9 класс Геометрия Тригонометрия. Скалярное произведение векторов Синус, косинус, тангенс, котангенс

Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 180°

Содержание

В 8 классе вы определили синус, косинус и тангенс острого угла через прямоугольный треугольник — урок «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника» — и выучили их значения для $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$. Но в треугольнике угол бывает и тупым, а прямоугольного треугольника с тупым углом не существует. В этом уроке мы расширим определение на все углы от $0^\circ$ до $180^\circ$ с помощью одной подвижной рейки, найдем знаки и значения для тупых углов и разберемся, почему тангенс $90^\circ$ не существует.

Рейка на шарнире: что происходит с тенью за прямым углом

Крышка ноутбука — это рейка на шарнире. Закрытая крышка лежит на клавиатуре; открывая ее, вы поворачиваете рейку вокруг шарнира $O$. Примем длину крышки за $1$ и представим, что сверху вертикально светит лампа. У поднятой крышки есть тень на столе — отрезок от шарнира до точки под верхним краем — и высота верхнего края над столом.

Пока угол острый, тень и высота — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой $1$, и по определению из 8 класса тень равна $\cos\alpha$, а высота — $\sin\alpha$. При $30^\circ$ высота равна $\dfrac12$, тень — $\dfrac{\sqrt3}{2}$. Поднимем крышку до $90^\circ$: она стоит вертикально, высота равна $1$, а тень исчезла — ее длина $0$.

Одна рейка длины 1 на шарнире O в положениях 30°, 90° и 120°: тень √3/2 вперед, тени нет, у 120° тень назад — какое число ей дать? — Рейка длины $1$ в трех положениях: при $30^\circ$ тень $\dfrac{\sqrt3}{2}$ и высота $\dfrac12$; при $90^\circ$ тени нет, высота $1$; при $120^\circ$ высота $\dfrac{\sqrt3}{2}$, а тень легла позади шарнира — какое число ей присвоить?

Обычно крышку открывают шире — примерно на $120^\circ$. Верхний край оказывается позади шарнира, и тень ложится на стол с другой стороны от него. Высота при этом есть — такая же, как при $60^\circ$. Прямоугольного треугольника с углом $120^\circ$ не бывает, и определение 8 класса здесь молчит. Что считать синусом и косинусом угла $120^\circ$ и какое число присвоить тени, которая ушла назад? К этой крышке мы вернемся в конце урока с конкретными размерами.

{"questions":[{"content":"Рейка длиной $1$ поднята на шарнире под углом $45^\\circ$ к полу. Чему равны ее тень на полу и высота конца над полом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Тень $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$, высота $\\dfrac12$","Тень $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$, высота $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$","Тень $1$, высота $1$","Тень $\\dfrac12$, высота $\\dfrac12$"],"explanations":["При $45^\\circ$ катеты равны: тень и высота одинаковы, $\\frac12$ — это высота при $30^\\circ$","","Тогда рейка была бы гипотенузой с катетами $1$ и $1$, то есть длиной $\\sqrt2$, а не $1$","Проверка по теореме Пифагора: $\\frac14 + \\frac14 = \\frac12 \\ne 1$ — конец рейки не на расстоянии $1$ от шарнира"],"answer":[1]}},"hints":["Рейка — гипотенуза длины $1$ прямоугольного треугольника; тень — прилежащий катет, высота — противолежащий.","Тень $= 1 \\cdot \\cos 45^\\circ$, высота $= 1 \\cdot \\sin 45^\\circ$.","Тень $= \\dfrac{\\sqrt2}{2}$, высота $= \\dfrac{\\sqrt2}{2}$."],"step":1}],"mix":1}

Конец рейки как точка с координатами

Чтобы тень позади шарнира получила число, введем координаты. Шарнир $O$ — начало координат, стол — ось абсцисс, направленная вправо, ось ординат идет вверх. Рейка длины $1$ поворачивается от положительного луча оси абсцисс; угол $\alpha$ отсчитываем от этого луча против хода часовой стрелки, от $0^\circ$ до $180^\circ$. Конец рейки обозначим $P$.

Пока рейка поворачивается от $0^\circ$ до $180^\circ$, точка $P$ пробегает верхнюю половину окружности радиуса $1$ с центром $O$. Для острого угла координаты точки $P$ уже известны: абсцисса — это тень, то есть $\cos\alpha$, ордината — высота, то есть $\sin\alpha$. Значит, $P(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Теперь перевернем рассуждение и примем координаты точки за определение — оно годится для любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Определение

Единичная полуокружность — верхняя половина окружности радиуса $1$ с центром в начале координат. Каждому углу $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ соответствует точка $P$ единичной полуокружности: луч $OP$ образует с положительным лучом оси абсцисс угол $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) — ордината, косинус — абсцисса точки единичной полуокружности, соответствующей этому углу:

Единичная полуокружность: рейка OP под углом α, тень OH = cos α, высота PH = sin α, точка P(cos α; sin α) — Точка $P$ единичной полуокружности для угла $\alpha$: абсцисса $OH = \cos\alpha$ — тень рейки, ордината $PH = \sin\alpha$ — ее высота

Для острого угла новое определение дает то же, что старое: в прямоугольном треугольнике $OPH$ с гипотенузой $OP = 1$ катет $OH = \cos\alpha$, катет $PH = \sin\alpha$. Все табличные значения из урока «Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов» остаются в силе. Новое появляется у тупого угла — разберем это на примере.

Пример

Найдем координаты точки $P$ для угла $120^\circ$, то есть $\cos 120^\circ$ и $\sin 120^\circ$.

Чертеж. Точка $P$ лежит левее оси ординат. Опустим из $P$ перпендикуляр $PH$ на ось абсцисс; точка $H$ окажется левее $O$.

Прямоугольный треугольник. В треугольнике $OPH$ гипотенуза $OP = 1$, а угол $POH$ смежный с углом $120^\circ$: он равен $180^\circ-120^\circ = 60^\circ$. Поэтому $OH = \cos 60^\circ = \dfrac12$, $PH = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Координаты. Точка $H$ лежит на отрицательной части оси абсцисс на расстоянии $\dfrac12$ от $O$, значит, абсцисса точки $P$ равна $-\dfrac12$. Ордината равна длине $PH$: $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ответ: $P\left(-\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$, то есть $\cos 120^\circ = -\dfrac12$, $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Вот и ответ на вопрос о тени, ушедшей назад: ей присваивают отрицательное число. Длина тени — $\dfrac12$, но она лежит на отрицательной части оси, поэтому $\cos 120^\circ = -\dfrac12$. Высота при этом осталась положительной, как и при остром угле.

{"questions":[{"content":"Синус угла $\\alpha$ ($0^\\circ \\le \\alpha \\le 180^\\circ$) — это [[fill_choice-1]] точки единичной полуокружности, соответствующей этому углу.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["абсцисса","длина дуги","расстояние до начала координат","ордината"],"answer":3}},"hints":["Точка $P(\\cos\\alpha; \\sin\\alpha)$: первая координата — косинус, вторая — синус.","Синус — ордината, «высота рейки»."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Какие координаты имеет точка $P$ единичной полуокружности, соответствующая углу $60^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tcsbjo6lph24.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left(-\\dfrac12; \\dfrac{\\sqrt3}{2}\\right)$","$\\left(\\dfrac12; \\dfrac12\\right)$","$\\left(\\dfrac{\\sqrt3}{2}; \\dfrac12\\right)$","$\\left(\\dfrac12; \\dfrac{\\sqrt3}{2}\\right)$"],"explanations":["Отрицательная абсцисса — у тупого угла $120^\\circ$, а $60^\\circ$ острый","Такой точки на единичной полуокружности нет: расстояние до начала координат не равно $1$","Это точка для $30^\\circ$: координаты переставлены, косинус $60^\\circ$ равен $\\frac12$",""],"answer":[3]}},"hints":["$P(\\cos 60^\\circ; \\sin 60^\\circ)$.","$\\cos 60^\\circ = \\dfrac12$, $\\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","$P\\left(\\dfrac12; \\dfrac{\\sqrt3}{2}\\right)$."],"step":1}],"mix":1}

Знаки: тень может уйти назад, высота — нет

Посмотрим на полуокружность целиком. Точки для острых углов лежат правее оси ординат — их абсцисса положительна. Точки для тупых углов лежат левее — абсцисса отрицательна. При $90^\circ$ точка $P$ стоит на самой оси ординат, и абсцисса равна нулю. Вся полуокружность расположена не ниже оси абсцисс, поэтому ордината ни у одной точки не отрицательна: синус любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ неотрицателен, а равен нулю только при $0^\circ$ и $180^\circ$.

Правило

Для острого угла $\cos\alpha > 0$, для тупого $\cos\alpha < 0$, $\cos 90^\circ = 0$. Синус любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ неотрицателен: $\sin\alpha \ge 0$.

На языке рейки: тень острого угла лежит впереди шарнира, тень тупого — позади; высота всегда отсчитывается вверх.

Ошибка

Решавр рассуждает: «$120^\circ = 180^\circ-60^\circ$, значит, $\cos 120^\circ$ — это то же, что $\cos 60^\circ$, то есть $\dfrac12$».

Проверка на числах. Если $\cos 120^\circ = \dfrac12$ и $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$, то точка $P$ имеет координаты $\left(\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. Но это точка для угла $60^\circ$: она лежит правее оси ординат. Две разные рейки — под $60^\circ$ и под $120^\circ$ — не могут заканчиваться в одной точке.

Где сломалось. Решавр верно нашел длину тени — $\dfrac12$, — но не посмотрел, куда она легла. При $120^\circ$ тень позади шарнира, абсцисса отрицательна: $\cos 120^\circ = -\dfrac12$. Длину тени берут из острого угла $60^\circ$, а знак — из положения точки.

Ошибка cos 120° = +1/2: точка Решавра (1/2; √3/2) — это угол 60°, а верная точка (−1/2; √3/2) дает тень назад, cos 120° = −1/2 — Точка $\left(\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$, которую выбрал Решавр, принадлежит углу $60^\circ$; точка для $120^\circ$ — зеркальная, левее оси ординат: $\cos 120^\circ = -\dfrac12$

Осталось определить тангенс. В 8 классе тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему, в наших словах — высоты к тени. Для рейки длины $1$ это $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Так и определим тангенс для любого угла, при котором на тень можно делить.

Определение

Тангенс угла $\alpha$ — отношение синуса этого угла к его косинусу ($\alpha \ne 90^\circ$):

Знак тангенса задает косинус: у острого угла тангенс положителен, у тупого — отрицателен, при $0^\circ$ и $180^\circ$ равен нулю.

Важно

Тангенс угла $90^\circ$ не существует. У вертикальной рейки тени нет: $\cos 90^\circ = 0$, и дробь $\dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \dfrac10$ не имеет значения — на нуль делить нельзя. Записывать $\operatorname{tg} 90^\circ = 0$, $1$ или «бесконечность» нельзя: это не числа, равные тангенсу. Правильная запись — «$\operatorname{tg} 90^\circ$ не существует».

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Точка $P$ единичной полуокружности соответствует углу $135^\\circ$. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9fscsnwj9kri.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\cos 135^\\circ > 0$, $\\sin 135^\\circ < 0$","$\\cos 135^\\circ > 0$, $\\sin 135^\\circ > 0$","$\\cos 135^\\circ < 0$, $\\sin 135^\\circ > 0$","$\\cos 135^\\circ < 0$, $\\sin 135^\\circ < 0$"],"explanations":["Все наоборот: у тупого угла отрицателен косинус, а синус положителен","У тупого угла точка $P$ левее оси ординат: абсцисса, то есть косинус, отрицательна","","Вся полуокружность лежит выше оси абсцисс: ордината, то есть синус, неотрицательна"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $135^\\circ$ тупой: точка $P$ лежит слева от оси ординат и выше оси абсцисс.","Косинус — абсцисса, синус — ордината.","Ответ: $\\cos 135^\\circ < 0$, $\\sin 135^\\circ > 0$."],"step":1},{"content":"Решавр нашел $\\cos 135^\\circ$: «$135^\\circ = 180^\\circ-45^\\circ$, значит, $\\cos 135^\\circ = \\cos 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $\\cos 135^\\circ = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$","Надо было взять синус: $\\cos 135^\\circ = \\sin 45^\\circ$","$\\cos 45^\\circ = \\dfrac12$, а не $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$","Косинус тупого угла отрицателен: $\\cos 135^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt2}{2}$"],"explanations":["Точка $P\\left(\\frac{\\sqrt2}{2}; \\frac{\\sqrt2}{2}\\right)$ — это точка для $45^\\circ$; у $135^\\circ$ она левее оси ординат","$\\sin 45^\\circ = \\frac{\\sqrt2}{2}$ — то же число с тем же неверным знаком; косинус $135^\\circ$ отрицателен","$\\cos 45^\\circ = \\frac{\\sqrt2}{2}$ — число верно; неверен только знак у тупого угла",""],"answer":[3]}},"hints":["Поставьте рейку под $135^\\circ$: ее конец позади шарнира, тень легла влево от начала координат.","Абсцисса точки $P$ отрицательна: косинус тупого угла отрицателен.","$\\cos 135^\\circ = -\\cos 45^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt2}{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Чему равен $\\operatorname{tg} 90^\\circ$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0$","Не существует","$1$","Бесконечность"],"explanations":["Нулю равен $\\operatorname{tg} 0^\\circ$ и $\\operatorname{tg} 180^\\circ$, когда нулю равен синус; здесь нулю равен косинус","","$1$ — это $\\operatorname{tg} 45^\\circ$; у $90^\\circ$ знаменатель $\\cos 90^\\circ = 0$, деление невозможно","Бесконечность — не число; тангенс $90^\\circ$ не существует"],"answer":[1]}},"hints":["$\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}$.","$\\cos 90^\\circ = 0$, а делить на нуль нельзя.","$\\operatorname{tg} 90^\\circ$ не существует."],"step":1}],"mix":1}

Крайние положения рейки и таблица значений

Начнем с трех положений, где треугольник $OPH$ не нужен. При $0^\circ$ рейка лежит на столе вправо от шарнира, ее конец — точка $(1; 0)$: тень равна всей рейке, высоты нет. При $90^\circ$ рейка стоит вертикально, конец — точка $(0; 1)$. При $180^\circ$ рейка лежит на столе влево, конец — точка $(-1; 0)$: тень снова во всю длину, но позади шарнира.

Отсюда $\cos 0^\circ = 1$, $\sin 0^\circ = 0$; $\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$; $\cos 180^\circ = -1$, $\sin 180^\circ = 0$. Тангенсы: $\operatorname{tg} 0^\circ = \dfrac01 = 0$, $\operatorname{tg} 180^\circ = \dfrac{0}{-1} = 0$, а $\operatorname{tg} 90^\circ$ не существует.

Для тупых углов $120^\circ$, $135^\circ$ и $150^\circ$ действуем, как в примере со $120^\circ$: смежный острый угол — $60^\circ$, $45^\circ$ или $30^\circ$ — дает длины тени и высоты, а положение точки левее оси ординат дает минус у косинуса. Нанесем все девять точек на одну полуокружность.

Девять точек единичной полуокружности: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°; пары α и 180°−α на одной высоте — Девять точек полуокружности: справа от оси ординат — острые углы и $0^\circ$, слева — тупые и $180^\circ$; точки $30^\circ$ и $150^\circ$, $45^\circ$ и $135^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$ стоят на одной высоте

Пример

Заполним строку таблицы для угла $150^\circ$.

Смежный острый угол. Точка $P$ для $150^\circ$ лежит левее оси ординат; угол $POH$ равен $180^\circ-150^\circ = 30^\circ$.

Длины. В треугольнике $OPH$ с гипотенузой $OP = 1$ тень $OH = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$, высота $PH = \sin 30^\circ = \dfrac12$.

Знаки. Тень позади шарнира — косинус отрицателен; высота положительна: $\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 150^\circ = \dfrac12$.

Ответ: $\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 150^\circ = \dfrac12$. Тангенс найдите сами по определению и сверьте с таблицей.

Остальные строки получаются так же. Всю таблицу заучивать не нужно: достаточно помнить значения для $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ из 8 класса и представлять чертеж с рейкой.

Угол	$\cos\alpha$ (тень)	$\sin\alpha$ (высота)	$\operatorname{tg}\alpha$
$0^\circ$	$1$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\sqrt3$
$90^\circ$	$0$	$1$	не существует
$120^\circ$	$-\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$-\sqrt3$
$135^\circ$	$-\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$-1$
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$-\frac{\sqrt3}{3}$
$180^\circ$	$-1$	$0$	$0$

{"questions":[{"content":"Найдите $\\cos 180^\\circ$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Углу $180^\\circ$ соответствует левый конец полуокружности.","Его координаты $(-1; 0)$: косинус — абсцисса.","$\\cos 180^\\circ = -1$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте угол и знаки его косинуса и синуса.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$30^\\circ$","$120^\\circ$","$180^\\circ$"],"items":["$\\cos > 0$, $\\sin > 0$","$\\cos < 0$, $\\sin > 0$","$\\cos = -1$, $\\sin = 0$","$\\cos > 0$, $\\sin < 0$"]}},"hints":["Косинус — абсцисса точки $P$: справа от оси ординат положительна, слева отрицательна. Синус — ордината: на полуокружности она не бывает отрицательной.","$30^\\circ$: точка справа и сверху; $120^\\circ$: слева и сверху; $180^\\circ$: $(-1; 0)$.","Ответ: $30^\\circ$ — $\\cos > 0$, $\\sin > 0$; $120^\\circ$ — $\\cos < 0$, $\\sin > 0$; $180^\\circ$ — $\\cos = -1$, $\\sin = 0$."],"step":1}],"mix":1}

Зеркальные рейки дают одну высоту

Посмотрите на пары строк таблицы: $30^\circ$ и $150^\circ$, $45^\circ$ и $135^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$. В каждой паре синусы равны, а косинусы отличаются только знаком. Сумма углов в каждой паре равна $180^\circ$, то есть это углы $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$.

Почему так? Рейка под углом $180^\circ-\alpha$ образует угол $\alpha$ с отрицательным лучом оси абсцисс: она наклонена так же, как рейка под углом $\alpha$, только в другую сторону. Две такие рейки симметричны относительно оси ординат, как предмет и его отражение в зеркале. При этой симметрии точка $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$: высота сохраняется, а тень той же длины переходит на другую сторону от шарнира.

Зеркальные рейки 30° и 150°: высота 1/2 одна, тени √3/2 и −√3/2 равны по длине и противоположны по знаку — Рейки под углами $30^\circ$ и $150^\circ$ симметричны относительно оси ординат: одна высота $\dfrac12$, тени $\dfrac{\sqrt3}{2}$ и $-\dfrac{\sqrt3}{2}$

Правило

У углов $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$ синусы равны, а косинусы противоположны: у зеркальных реек одна высота, а тени равной длины лежат по разные стороны от шарнира.

Отсюда важное следствие: по синусу угол находится не однозначно. Каждому значению синуса между $0$ и $1$ соответствуют два угла — острый $\alpha$ и тупой $180^\circ-\alpha$; только синусу $1$ соответствует один угол, $90^\circ$. В уроке «Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения» это наблюдение станет основой для новых формул.

Обратите внимание

В паре $30^\circ$ и $150^\circ$ легко перепутать, какое из чисел $\dfrac12$ и $\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус, а какое — модуль косинуса угла $150^\circ$. Проверьте по чертежу: рейка под $150^\circ$ почти лежит на столе, поэтому высота маленькая — $\dfrac12$, а тень длинная — $\dfrac{\sqrt3}{2}$ — и уходит назад. Значит, $\sin 150^\circ = \dfrac12$, $\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt3}{2}$. Запись $\sin 150^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ означала бы, что рейка поднята высоко, как при $60^\circ$ или $120^\circ$.

Проверьте симметрию сами: двигайте ползунок угла и следите, как меняются высота и тень. Найдите два угла, у которых синус равен $\dfrac12$, и сравните их косинусы.

poluokruzhnost

{"questions":[{"content":"У каких двух углов от $0^\\circ$ до $180^\\circ$ синус равен $\\sin 20^\\circ$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$20^\\circ$ и $160^\\circ$","$20^\\circ$ и $70^\\circ$","$70^\\circ$ и $110^\\circ$","$20^\\circ$ и $110^\\circ$"],"explanations":["","У угла $70^\\circ$ высота равна тени угла $20^\\circ$: $\\sin 70^\\circ = \\cos 20^\\circ \\approx 0{,}94$, а $\\sin 20^\\circ \\approx 0{,}34$","Синусы этих углов равны между собой, но равны $\\cos 20^\\circ \\approx 0{,}94$, а не $\\sin 20^\\circ$: синус перепутан с косинусом","Зеркальный угол дополняет $20^\\circ$ до $180^\\circ$, а не прибавляет $20^\\circ$ к $90^\\circ$: $\\sin 110^\\circ \\approx 0{,}94$"],"answer":[0]}},"hints":["Синус — высота конца рейки. Одна высота у двух зеркальных реек: под углами $\\alpha$ и $180^\\circ-\\alpha$.","Второй угол: $180^\\circ-20^\\circ = 160^\\circ$.","$20^\\circ$ и $160^\\circ$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Точка $P\\left(-\\dfrac{\\sqrt2}{2}; \\dfrac{\\sqrt2}{2}\\right)$ лежит на единичной полуокружности. Какому углу она соответствует? Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l7lw6fmsxvhc.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"135"}},"hints":["Абсцисса отрицательна — угол тупой; ордината $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$ — как у $45^\\circ$.","Тупой угол с той же высотой, что у $45^\\circ$: $180^\\circ-45^\\circ$.","$135^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Крышка ноутбука: тень и высота в сантиметрах

Вернемся к крышке ноутбука. Настоящая крышка длиннее $1$. Если рейку длины $1$ заменить рейкой длины $l$ под тем же углом, треугольник $OPH$ увеличится в $l$ раз. Конец рейки окажется в точке $(l\cos\alpha; l\sin\alpha)$: высота конца над столом равна $l\sin\alpha$, а абсцисса $l\cos\alpha$ показывает, насколько конец впереди шарнира (число положительно) или позади него (число отрицательно).

Пример

Крышка ноутбука длиной $30$ см открыта на угол $120^\circ$. На какой высоте над столом ее верхний край и насколько он позади шарнира?

Высота. $30 \cdot \sin 120^\circ = 30 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 15\sqrt3 \approx 26$ см.

Тень. $30 \cdot \cos 120^\circ = 30 \cdot \left(-\dfrac12\right) = -15$ см. Минус означает, что край позади шарнира.

Проверка. При $60^\circ$ край был бы на той же высоте, но на $15$ см впереди шарнира: это зеркальное положение крышки.

Ответ: край поднят примерно на $26$ см и находится на $15$ см позади шарнира.

Крышка ноутбука 30 см под углом 120°: край на высоте 15√3 ≈ 26 см, тень 15 см позади шарнира, 30 · cos 120° = −15 — Крышка длиной $30$ см под углом $120^\circ$: высота края $15\sqrt3 \approx 26$ см, тень $15$ см лежит позади шарнира — поэтому $\cos 120^\circ < 0$

Тангенс в модели рейки — отношение высоты к тени, то есть крутизна наклона. Длина рейки на него не влияет: $\dfrac{l\sin\alpha}{l\cos\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Знак тангенса показывает, куда наклонена рейка: вперед — плюс, назад — минус.

Пример

Найдем $\operatorname{tg} 135^\circ$ и объясним результат на рейке.

Значения. Смежный острый угол — $45^\circ$: $\sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Отношение. $\operatorname{tg} 135^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2} : \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -1$.

Смысл. Высота и тень равны по длине: рейка наклонена так же круто, как при $45^\circ$, но назад. Поэтому модуль тангенса равен $1$, а знак — минус.

Ответ: $\operatorname{tg} 135^\circ = -1$.

{"questions":[{"content":"Рейка длиной $5$ закреплена шарниром на полу. Ее верхний конец находится на высоте $3$ над полом и на $4$ позади шарнира. Найдите тангенс угла $\\alpha$ между рейкой и правым направлением пола. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-0,75","-0.75","-3/4"]}},"hints":["Тангенс — отношение высоты к тени, тень берут со знаком: позади шарнира — минус.","$\\sin\\alpha = \\dfrac35$, $\\cos\\alpha = -\\dfrac45$; длина рейки при делении сокращается.","$\\operatorname{tg}\\alpha = 3 : (-4) = -0{,}75$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Рейка длиной $2$ м закреплена шарниром на полу и поднята под углом $150^\\circ$ к полу (отсчет от правого направления). На какой высоте над полом ее верхний конец? Ответ дайте в метрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["1","1 м","1,0","1.0"]}},"hints":["Для рейки длины $1$ высота — это $\\sin 150^\\circ$; для рейки длины $2$ — вдвое больше.","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$ (одна высота у углов $30^\\circ$ и $150^\\circ$).","Высота $= 2 \\cdot \\dfrac12 = 1$ м."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Синус, косинус и тангенс теперь определены для любого угла от $0^\circ$ до $180^\circ$, а значит, для любого угла треугольника, в том числе тупого. Это понадобится в уроке «Теорема косинусов» и в других теоремах о произвольных треугольниках. Чтобы вспомнить главное, мысленно поставьте на шарнир рейку длины $1$: косинус — ее тень со знаком, синус — высота конца.

Часто задаваемые вопросы

Почему синус тупого угла положителен, а косинус отрицателен?

Синус — ордината точки единичной полуокружности, а вся полуокружность лежит не ниже оси абсцисс, поэтому синус не бывает отрицательным. Косинус — абсцисса; у тупого угла точка лежит левее оси ординат, и абсцисса отрицательна.

Зачем синус тупого угла, если в прямоугольном треугольнике тупого угла нет?

В произвольном треугольнике один из углов может быть тупым. Теоремы о сторонах и углах таких треугольников используют синус и косинус любого их угла.

Чему равен тангенс угла 90°?

Тангенс угла $90^\circ$ не существует. В дроби $\dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ}$ знаменатель равен нулю, а на нуль делить нельзя. У вертикальной рейки нет тени, и отношение высоты к тени не определено.

Как не путать значения для углов 120°, 135° и 150°?

Найдите смежный острый угол — $60^\circ$, $45^\circ$ или $30^\circ$ — и возьмите его синус и косинус как длины высоты и тени. Затем поставьте знаки: синус с плюсом, косинус с минусом.

Можно ли по синусу однозначно найти угол треугольника?

Не всегда. Синусы углов $\alpha$ и $180^\circ-\alpha$ равны, поэтому значению синуса меньше $1$ соответствуют два возможных угла — острый и тупой. Какой из них подходит, решают по другим данным задачи. По косинусу угол треугольника находится однозначно: у разных углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ тени разные — точки полуокружности с одной абсциссой не повторяются.

Награды за урок