Измерительные работы: высота предмета и расстояние до недоступной точки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Наблюдатель стоит в 25 м от здания и видит его верхний край под углом подъема $45^\\circ$. Высота глаз наблюдателя 1,7 м. Найдите высоту здания в метрах (десятичная дробь). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["26,7","26.7"]}},"hints":["Над уровнем глаз: $25 \\cdot \\operatorname{tg} 45^\\circ = 25$ м.","Полная высота: $25 + 1{,}7 = 26{,}7$ м."],"step":1},{"id":"1","content":"Наблюдатель стоит в $18\\sqrt3$ м от скалы и видит ее верх под углом подъема $30^\\circ$. Высота глаз наблюдателя 1,5 м. Найдите высоту скалы в метрах (десятичная дробь). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["19,5","19.5"]}},"hints":["Над уровнем глаз: $18\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 18$ м.","Полная высота: $18 + 1{,}5 = 19{,}5$ м."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]Для измерения ширины реки на берегу отмечены точки $A$ и $B$, $AB = 60$ м. Точка $C$ на другом берегу видна под углами $\\angle A = \\angle B = 45^\\circ$. Найдите ширину реки в метрах. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/awq56z7h56hd.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Угол $C = 90^\\circ$; высота к гипотенузе равна ее половине.","$h = \\dfrac{AB}{2} = 30$ м."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]Для измерения ширины реки на берегу отмечены точки $A$ и $B$, $AB = 8\\sqrt3$ м. Точка $C$ на другом берегу видна под углами $\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 60^\\circ$. Найдите ширину реки в метрах. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gtbvyj7ousbp.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Угол $C = 90^\\circ$, $AC = AB \\cos 30^\\circ = 8\\sqrt3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt3}{2} = 12$.","Ширина — расстояние от $C$ до $AB$: $12 \\cdot \\sin 30^\\circ = 6$ м."],"step":1},{"id":"3","content":"Луч зрения на вершину мачты составляет с вертикалью угол $50^\\circ$. Угол подъема вершины равен [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$40^\\circ$","$130^\\circ$","$50^\\circ$","$140^\\circ$"],"answer":0}},"hints":["Угол подъема отсчитывают от горизонта, а горизонталь и вертикаль перпендикулярны.","Угол подъема $= 90^\\circ-50^\\circ = 40^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Луч зрения на верхушку сосны составляет с вертикалью угол $25^\\circ$. Угол подъема верхушки равен [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$65^\\circ$","$25^\\circ$","$115^\\circ$","$155^\\circ$"],"answer":0}},"hints":["Угол подъема отсчитывают от горизонта, а горизонталь и вертикаль перпендикулярны.","Угол подъема $= 90^\\circ-25^\\circ = 65^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Наблюдатель стоит в $d$ м от основания дерева, его глаза — на высоте $c$ м, угол подъема верхушки $\\alpha$. Сопоставьте величину и выражение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Высота верхушки над уровнем глаз","Высота дерева","Расстояние от глаз до верхушки"],"items":["$d \\operatorname{tg}\\alpha$","$d \\operatorname{tg}\\alpha + c$","$\\dfrac{d}{\\cos\\alpha}$","$d \\sin\\alpha$"]}},"hints":["Глаза, точка ствола на уровне глаз и верхушка образуют прямоугольный треугольник с катетом $d$ и углом $\\alpha$.","Противолежащий катет $d\\operatorname{tg}\\alpha$ — высота над глазами; дерево выше на $c$; луч зрения — гипотенуза $\\dfrac{d}{\\cos\\alpha}$.","Ответ: над глазами — $d\\operatorname{tg}\\alpha$, дерево — $d\\operatorname{tg}\\alpha + c$, до верхушки — $\\dfrac{d}{\\cos\\alpha}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Теодолит на штативе высотой $c$ м стоит в $d$ м от башни, угол подъема вершины $\\beta$. Сопоставьте величину и выражение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Высота башни","Высота вершины над прибором","Расстояние от прибора до вершины"],"items":["$d \\operatorname{tg}\\beta + c$","$d \\operatorname{tg}\\beta$","$\\dfrac{d}{\\cos\\beta}$","$d \\operatorname{tg}\\beta-c$"]}},"hints":["Прибор, точка башни на уровне прибора и вершина образуют прямоугольный треугольник с катетом $d$ и углом $\\beta$.","Противолежащий катет $d\\operatorname{tg}\\beta$ — высота над прибором; башня выше на $c$; луч зрения — гипотенуза $\\dfrac{d}{\\cos\\beta}$.","Ответ: башня — $d\\operatorname{tg}\\beta + c$, над прибором — $d\\operatorname{tg}\\beta$, до вершины — $\\dfrac{d}{\\cos\\beta}$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]Колокольню видно из двух точек на одной прямой с ее основанием: из дальней под углом $30^\\circ$, из ближней под углом $60^\\circ$. Расстояние между точками $6\\sqrt3$ м. Найдите высоту колокольни в метрах. [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/czotrmcuq04b.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$h\\operatorname{ctg} 30^\\circ-h\\operatorname{ctg} 60^\\circ = h\\sqrt3-\\dfrac{h}{\\sqrt3} = \\dfrac{2h}{\\sqrt3} = 6\\sqrt3$.","$h = 9$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]Мачту видно из двух точек на одной прямой с ее основанием: из дальней под углом $30^\\circ$, из ближней под углом $60^\\circ$. Расстояние между точками $14\\sqrt3$ м. Найдите высоту мачты в метрах. [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ug0tvq6qpfva.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$h\\operatorname{ctg} 30^\\circ-h\\operatorname{ctg} 60^\\circ = h\\sqrt3-\\dfrac{h}{\\sqrt3} = \\dfrac{2h}{\\sqrt3} = 14\\sqrt3$.","$h = 21$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-5]]Точки $A$ и $B$ на берегу, $AB = 4\\sqrt3$ м. Точка $C$ на другом берегу видна под углами $\\angle A = 30^\\circ$ и $\\angle B = 120^\\circ$. Найдите расстояние от $C$ до прямой $AB$ в метрах. [[input-7]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/q20zrnrnzjiq.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Угол $C = 180^\\circ-30^\\circ-120^\\circ = 30^\\circ$, треугольник равнобедренный: $AB = BC$.","По теореме синусов $AC = \\dfrac{AB \\sin 120^\\circ}{\\sin 30^\\circ} = 4\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 = 12$.","Расстояние до прямой $AB$: $AC \\sin 30^\\circ = 6$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-6]]Точки $A$ и $B$ на берегу, $AB = 6\\sqrt3$ м. Точка $C$ на другом берегу видна под углами $\\angle A = 30^\\circ$ и $\\angle B = 120^\\circ$. Найдите расстояние от $C$ до прямой $AB$ в метрах. [[input-8]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vqklcmzv50qf.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Угол $C = 30^\\circ$, треугольник равнобедренный: $AB = BC$.","$AC = \\dfrac{AB \\sin 120^\\circ}{\\sin 30^\\circ} = 6\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 = 18$.","Расстояние до прямой $AB$: $AC \\sin 30^\\circ = 9$ м."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-7]]Расстояние до основания башни $9\\sqrt3$ м. Луч зрения на вершину составляет с вертикалью $30^\\circ$. Решавр пишет: «$h = 9\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 9$ м». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gvusmfksefas.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка в функции: нужен косинус, $h = 9\\sqrt3 \\cdot \\cos 30^\\circ = 13{,}5$ м","Угол с вертикалью принят за угол подъема: надо $\\operatorname{tg} 60^\\circ$, и $h = 27$ м","Ошибка в функции: нужен синус, $h = 9\\sqrt3 \\cdot \\sin 30^\\circ \\approx 7{,}8$ м","Ошибки нет: тангенс взят верно, $h = 9\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 9$ м"],"explanations":["Косинус связывает катет с гипотенузой, а гипотенуза здесь не дана: ищем катет по другому катету, это тангенс","","Для катета при известном другом катете нужен тангенс; ошибка в том, от чего отсчитан угол","При угле $30^\\circ$ с вертикалью луч почти вертикален, и высота должна быть больше расстояния $9\\sqrt3 \\approx 15{,}6$ м"],"answer":[1]}},"hints":["Угол подъема отсчитывается от горизонта: $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$.","$h = 9\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ = 27$ м."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-8]]Расстояние до основания скалы $12\\sqrt3$ м. Луч зрения на вершину составляет с вертикалью $60^\\circ$. Решавр пишет: «$h = 12\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ = 36$ м». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ipopy3y3uq1c.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Угол с вертикалью принят за угол подъема: надо $\\operatorname{tg} 30^\\circ$, и $h = 12$ м","Ошибки нет: тангенс взят верно, $h = 12\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 60^\\circ = 36$ м","Ошибка в функции: нужен косинус, $h = 12\\sqrt3 \\cdot \\cos 60^\\circ \\approx 10{,}4$ м","Ошибка в функции: нужен синус, $h = 12\\sqrt3 \\cdot \\sin 60^\\circ = 18$ м"],"explanations":["","При угле $60^\\circ$ с вертикалью луч идет полого, высота должна быть меньше расстояния $12\\sqrt3 \\approx 20{,}8$ м","Косинус связывает катет с гипотенузой, а гипотенуза здесь не дана: ищем катет по другому катету, это тангенс","Для катета при известном другом катете нужен тангенс; ошибка в том, от чего отсчитан угол"],"answer":[0]}},"hints":["Угол подъема отсчитывается от горизонта: $90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$.","$h = 12\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 12$ м."],"step":1},{"id":"8","content":"Теодолит стоит на штативе высотой 1,7 м в 28 м от здания, угол подъема вершины $45^\\circ$. Решавр пишет: «$h = 28 \\cdot \\operatorname{tg} 45^\\circ = 28$ м — высота здания». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо вычесть высоту штатива: $h = 28-1{,}7 = 26{,}3$ м","Не прибавлена высота прибора: $h = 28 + 1{,}7 = 29{,}7$ м","$\\operatorname{tg} 45^\\circ$ равен не $1$, а $\\sqrt2$: $h = 28\\sqrt2 \\approx 39{,}6$ м","Ошибки нет: $h = 28 \\cdot \\operatorname{tg} 45^\\circ = 28$ м"],"explanations":["Прибор над землей: измеренная высота отсчитывается от его уровня, и к ней высоту штатива добавляют","","$\\operatorname{tg} 45^\\circ = 1$: катеты прямоугольного треугольника с углом $45^\\circ$ равны","Тангенс дает высоту над уровнем прибора, а не над землей"],"answer":[1]}},"hints":["Угол измерен из точки на высоте 1,7 м над землей.","Высота здания: $28 + 1{,}7 = 29{,}7$ м."],"step":1},{"id":"8","content":"Теодолит стоит на штативе высотой 1,8 м в $10\\sqrt3$ м от здания, угол подъема вершины $30^\\circ$. Решавр пишет: «$h = 10\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 10$ м — высота здания». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\operatorname{tg} 30^\\circ$ равен не $\\dfrac{1}{\\sqrt3}$, а $\\sqrt3$: $h = 10\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 = 30$ м","Надо вычесть высоту штатива: $h = 10-1{,}8 = 8{,}2$ м","Не прибавлена высота прибора: $h = 10 + 1{,}8 = 11{,}8$ м","Ошибки нет: $h = 10\\sqrt3 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 10$ м"],"explanations":["$\\operatorname{tg} 30^\\circ = \\dfrac{1}{\\sqrt3}$, а $\\sqrt3$ — это $\\operatorname{tg} 60^\\circ$; вычисление Решавра верно","Прибор над землей: измеренная высота отсчитывается от его уровня, и к ней высоту штатива добавляют","","Тангенс дает высоту над уровнем прибора, а не над землей"],"answer":[2]}},"hints":["Угол измерен из точки на высоте 1,8 м над землей.","Высота здания: $10 + 1{,}8 = 11{,}8$ м."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-9]]Точки $A$ и $B$ на берегу, $AB = 70$ м, точка $C$ на другом берегу, $\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 45^\\circ$. Решавр пишет: «$BC = AB \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = \\dfrac{70}{\\sqrt3}$ м». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/03wykw4kde0r.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в выборе угла: нужен $\\operatorname{tg} 45^\\circ$, $BC = 70 \\cdot \\operatorname{tg} 45^\\circ = 70$ м","Ошибка в действии: нужно делить, $BC = \\dfrac{70}{\\operatorname{tg} 30^\\circ} \\approx 121{,}2$ м","Прямого угла нет, нужна теорема синусов: $BC = \\dfrac{70 \\sin 30^\\circ}{\\sin 105^\\circ} \\approx 36{,}2$ м","Ошибки нет: тангенс подходит, $BC = 70 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ \\approx 40{,}4$ м"],"explanations":["Тангенс $45^\\circ$ тоже предполагает прямой угол $B$, которого в треугольнике нет: формула с тангенсом неприменима","Деление не исправляет предположения о прямом угле: при $\\angle B = 45^\\circ$ формула с тангенсом неприменима","","Тангенс в прямоугольном треугольнике — отношение катетов; здесь прямого угла нет"],"answer":[2]}},"hints":["Формула $BC = AB \\cdot \\operatorname{tg} A$ верна лишь при прямом угле $B$.","Здесь $\\angle B = 45^\\circ$, треугольник не прямоугольный: нужна теорема синусов.","Ответ: прямой угол придуман."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-10]]Точки $A$ и $B$ на берегу, $AB = 30$ м, точка $C$ на другом берегу, $\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 75^\\circ$. Решавр пишет: «$BC = AB \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ = 10\\sqrt3$ м». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cvzec7vhqghr.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Прямого угла нет, нужна теорема синусов: $BC = \\dfrac{30 \\sin 30^\\circ}{\\sin 75^\\circ} \\approx 15{,}5$ м","Ошибки нет: тангенс подходит, $BC = 30 \\cdot \\operatorname{tg} 30^\\circ \\approx 17{,}3$ м","Ошибка в действии: нужно делить, $BC = \\dfrac{30}{\\operatorname{tg} 30^\\circ} \\approx 52$ м","Ошибка в выборе угла: нужен $\\operatorname{tg} 75^\\circ$, $BC = 30 \\cdot \\operatorname{tg} 75^\\circ \\approx 112$ м"],"explanations":["","Тангенс в прямоугольном треугольнике — отношение катетов; здесь прямого угла нет","Деление не исправляет предположения о прямом угле","Тангенс $75^\\circ$ тоже предполагает прямой угол $B$, которого в треугольнике нет: формула с тангенсом неприменима"],"answer":[0]}},"hints":["Формула $BC = AB \\cdot \\operatorname{tg} A$ верна лишь при прямом угле $B$.","Здесь $\\angle B = 75^\\circ$, треугольник не прямоугольный: нужна теорема синусов.","Ответ: прямой угол придуман."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Расстояние до недоступной точки можно найти из двух баз: в первой углы при базе по $80^\\circ$, во второй — по $50^\\circ$. Ошибка в измерении угла — $1^\\circ$. Какая база даст более надежный ответ?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Первая: большие углы при базе надежнее","Надежность зависит только от длины базы","Вторая: угол при недоступной точке у нее ближе к $90^\\circ$, ошибка угла искажает ответ слабее","Обе одинаково надежны"],"explanations":["Большие углы при базе дают узкий угол при $C$, и ошибка в градус сильнее меняет ответ","Длина базы масштабирует ответ, но не меняет относительной погрешности от ошибки угла","","Чувствительность ответа к ошибке растет, когда угол при недоступной точке мал"],"answer":[2]}},"hints":["При углах $80^\\circ$ угол при недоступной точке равен $20^\\circ$, при $50^\\circ$ — $80^\\circ$.","Ошибка в $1^\\circ$ при одном из углов базы меняет $AC$ примерно на $5\\%$ у первой базы и на $2\\%$ у второй.","Ответ: вторая."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Расстояние до недоступной точки можно найти из двух баз: в первой углы при базе по $85^\\circ$, во второй — по $60^\\circ$. Ошибка в измерении угла — $1^\\circ$. Какая база даст более надежный ответ?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Вторая: угол при недоступной точке у нее шире, ошибка угла искажает ответ слабее","Первая: большие углы при базе надежнее","Обе одинаково надежны","Надежность зависит только от длины базы"],"explanations":["","Большие углы при базе дают узкий угол при $C$, и ошибка в градус сильнее меняет ответ","Чувствительность ответа к ошибке растет, когда угол при недоступной точке мал","Длина базы масштабирует ответ, но не меняет относительной погрешности от ошибки угла"],"answer":[0]}},"hints":["При углах $85^\\circ$ угол при недоступной точке равен $10^\\circ$, при $60^\\circ$ — $60^\\circ$.","Ошибка в $1^\\circ$ при одном из углов базы меняет $AC$ примерно на $11\\%$ у первой базы и на $2\\%$ у второй.","Ответ: вторая."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>