вершине $B$ — между $AB$ и $BC$.","Угол $A$ неизвестен, и число $12$ — не площадь. Прав Иксератопс: нужен угол $A$ — его можно найти через теорему синусов, но не подставить вместо него угол $B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-8]]На чертеже треугольник $MNK$: $MN = 4$, $NK = 9$, угол $M = 60^\\circ$. Решавр получил $S = \\dfrac12 \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin 60^\\circ = 9\\sqrt3$. Иксератопс возражает: по этим данным так считать нельзя. Кто прав?[[choice-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cp50rhdtlwqb.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Оба неправы: нужен угол $K$, он лежит против $MN$","Прав Иксератопс: по двум сторонам и углу не между ними площадь найти нельзя вообще","Прав Решавр: в формуле площади годится любой угол треугольника","Прав Иксератопс: угол $M$ лежит между $MN$ и $MK$, а в формулу нужен угол $N$"],"explanations":["Угол против стороны нужен в теореме синусов; для площади берут угол между сторонами $MN$ и $NK$, то есть угол $N$","Можно: по теореме синусов $\\sin K = \\dfrac{MN \\sin M}{NK} = \\dfrac{2\\sqrt3}{9}$, затем $N = 180^\\circ-M-K$ и $S = \\frac12 \\cdot 4 \\cdot 9 \\cdot \\sin N$ — но не подстановкой угла $M$","При другом угле получится другое число: формула верна только с углом между двумя взятыми сторонами",""],"answer":[3]}},"hints":["Формула $S = \\dfrac12 ab\\sin C$ требует угол <em>между</em> взятыми сторонами. Из какой вершины выходят $MN$ и $NK$?","Обе стороны выходят из $N$, а угол $60^\\circ$ дан при вершине $M$ — между $MN$ и $MK$.","Угол $N$ неизвестен, и число $9\\sqrt3$ — не площадь. Прав Иксератопс: нужен угол $N$ — его можно найти через теорему синусов, но не подставить вместо него угол $M$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Иксератопс знает в треугольнике две стороны, $9$ и $8$, и угол $30^\\circ$ между ними. Ему нужна высота, опущенная на сторону $8$. Чему она равна? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Площадь: $S = \\dfrac12 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot \\dfrac12 = 18$.","Та же площадь через основание $8$: $18 = \\dfrac12 \\cdot 8 \\cdot h$.","$h = \\dfrac{36}{8} = 4{,}5$."],"step":1},{"id":"10","content":"Иксератопс знает в треугольнике две стороны, $10$ и $6$, и угол $150^\\circ$ между ними. Ему нужна высота, опущенная на сторону $10$. Чему она равна? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Площадь: $S = \\dfrac12 \\cdot 10 \\cdot 6 \\cdot \\sin 150^\\circ = 30 \\cdot \\dfrac12 = 15$.","Та же площадь через основание $10$: $15 = \\dfrac12 \\cdot 10 \\cdot h$.","$h = \\dfrac{30}{10} = 3$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>