Неполные квадратные уравнения

Научимся решать неполные квадратные уравнения, узнаем, как называются коэффициенты перед переменными в квадратном уравнении.

Квадратное уравнение

Квадратным уравнение — это уравнение вида $$\textcolor{blue}{a}x^2+\textcolor{darkgreen}{b}x+\textcolor{coral}{c}=0$$ где $x$ — переменная, а $\textcolor{blue}{a}$, $\textcolor{darkgreen}{b}$, $\textcolor{coral}{c}$ — какие-то числа, причем $\textcolor{blue}{a}\not=0.$

Согласно определению квадратного уравнения, число $\textcolor{blue}{a}$ должно стоять перед $x^2,$ $\textcolor{darkgreen}{b}$ — перед $x,$ а $\textcolor{coral}{c}$ должно быть отдельным числом. Поэтому в уравнении $\textcolor{blue}{8}x^2+\textcolor{darkgreen}{7}x\textcolor{coral}{-9}=0$ коэффициенты будут: $$\textcolor{blue}{a}=8,\space \textcolor{darkgreen}{b}=7, \space \textcolor{coral}{c}=-9$$

{"questions":[{"content":"[[speech-1]][[matcher-15]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","char":"0","text":"В уравнении $x^2-7x+6=0$ определите коэффициенты $a,b,c.$"},"matcher-15":{"type":"matcher","labels":["$\\textcolor{blue}{a}$","$\\textcolor{darkgreen}{b}$","$\\textcolor{coral}{c}$"],"items":["$1$","$-7$","$6$"]}},"step":1,"hints":["Перед $x^2$ стоит коэффициент $\\textcolor{blue}{a},$ в нашем уравнении мы можем представить $ x^2 $ как $\\textcolor{blue}{1}\\cdot x^2$ (число, умноженное на единицу, дает само число). Поэтому коэффициент $\\textcolor{blue}{a}$ будет равен $\\textcolor{blue}{1}.$","$$\\textcolor{blue}{1}x^2\\textcolor{darkgreen}{-7}x+\\textcolor{coral}{6}=0$$ $\\textcolor{blue}{a}=1,\\space \\textcolor{darkgreen}{b}=-7,\\space \\textcolor{coral}{c}=6$"]}]}

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении $$\textcolor{blue}{a}x^2+\textcolor{darkgreen}{b}x+\textcolor{coral}{c}=0$$ хотя бы один из коэффициентов $\textcolor{darkgreen}{b}$ или $\textcolor{coral}{c}$ равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Уравнение вида ax² + bx = 0

Уравнение вида $\textcolor{blue}{a}x^2+\textcolor{darkgreen}{b}x=0$ решается разложением на множители левой части:$$\textcolor{purple}{x}(\textcolor{orange}{ax+b})=0$$Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю: $$\textcolor{purple}{x}=0\quad или\quad \textcolor{orange}{ax+b}=0$$

Вынесем общий множитель за скобки: $$6x^2-3x=0$$ $$\textcolor{purple}{3x}(\textcolor{orange}{2x-1})=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$\textcolor{purple}{3x}=0 \quad или \quad \textcolor{orange}{2x-1}=0$$ Решаем первое уравнение: $$3x=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, значит: $$x_1=0$$ Найдем корень второго уравнения: $$2x\textcolor{green}{-1}=0$$ $$\textcolor{lightblue}{2}x=\textcolor{green}{1}$$ $$x_2=\frac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{lightblue}{2}}=0.5$$ Ответ: $x_1=0; \space x_2=0.5.$

Уравнение вида ax² + c = 0

Уравнение $\textcolor{blue}{a}x^2+\textcolor{coral}{c}=0$ решается переносом свободного члена $\textcolor{coral}{c}$ в правую часть, а затем делением обоих частей уравнения на $\textcolor{blue}{a}$: $$\textcolor{blue}{a}x^2+\textcolor{coral}{c}=0$$ $$\textcolor{blue}{a}x^2=-\textcolor{coral}{c}$$ $$x^2=-\frac{\textcolor{coral}{c}}{\textcolor{blue}{a}}$$ Далее ищем число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить $-\frac{c}{a}$: $$x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}};\quad x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Перенесем $32$ вправо и разделим обе части уравнения на $2$:$$2x^2\textcolor{purple}{-32}=0$$ $$2x^2=\textcolor{purple}{32}$$ $$x^2=\frac{32}{2}=\textcolor{orange}{16}$$ Найдем число, которое при возведении в квадрат дает $16$:$$x_1=\sqrt{\textcolor{orange}{16}}=4$$ $$x_2=-\sqrt{\textcolor{orange}{16}}=-4$$ Ответ: $x_1=4; \space x_2=-4.$

Уравнение вида ax² = 0

Уравнение типа $\textcolor{blue}{a}x^2=0$ имеет единственный корень $0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Однако в данном примере первый множитель — это число $25,$ которое не равно нулю. Поэтому: $$x^2=0$$ $$x=0$$ Ответ: $x=0.$

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения влево с противоположным знаком: $$4x^2-3x+7=\textcolor{lightblue}{2x^2}+\textcolor{green}{x}+\textcolor{orange}{7}$$ $$4x^2-3x+7\textcolor{lightblue}{-2x^2}\textcolor{green}{-x}\textcolor{orange}{-7}=0$$ Приведем подобные: $$\textcolor{blue}{4x^2}\textcolor{darkgreen}{-3x}\textcolor{coral}{\cancel{+7}}\textcolor{blue}{-2x^2}\textcolor{darkgreen}{-x}\textcolor{coral}{\cancel{-7}}=0$$ $$\textcolor{blue}{2x^2}\textcolor{darkgreen}{-4x}=0$$ Решим неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $\textcolor{purple}{x}$ за скобки: $$2\textcolor{purple}{x}^2-4\textcolor{purple}{x}=0$$ $$\textcolor{purple}{x}(2x-4)=0$$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю: $$x_1=0 \quad или \quad 2x-4=0$$ Решим второе уравнение: $$\textcolor{green}{2}x\textcolor{lightblue}{-4}=0$$ $$\textcolor{green}{2}x=\textcolor{lightblue}{4}$$ $$x_2=\frac{\textcolor{lightblue}{4}}{\textcolor{green}{2}}=2$$ Ответ: $x_1=0; \space x_2=2.$

Для практики будет полезен наш тренажер по квадратным уравнениям.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение: $$x^2-8x=0$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$x_1=0; \\space x_2=8$","$x_1=-8; \\space x_2=8$","$x=8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Вынесем общий множитель $\\textcolor{blue}{x}$ за скобки: $$\\textcolor{blue}{x}^2-8\\textcolor{blue}{x}=0$$ $$\\textcolor{blue}{x}(x-8)=0$$","Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю: $$\\textcolor{darkgreen}{x}(\\textcolor{coral}{x-8})=0$$ $$\\textcolor{darkgreen}{x}=0 \\quad или \\quad \\textcolor{coral}{x-8}=0$$ Первое уравнение уже решено: $$x_1=0$$ Решаем второе уравнение: $$x\\textcolor{purple}{-8}=0$$ $$x_2=\\textcolor{purple}{8}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы