Теорема синусов. Радиус описанной окружности

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Теорема синусов для треугольника $ABC$: $\\dfrac{AB}{\\sin C} = \\dfrac{BC}{[[fill_choice-1]]}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\sin B$","$\\sin C$","$\\cos A$","$\\sin A$"],"answer":3}},"hints":["В каждой дроби сторона и угол должны лежать друг против друга: $AB$ — против угла $C$.","Против стороны $BC$ лежит вершина $A$: под $BC$ стоит $\\sin A$."],"step":1},{"id":"1","content":"Теорема синусов для треугольника $MNK$: $\\dfrac{MN}{\\sin K} = \\dfrac{MK}{[[fill_choice-2]]}$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\cos N$","$\\sin K$","$\\sin M$","$\\sin N$"],"answer":3}},"hints":["В каждой дроби сторона и угол должны лежать друг против друга: $MN$ — против угла $K$.","Против стороны $MK$ лежит вершина $N$: под $MK$ стоит $\\sin N$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 3$, угол $A = 30^\\circ$, угол $B = 45^\\circ$. Найдите сторону $AC$.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zbj5zezgosm0.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3\\sqrt2}{2}$","$3\\sqrt2$","$3\\sqrt3$","$6$"],"explanations":["Так получается, если синусы переставить: $3 \\cdot \\frac12$ поделено на $\\frac{\\sqrt2}{2}$ дало бы $\\frac{3\\sqrt2}{2}$; пары сторона–угол перепутаны","","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $60^\\circ$, а угол $B = 45^\\circ$","Так было бы при $\\sin B = 1$, то есть $B = 90^\\circ$, а $\\sin 45^\\circ = \\frac{\\sqrt2}{2}$"],"answer":[1]}},"hints":["$BC$ лежит против $A$, $AC$ — против $B$: $AC = \\dfrac{BC \\cdot \\sin B}{\\sin A}$.","$AC = \\dfrac{3 \\cdot \\frac{\\sqrt2}{2}}{\\frac12} = 3\\sqrt2$.","$AC = 3\\sqrt2$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В треугольнике $MNK$ сторона $NK = 6$, угол $M = 30^\\circ$, угол $N = 60^\\circ$. Найдите сторону $MK$.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xg0watcwyjdq.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$12$","$6\\sqrt3$","$2\\sqrt3$","$3\\sqrt3$"],"explanations":["Так было бы при $\\sin N = 1$, то есть $N = 90^\\circ$, а $\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$","","Так получается, если синусы переставить: $6 \\cdot \\frac12$ поделено на $\\frac{\\sqrt3}{2}$; пары сторона–угол перепутаны","Потеряна двойка при делении на $\\frac12$: деление на $\\frac12$ удваивает число"],"answer":[1]}},"hints":["$NK$ лежит против $M$, $MK$ — против $N$: $MK = \\dfrac{NK \\cdot \\sin N}{\\sin M}$.","$MK = \\dfrac{6 \\cdot \\frac{\\sqrt3}{2}}{\\frac12} = 6\\sqrt3$.","$MK = 6\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 5\\sqrt3$, угол $A = 60^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/c8tosll966dn.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$.","$2R = \\dfrac{5\\sqrt3}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 10$.","$R = 5$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]В треугольнике $MNK$ сторона $NK = 7\\sqrt2$, угол $M = 45^\\circ$. Найдите радиус описанной окружности. [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xgkoxjsuykcq.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$\\dfrac{NK}{\\sin M} = 2R$.","$2R = \\dfrac{7\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}} = 14$.","$R = 7$."],"step":1},{"id":"4","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $7$, угол $A = 90^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$BC = 2R\\sin A$.","$\\sin 90^\\circ = 1$: $BC = 2 \\cdot 7 \\cdot 1$.","$BC = 14$."],"step":1},{"id":"4","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $4$, угол $A = 30^\\circ$. Найдите сторону $BC$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$BC = 2R\\sin A$.","$\\sin 30^\\circ = \\dfrac12$: $BC = 2 \\cdot 4 \\cdot \\dfrac12$.","$BC = 4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $R$. Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$BC = 2R\\sin A$","При $A = 90^\\circ$ сторона $BC$ — диаметр"],["$BC = R\\sin A$","$\\dfrac{BC}{\\sin A} \\ne \\dfrac{AC}{\\sin B}$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Сторона равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла; диаметром сторона бывает только против прямого угла.","Отношение $\\dfrac{a}{\\sin A}$ одно и то же для всех сторон и равно $2R$.","Верно: $BC = 2R\\sin A$; при $A = 90^\\circ$ сторона $BC$ — диаметр. Неверно: $BC = R\\sin A$; $\\dfrac{BC}{\\sin A} \\ne \\dfrac{AC}{\\sin B}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Около треугольника $MNK$ описана окружность радиуса $R$. Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$\\dfrac{NK}{\\sin M} = 2R$","Если угол $K$ тупой, то $\\sin K > 0$"],["$\\dfrac{MN}{\\sin M} = 2R$","$\\dfrac{NK}{\\sin M} = R$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Сторона делится на синус угла, лежащего против нее; отношение равно диаметру $2R$.","Отрицательных синусов в треугольнике нет: у тупого угла синус положительный.","Верно: $\\dfrac{NK}{\\sin M} = 2R$; $\\sin K > 0$ и при тупом $K$. Неверно: $\\dfrac{MN}{\\sin M} = 2R$; $\\dfrac{NK}{\\sin M} = R$."],"step":1},{"id":"6","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $7$, сторона $BC = 7\\sqrt3$, угол $A$ острый. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$\\sin A = \\dfrac{BC}{2R}$.","$\\sin A = \\dfrac{7\\sqrt3}{14} = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$.","Острый угол с синусом $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$: $A = 60^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса $8$, сторона $BC = 8\\sqrt2$, угол $A$ острый. Найдите угол $A$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["$\\sin A = \\dfrac{BC}{2R}$.","$\\sin A = \\dfrac{8\\sqrt2}{16} = \\dfrac{\\sqrt2}{2}$.","Острый угол с синусом $\\dfrac{\\sqrt2}{2}$: $A = 45^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Хорда $BC = 6$ окружности видна из точки $A$ той же окружности под углом $30^\\circ$. Иксератопс получил радиус $6$, Решавр — $12$: «$R = \\dfrac{BC}{\\sin A} = \\dfrac{6}{\\frac12}$». Кто прав и в чем ошибка другого?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Оба неправы: $\\sin 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, и $R$ другой","Оба неправы: угол $A$ не лежит против хорды $BC$","Прав Иксератопс: $\\dfrac{BC}{\\sin A} = 2R$, поэтому $R = 6$","Прав Решавр: отношение стороны к синусу угла и есть радиус"],"explanations":["$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — это $\\cos 30^\\circ$; синус $30^\\circ$ равен $\\frac12$","Вписанный угол $A$ опирается на хорду $BC$, то есть лежит против нее","","Отношение равно диаметру: при $A = 90^\\circ$ оно равно самой хорде $BC$, а хорда-диаметр вдвое длиннее радиуса"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните, что получается при $A = 90^\\circ$: хорда $BC$ — диаметр, и $\\dfrac{BC}{\\sin A} = BC = 2R$.","Отношение стороны к синусу противолежащего угла — это $2R$, а не $R$.","$2R = 12$, $R = 6$: прав Иксератопс."],"step":1},{"id":"7","content":"Хорда $NK = 4\\sqrt2$ окружности видна из точки $M$ той же окружности под углом $45^\\circ$. Иксератопс получил радиус $4$, Решавр — $8$: «$R = \\dfrac{NK}{\\sin M} = \\dfrac{4\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}}$». Кто прав и в чем ошибка другого?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Прав Иксератопс: $\\dfrac{NK}{\\sin M} = 2R$, поэтому $R = 4$","Оба неправы: угол $M$ не лежит против хорды $NK$","Прав Решавр: отношение стороны к синусу угла и есть радиус","Оба неправы: $\\dfrac{4\\sqrt2}{\\frac{\\sqrt2}{2}}$ равно $4$, а не $8$"],"explanations":["","Вписанный угол $M$ опирается на хорду $NK$, то есть лежит против нее","Отношение равно диаметру: при $M = 90^\\circ$ оно равно самой хорде $NK$, а хорда-диаметр вдвое длиннее радиуса","Деление на $\\frac{\\sqrt2}{2}$ — умножение на $\\frac{2}{\\sqrt2}$: $4\\sqrt2 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt2} = 8$, арифметика верна"],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что получается при $M = 90^\\circ$: хорда $NK$ — диаметр, и $\\dfrac{NK}{\\sin M} = NK = 2R$.","Отношение стороны к синусу противолежащего угла — это $2R$, а не $R$.","$2R = 8$, $R = 4$: прав Иксератопс."],"step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $MNK$ известно: $MN = 8$, угол $M = 60^\\circ$, угол $K = 45^\\circ$. Решавр ищет $NK$: «$\\dfrac{NK}{\\sin 45^\\circ} = \\dfrac{8}{\\sin 60^\\circ}$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $NK$ стоит над синусом $K$, а $MN$ — над синусом $M$","Вместо синусов надо взять косинусы: угол $K$ прилежит к $NK$","Синусы переставлены: $NK$ лежит против $60^\\circ$, а $MN$ — против $45^\\circ$","Нужно сначала найти угол $N$: без него пропорцию не составить"],"explanations":["Под стороной $NK$ стоит синус угла $K$, который к ней прилежит, а не лежит против","В теореме синусов стоят синусы; ошибка в том, какой угол под какой стороной","","Угол $N$ понадобился бы для стороны $MK$; для $NK$ достаточно пары $MN$ и $K$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте каждую дробь: сторона и угол под ней должны лежать друг против друга.","$NK$ лежит против угла $M = 60^\\circ$, а $MN = 8$ — против угла $K = 45^\\circ$; у Решавра синусы переставлены.","Верно: $\\dfrac{NK}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{8}{\\sin 45^\\circ}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 9$, угол $A = 60^\\circ$, угол $C = 45^\\circ$. Решавр ищет $BC$: «$\\dfrac{BC}{\\sin 45^\\circ} = \\dfrac{9}{\\sin 60^\\circ}$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно сначала найти угол $B$: без него пропорцию не составить","Синусы переставлены: $BC$ лежит против $60^\\circ$, а $AB$ — против $45^\\circ$","Вместо синусов надо взять косинусы: угол $C$ прилежит к $BC$","Ошибки нет: $BC$ стоит над синусом $C$, а $AB$ — над синусом $A$"],"explanations":["Угол $B$ понадобился бы для стороны $AC$; для $BC$ достаточно пары $AB$ и $C$","","В теореме синусов стоят синусы; ошибка в том, какой угол под какой стороной","Под стороной $BC$ стоит синус угла $C$, который к ней прилежит, а не лежит против"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте каждую дробь: сторона и угол под ней должны лежать друг против друга.","$BC$ лежит против угла $A = 60^\\circ$, а $AB = 9$ — против угла $C = 45^\\circ$; у Решавра синусы переставлены.","Верно: $\\dfrac{BC}{\\sin 60^\\circ} = \\dfrac{9}{\\sin 45^\\circ}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность. Известно: $BC = 5$, углы $B = 10^\\circ$ и $C = 20^\\circ$. Чему равен радиус окружности? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Против $BC$ лежит угол $A$, его в условии нет: $A = 180^\\circ-10^\\circ-20^\\circ = 150^\\circ$.","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$ — синус тупого угла положителен; $2R = \\dfrac{5}{\\frac12} = 10$.","$R = 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Около треугольника $ABC$ описана окружность. Известно: $BC = 6\\sqrt3$, углы $B = 25^\\circ$ и $C = 35^\\circ$. Чему равен радиус окружности? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Против $BC$ лежит угол $A$, его в условии нет: $A = 180^\\circ-25^\\circ-35^\\circ = 120^\\circ$.","$\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$; $2R = \\dfrac{6\\sqrt3}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 12$.","$R = 6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 12$, угол $A = 150^\\circ$. Решавр считает: «$\\sin 150^\\circ = -\\dfrac12$, значит, $2R = \\dfrac{12}{-\\frac12} = -24$, радиус отрицательный — задача без решения». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\sin 150^\\circ = \\frac12 > 0$: отрицателен косинус, а не синус; $R = 12$","Для тупого угла теорема синусов не действует: нужна теорема косинусов","Ошибки нет: знак синуса верен, и задача не имеет решения","$\\sin 150^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$: синус тупого угла больше, чем у острого; $R = 4\\sqrt3$"],"explanations":["","Теорема синусов верна для любого треугольника, в том числе тупоугольного","Синус угла от $0^\\circ$ до $180^\\circ$ неотрицателен, поэтому $R$ получается положительным","$\\frac{\\sqrt3}{2}$ — синус $60^\\circ$ и $120^\\circ$; у $150^\\circ$ синус равен синусу $30^\\circ$, то есть $\\frac12$"],"answer":[0]}},"hints":["Угол $150^\\circ$ — точка на единичной полуокружности выше оси: ордината положительна.","$\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ = \\dfrac12$; отрицательным у тупого угла бывает косинус.","$2R = 24$, $R = 12$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 9$, угол $A = 120^\\circ$. Решавр считает: «$\\sin 120^\\circ = \\dfrac12$, значит, $2R = 18$, $R = 9$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\sin 120^\\circ = -\\dfrac{\\sqrt3}{2}$","Отношение $\\dfrac{BC}{\\sin A}$ равно $R$, поэтому $R = 18$","$\\sin 120^\\circ = \\frac{\\sqrt3}{2}$, а не $\\frac12$; верно $R = 3\\sqrt3$","Ошибки нет: $R = 9$"],"explanations":["Синус угла от $0^\\circ$ до $180^\\circ$ неотрицателен; знак минус у тупого угла — только у косинуса","Отношение равно $2R$ — это у Решавра записано верно; ошибка в значении синуса","","$\\frac12$ — это $\\sin 30^\\circ$ и $\\sin 150^\\circ$, а не $\\sin 120^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Синус тупого угла равен синусу смежного острого: $\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ$.","$\\sin 60^\\circ = \\dfrac{\\sqrt3}{2}$, а $\\dfrac12$ — это $\\cos 60^\\circ$.","$2R = \\dfrac{9}{\\frac{\\sqrt3}{2}} = 6\\sqrt3$, $R = 3\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>