Задание 9. Линейные, квадратные и рациональные уравнения

{"questions":[{"content":"$$-5 + 9x = 10x + 4$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-9$","$-5$","$9$","$-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$9x- 10x = 4 + 5$$","Приведем подобные слагаемые: $$-x = 9$$<br />Умножим обе части уравнения на $-1{:}$ $$x = -9$$"]}]}

{"questions":[{"content":"$$7 + 5x = 2x — 8$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5$","$5$","$-3$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$5x-2x=-8-7$$","Приведем подобные слагаемые: $$3x=-15$$<br />Разделим обе части на $3{:}$ $$x=-5$$"]},{"content":"$$-12 + 4x = 9x + 3$$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$3$","$-5$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$4x-9x=3+12$$","Приведем подобные слагаемые: $$-5x=15$$<br />Разделим обе части на $-5{:}$ $$x=-3$$"]},{"content":"$$6x — 5 = 2x + 15$$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$-5$","$10$","$-10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$6x-2x=15+5$$","Приведем подобные слагаемые: $$4x=20$$<br />Разделим обе части на $4{:}$ $$x=5$$"]},{"content":"$$-3x + 11 = x — 1$$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$-3$","$-4$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$-3x-x=-1-11$$","Приведем подобные слагаемые: $$-4x=-12$$<br />Разделим обе части на $-4{:}$ $$x=3$$"]},{"content":"$$8 — 2x = 5x + 29$$[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$3$","$-5$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$-2x-5x=29-8$$","Приведем подобные слагаемые: $$-7x=21$$<br />Разделим обе части на $-7{:}$ $$x=-3$$"]},{"content":"$$9x + 4 = 3x — 20$$[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$4$","$-6$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$9x-3x=-20-4$$","Приведем подобные слагаемые: $$6x=-24$$<br />Разделим обе части на $6{:}$ $$x=-4$$"]},{"content":"$$-7 + 6x = 2x + 9$$[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$-8$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$6x-2x=9+7$$","Приведем подобные слагаемые: $$4x=16$$<br />Разделим обе части на $4{:}$ $$x=4$$"]},{"content":"$$5x — 18 = -x + 6$$[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$-2$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$5x+x=6+18$$","Приведем подобные слагаемые: $$6x=24$$<br />Разделим обе части на $6{:}$ $$x=4$$"]},{"content":"$$14 — 3x = x — 2$$[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$-3$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$-3x-x=-2-14$$","Приведем подобные слагаемые: $$-4x=-16$$<br />Разделим обе части на $-4{:}$ $$x=4$$"]},{"content":"$$2x + 13 = 7x — 12$$[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$-5$","$-2$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$2x-7x=-12-13$$","Приведем подобные слагаемые: $$-5x=-25$$<br />Разделим обе части на $-5{:}$ $$x=5$$"]},{"content":"$$-4x — 9 = 3x + 12$$[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$3$","$-2$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$-4x-3x=12+9$$","Приведем подобные слагаемые: $$-7x=21$$<br />Разделим обе части на $-7{:}$ $$x=-3$$"]},{"content":"$$10 + x = 4x — 2$$[[fill_choice_big-12]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$-3$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$x-4x=-2-10$$","Приведем подобные слагаемые: $$-3x=-12$$<br />Разделим обе части на $-3{:}$ $$x=4$$"]},{"content":"$$-15 + 2x = -6x + 1$$[[fill_choice_big-13]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$2$","$-4$","$4$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$2x+6x=1+15$$","Приведем подобные слагаемые: $$8x=16$$<br />Разделим обе части на $8{:}$ $$x=2$$"]},{"content":"$$3(2x — 5) = x + 4$$[[fill_choice_big-14]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$-11$","$11$","$-19$","$\\frac{19}{5}$"],"placeholder":0,"answer":3}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки и перенесем слагаемые: $$6x-15=x+4$$<br />$$6x-x=4+15$$","Приведем подобные слагаемые: $$5x=19$$<br />Разделим обе части на $5{:}$ $$x=\\frac{19}{5}$$"]},{"content":"$$\\frac{x}{3} — 2 = 4$$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$18$","$12$","$-18$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Перенесем свободный член в правую часть: $$\\frac{x}{3}=4+2$$","Вычислим: $$\\frac{x}{3}=6$$<br />Умножим обе части на $3{:}$ $$x=18$$"]}]}

{"questions":[{"content":"$$x^2-5x+6=0$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$ и $3$","$-2$ и $-3$","$1$ и $6$","$-1$ и $-6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$","Приравняем множители к нулю: $$x-2=0,\\;x-3=0$$<br>Получим: $$x=2\\;\\text{и}\\;x=3$$"]},{"content":"$$x^2+7x+12=0$$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$ и $4$","$-3$ и $-4$","$-2$ и $-6$","$2$ и $6$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$$","Приравняем множители к нулю: $$x+3=0,\\;x+4=0$$<br>Получим: $$x=-3\\;\\text{и}\\;x=-4$$"]},{"content":"$$x^2-9x+14=0$$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$ и $7$","$-2$ и $-7$","$1$ и $14$","$-1$ и $-14$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2-9x+14=(x-2)(x-7)$$","Приравняем множители к нулю: $$x-2=0,\\;x-7=0$$<br>Получим: $$x=2\\;\\text{и}\\;x=7$$"]},{"content":"$$2x^2-5x-3=0$$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\frac{1}{2}$ и $3$","$1$ и $-\\frac{3}{2}$","$-\\frac{3}{2}$ и $1$","$\\frac{1}{2}$ и $3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\\cdot2\\cdot(-3)=25+24=49$$","Найдем корни: $$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{5\\pm7}{4}$$<br>Получим: $$x=-\\frac{1}{2}\\;\\text{и}\\;x=3$$"]},{"content":"$$x^2+4x-5=0$$[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5$ и $1$","$5$ и $-1$","$-1$ и $5$","$-5$ и $-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$$","Приравняем множители к нулю: $$x+5=0,\\;x-1=0$$<br>Получим: $$x=-5\\;\\text{и}\\;x=1$$"]},{"content":"$$3x^2-12x+12=0$$[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$-2$","$4$","$-4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разделим обе части на $3{:}$ $$x^2-4x+4=0$$","Разложим: $$x^2-4x+4=(x-2)^2=0$$<br>Получим: $$x=2$$"]},{"content":"$$x^2-2x-8=0$$[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$ и $2$","$4$ и $-2$","$2$ и $4$","$-4$ и $-2$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$$","Приравняем множители к нулю: $$x-4=0,\\;x+2=0$$<br>Получим: $$x=4\\;\\text{и}\\;x=-2$$"]},{"content":"$$5x^2+5x-10=0$$[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$ и $2$","$-1$ и $2$","$-2$ и $1$","$2$ и $-1$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Разделим обе части на $5{:}$ $$x^2+x-2=0$$","Разложим: $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0$$<br>Получим: $$x=-2\\;\\text{и}\\;x=1$$"]},{"content":"$$2x^2+3x+1=0$$[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$ и $-\\frac{1}{2}$","$1$ и $\\frac{1}{2}$","$-\\frac{1}{2}$ и $1$","$-2$ и $-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)$$","Приравняем множители к нулю: $$2x+1=0,\\;x+1=0$$<br>Получим: $$x=-\\frac{1}{2}\\;\\text{и}\\;x=-1$$"]},{"content":"$$x^2-6x+5=0$$[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$ и $5$","$-1$ и $-5$","$-1$ и $5$","$2$ и $4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$","Приравняем множители к нулю: $$x-1=0,\\;x-5=0$$<br>Получим: $$x=1\\;\\text{и}\\;x=5$$"]},{"content":"$$4x^2-4x+1=0$$[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{2}$","$-\\frac{1}{2}$","$1$","$-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заметим полный квадрат: $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$","Решим: $$(2x-1)^2=0\\Rightarrow 2x-1=0$$<br>Получим: $$x=\\frac{1}{2}$$"]},{"content":"$$x^2+x-12=0$$[[fill_choice_big-12]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$ и $4$","$3$ и $4$","$-4$ и $3$","$-3$ и $-4$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$","Приравняем множители к нулю: $$x+4=0,\\;x-3=0$$<br>Получим: $$x=-4\\;\\text{и}\\;x=3$$"]},{"content":"$$6x^2-x-2=0$$[[fill_choice_big-13]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2}{3}$ и $-\\frac{1}{2}$","$-\\frac{2}{3}$ и $\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{3}$ и $-\\frac{2}{1}$","$-\\frac{1}{3}$ и $\\frac{2}{1}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $$D=(-1)^2-4\\cdot6\\cdot(-2)=1+48=49$$","Найдем корни: $$x=\\frac{1\\pm7}{12}$$<br>Получим: $$x=\\frac{2}{3}\\;\\text{и}\\;x=-\\frac{1}{2}$$"]},{"content":"$$x^2-4x-21=0$$[[fill_choice_big-14]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$ и $7$","$3$ и $-7$","$-7$ и $3$","$-3$ и $-7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим на множители: $$x^2-4x-21=(x-7)(x+3)$$","Приравняем множители к нулю: $$x-7=0,\\;x+3=0$$<br>Получим: $$x=7\\;\\text{и}\\;x=-3$$"]},{"content":"$$3x^2+10x+3=0$$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$ и $-\\frac{1}{3}$","$3$ и $\\frac{1}{3}$","$-\\frac{1}{3}$ и $3$","$-1$ и $-3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $$D=10^2-4\\cdot3\\cdot3=100-36=64$$","Найдем корни: $$x=\\frac{-10\\pm8}{6}$$<br>Получим: $$x=-3\\;\\text{и}\\;x=-\\frac{1}{3}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"$$\\frac{x+1}{x-2}=3$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{7}{2}$","$-\\frac{7}{2}$","$5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne2$$ Умножим на $x-2{:}$ $$x+1=3(x-2)$$","Решим: $$x+1=3x-6\\Rightarrow 7=2x\\Rightarrow x=\\frac{7}{2}$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{2x-3}{x+1}=1$$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$1$","$-4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne-1$$ Умножим на $x+1{:}$ $$2x-3=x+1$$","Решим: $$2x-x=1+3\\Rightarrow x=4$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{x-5}{2x+1}=2$$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\frac{7}{3}$","$\\frac{7}{3}$","$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{11}{3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$2x+1\\ne0\\Rightarrow x\\ne-\\frac{1}{2}$$ Умножим на $2x+1{:}$ $$x-5=2(2x+1)$$","Решим: $$x-5=4x+2\\Rightarrow -7=3x\\Rightarrow x=-\\frac{7}{3}$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{3}{x-4}=\\frac{1}{2}$$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$-10$","$6$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne4$$ Перемножим крест-накрест: $$3\\cdot2=1\\cdot(x-4)$$","Решим: $$6=x-4\\Rightarrow x=10$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{x}{x-3}=2$$[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$-6$","$\\frac{3}{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne3$$ Умножим на $x-3{:}$ $$x=2(x-3)$$","Решим: $$x=2x-6\\Rightarrow x=6$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{5}{x+2}=-1$$[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$-7$","$7$","$-2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne-2$$ Умножим на $x+2{:}$ $$5=-(x+2)$$","Решим: $$5=-x-2\\Rightarrow -x=7\\Rightarrow x=-7$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{x-1}{x+3}=0$$[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$-3$","$0$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Чтобы дробь была равна нулю, нужен нулевой числитель и ненулевой знаменатель. ОДЗ: $$x\\ne-3$$ Решаем $x-1=0$.","Получим: $$x=1$$ Проверим знаменатель: $$1+3\\ne0$$"]},{"content":"$$\\frac{x+4}{x}=-2$$[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\frac{4}{3}$","$\\frac{4}{3}$","$-2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne0$$ Умножим на $x{:}$ $$x+4=-2x$$","Решим: $$3x=-4\\Rightarrow x=-\\frac{4}{3}$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{2}{x-1}=\\frac{3}{x+2}$$[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$-7$","$1$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["ОДЗ: $$x\\ne1,\\;x\\ne-2$$ Перемножим крест-накрест: $$2(x+2)=3(x-1)$$","Решим: $$2x+4=3x-3\\Rightarrow x=7$$ Значение не нарушает ОДЗ."]},{"content":"$$\\frac{x+2}{3}-\\frac{x-1}{2}=1$$[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$-4$","$1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Умножим на $6$ (общий знаменатель): $$2(x+2)-3(x-1)=6$$","Решим: $$2x+4-3x+3=6\\Rightarrow -x+7=6\\Rightarrow x=1$$"]}]}