Дробные рациональные уравнения

{"questions":[{"content":"Катер прошел по течению $120$ $км$. На этот же путь против течения от потратил времени в $1,5$ раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде равна $20$ $км/ч$.[[image-1]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/07/vodopad-obrazavr.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$3$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим скорость течения за $x$. При расстоянии $120$ $км$ скорость против течения $20-x$, по течению — $20+x$.","Из условия задачи нам известно, что время, затраченное на дорогу против течения было в $1,5$ раза больше времени, затраченного на дорогу по течению. Тогда:<br />$$1,5\\cdot \\frac{120}{20+x}=\\frac{120}{20-x}$$","Разделим дроби в обеих частях уравнения на $120$: $$\\frac{1,5}{20+x}=\\frac{1}{20-x}$$<br />Получаем:<br />$20+x=0$ и $20-x=0$,<br />$x_{1}=20$, $x_{2}=-20$.","Решим пропорцию:<br />$1,5(20-x)=20+x$<br />$30-1,5x=20+x$<br />$2,5x=10$<br />$x=4$.<br />Этот ответ удовлетворяет ОДЗ."]}]}

{"questions":[{"content":"Теплоход прошел по течению $90$ $км$. На обратный путь против течения он затратил времени в $1,25$ раза больше. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде равна $18$ $км/ч$.[[image-1]][[fill_choice_big-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/07/korabl-kapitan-matros-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим скорость течения за $x$. Тогда скорость по течению равна $18+x$, а против течения — $18-x$.","Время по течению: $\\dfrac{90}{18+x}$, против течения: $\\dfrac{90}{18-x}$.","По условию против течения теплоход шел в $1,25$ раза дольше:<br />$$1,25\\cdot \\frac{90}{18+x}=\\frac{90}{18-x}$$","Сократим на $90$:<br />$$\\frac{1,25}{18+x}=\\frac{1}{18-x}$$","Решим уравнение:<br />$$1,25(18-x)=18+x$$<br />$$22,5-1,25x=18+x$$<br />$$4,5=2,25x$$<br />$$x=2$$"]},{"content":"Катер проплыл $84$ $км$ по течению и столько же против течения. На путь против течения он потратил на $2$ часа больше. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна $16$ $км/ч$.[[image-2]][[fill_choice_big-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/ship-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим скорость течения за $x$. Тогда скорости: по течению — $16+x$, против течения — $16-x$.","Время движения по течению: $\\dfrac{84}{16+x}$, против течения: $\\dfrac{84}{16-x}$.","По условию время против течения больше на $2$ часа:<br />$$\\frac{84}{16-x}-\\frac{84}{16+x}=2$$","Приведем дроби к общему знаменателю и решим уравнение.","После преобразований получаем:<br />$$x=3$$"]},{"content":"Моторная лодка прошла $72$ $км$ против течения и $72$ $км$ по течению. На весь путь было затрачено $9$ часов. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки $20$ $км/ч$.[[image-3]][[fill_choice_big-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/lodka-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения равна $x$. Тогда скорости лодки: $20+x$ и $20-x$.","Время движения по течению: $\\dfrac{72}{20+x}$, против течения: $\\dfrac{72}{20-x}$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{72}{20+x}+\\frac{72}{20-x}=9$$","Решим уравнение.","Получаем:<br />$$x=4$$"]},{"content":"Катер прошел $60$ $км$ по течению и $60$ $км$ против течения за $8$ часов. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера $17$ $км/ч$.[[image-4]][[fill_choice_big-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/lodka-plyevt-edet-na-lodke-kamysh-ozero-prud-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения — $x$.","Скорости катера: $17+x$ и $17-x$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{60}{17+x}+\\frac{60}{17-x}=8$$","Решим уравнение.","Получаем:<br />$$x=2$$"]},{"content":"Лодка прошла против течения $54$ $км$. Обратный путь по течению занял на $3$ часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде равна $15$ $км/ч$.[[image-5]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/lodka_parus-01.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим скорость течения через $x$.","Скорость по течению: $15+x$, против течения: $15-x$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{54}{15-x}-\\frac{54}{15+x}=3$$","Решим уравнение.","Получаем:<br />$$x=3$$"]},{"content":"Катер прошел $96$ $км$ по течению за то же время, что и $64$ $км$ против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера $20$ $км/ч$.[[image-6]][[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/11/impuls11-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения равна $x$.","По течению скорость: $20+x$, против течения: $20-x$.","По условию:<br />$$\\frac{96}{20+x}=\\frac{64}{20-x}$$","Решим пропорцию.","Получаем:<br />$$x=4$$"]},{"content":"Теплоход прошел $140$ $км$ по течению и $140$ $км$ против течения за $14$ часов. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде равна $24$ $км/ч$.[[image-7]][[fill_choice_big-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/parohod.svg","width":"300"},"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$3$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим скорость течения за $x$.","Скорости: $24+x$ и $24-x$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{140}{24+x}+\\frac{140}{24-x}=14$$","Решим уравнение.","Получаем:<br />$$x=4$$"]},{"content":"Катер прошел $81$ $км$ по течению за то же время, что и $54$ $км$ против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна $18$ $км/ч$.[[image-12]][[fill_choice_big-12]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/yahta-lodka-korabl-01-3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$4$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения — $x$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{81}{18+x}=\\frac{54}{18-x}$$","Решим пропорцию.","Получаем:<br />$$x=6$$"]},{"content":"Лодка прошла $70$ $км$ против течения и столько же по течению. На путь против течения было затрачено на $2$ часа больше. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки равна $21$ $км/ч$.[[image-13]][[fill_choice_big-13]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/rychagi14_1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость течения равна $x$.","Составим уравнение:<br />$$\\frac{70}{21-x}-\\frac{70}{21+x}=2$$","Решим уравнение.","Получаем:<br />$$x=3$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В раствор, содержащий $50$ $г$ соли, добавили $150$ $г$ воды. В результате концентрация соли уменьшилась на $7,5\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-1]][[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/uchyonyj-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$15\\%$","$20\\%$","$10\\%$","$25\\%$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Обозначим за $x$ массу воды. Концентрацию соли выразим через отношение массы соли в растворе к массе раствора.","В первоначальном растворе $x$ воды, соли $50$, следовательно концентрация $\\frac{50}{x+50}$.<br />В полученном растворе $x+150$ воды, $50$ соли, потому концентрация составит $\\frac{50}{x+50+150}$.","Учитывая, что концентрация полученного раствора уменьшилась на $7,5\\%$, составим математическую модель:<br />$$\\frac{50}{x+50+150}=\\frac{50}{x+50}-\\frac{7,5}{100}$$<br />$$\\frac{50}{x+200}=\\frac{50}{x+50}-\\frac{3}{40}$$","Найдем ОДЗ: $x+200=0$ и $x+50=0$, тогда $x_{1}=-200$ и $x_{2}=-50$.<br />Приведем к общему знаменателю и решим уравнение.","$2000\\cdot(x+50)=2000\\cdot(x+200)-3(x+50)\\cdot(x+200)$<br />$2000x+100\\space000=2000x+400\\space000-3(x^{2}+250x+10\\space000)$<br />$300\\space000-3x^{2}-750x-30\\space000=0$<br />$x^{2}+250x-90\\space000=0$","Решим уравнения с помощью дискриминант и получим корни $x_{1}=-450$, $x_{2}=200$.<br />Согласно ОДЗ масса не может быть отрицательной, поэтому первоначальная концентрация соли в растворе составляет:<br />$$\\frac{50}{200+50}=0,2 = 20\\%.$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В раствор, содержащий $40$ $г$ соли, добавили $40$ $г$ воды. В результате концентрация соли уменьшилась на $5\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-1]][[fill_choice_big-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/obrazavr_ok-031.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$20\\%$","$25\\%$","$30\\%$","$15\\%$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса всего первоначального раствора равна $x+40$.","Концентрация соли в первоначальном растворе равна $\\dfrac{40}{x+40}$. После добавления $40$ $г$ воды масса раствора стала $x+80$, а масса соли осталась $40$ $г$, поэтому новая концентрация равна $\\dfrac{40}{x+80}$.","По условию концентрация уменьшилась на $5\\%$, значит:<br />$$\\frac{40}{x+80}=\\frac{40}{x+40}-\\frac{5}{100}$$<br />$$\\frac{40}{x+80}=\\frac{40}{x+40}-\\frac{1}{20}$$","Найдем ОДЗ: $x+80\\neq0$, $x+40\\neq0$, то есть $x\\neq -80$, $x\\neq -40$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{40}{x+40}-\\frac{40}{x+80}=\\frac{1}{20}$$<br />$$\\frac{40(x+80)-40(x+40)}{(x+40)(x+80)}=\\frac{1}{20}$$<br />$$\\frac{1600}{(x+40)(x+80)}=\\frac{1}{20}$$","Получаем:<br />$$(x+40)(x+80)=32000$$<br />$$x^2+120x+3200=32000$$<br />$$x^2+120x-28800=0$$<br />Корни уравнения: $x_1=120$, $x_2=-240$. Масса воды не может быть отрицательной, поэтому $x=120$.","Первоначальная концентрация равна:<br />$$\\frac{40}{120+40}=\\frac{40}{160}=0,25=25\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $30$ $г$ хлора, добавили $70$ $г$ воды. В результате концентрация хлора уменьшилась на $7\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-2]][[fill_choice_big-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/09/kleozavr-lupa-himiya-uchenyj-opyty-kolby-klba.svg","width":"300"},"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$21\\%$","$30\\%$","$28\\%$","$24\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+30$.","Первоначальная концентрация хлора равна $\\dfrac{30}{x+30}$. После добавления $70$ $г$ воды масса раствора стала $x+100$, а масса хлора не изменилась, поэтому новая концентрация равна $\\dfrac{30}{x+100}$.","По условию концентрация уменьшилась на $7\\%$:<br />$$\\frac{30}{x+100}=\\frac{30}{x+30}-\\frac{7}{100}$$","Найдем ОДЗ: $x+100\\neq0$, $x+30\\neq0$, значит $x\\neq -100$, $x\\neq -30$.","Перенесем дроби:<br />$$\\frac{30}{x+30}-\\frac{30}{x+100}=\\frac{7}{100}$$<br />$$\\frac{30(x+100)-30(x+30)}{(x+30)(x+100)}=\\frac{7}{100}$$<br />$$\\frac{2100}{(x+30)(x+100)}=\\frac{7}{100}$$","Получаем:<br />$$7(x+30)(x+100)=210000$$<br />$$(x+30)(x+100)=30000$$<br />$$x^2+130x+3000=30000$$<br />$$x^2+130x-27000=0$$","Корни уравнения: $x_1=120$, $x_2=-250$. Масса воды не может быть отрицательной, поэтому $x=120$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{30}{120+30}=\\frac{30}{150}=0,2=20\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $60$ $г$ натрия, добавили $100$ $г$ воды. В результате концентрация натрия уменьшилась на $8\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-3]][[fill_choice_big-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/pterodaktil-uchenyj-mikroskop-uchenyj-himik-himiya.svg","width":"300"},"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$24\\%$","$30\\%$","$20\\%$","$28\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+60$.","Первоначальная концентрация натрия равна $\\dfrac{60}{x+60}$. После добавления $100$ $г$ воды масса раствора стала $x+160$, а масса натрия осталась $60$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{60}{x+160}$. По условию она на $8\\%$ меньше первоначальной:<br />$$\\frac{60}{x+160}=\\frac{60}{x+60}-\\frac{8}{100}$$<br />$$\\frac{60}{x+160}=\\frac{60}{x+60}-\\frac{2}{25}$$","Найдем ОДЗ: $x+160\\neq0$, $x+60\\neq0$, значит $x\\neq -160$, $x\\neq -60$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{60}{x+60}-\\frac{60}{x+160}=\\frac{2}{25}$$<br />$$\\frac{6000}{(x+60)(x+160)}=\\frac{2}{25}$$","Получаем:<br />$$2(x+60)(x+160)=150000$$<br />$$(x+60)(x+160)=75000$$<br />$$x^2+220x+9600=75000$$<br />$$x^2+220x-65400=0$$","Корни уравнения: $x_1=190$, $x_2=-410$. Масса воды не может быть отрицательной, поэтому $x=190$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{60}{190+60}=\\frac{60}{250}=0,24=24\\%.$$"]},{"content":"Из раствора, содержащего $45$ $г$ соли, выпарили $50$ $г$ воды. В результате концентрация соли увеличилась на $5\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-4]][[fill_choice_big-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/doska-magnitnaya-molekula.svg","width":"300"},"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$20\\%$","$15\\%$","$25\\%$","$18\\%$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+45$.","Первоначальная концентрация соли равна $\\dfrac{45}{x+45}$. После выпаривания $50$ $г$ воды масса воды стала $x-50$, а масса соли осталась $45$ $г$.","Масса нового раствора равна $x-50+45=x-5$, поэтому новая концентрация равна $\\dfrac{45}{x-5}$.","По условию концентрация увеличилась на $5\\%$:<br />$$\\frac{45}{x-5}=\\frac{45}{x+45}+\\frac{5}{100}$$<br />$$\\frac{45}{x-5}=\\frac{45}{x+45}+\\frac{1}{20}$$","Найдем ОДЗ: $x-5\\neq0$, $x+45\\neq0$, значит $x\\neq5$, $x\\neq -45$. Также $x>50$, потому что выпарили $50$ $г$ воды.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{45}{x-5}-\\frac{45}{x+45}=\\frac{1}{20}$$<br />$$\\frac{45(x+45)-45(x-5)}{(x-5)(x+45)}=\\frac{1}{20}$$<br />$$\\frac{2250}{(x-5)(x+45)}=\\frac{1}{20}$$","Получаем:<br />$$(x-5)(x+45)=45000$$<br />$$x^2+40x-225=45000$$<br />$$x^2+40x-45225=0$$","Корни уравнения: $x_1=195$, $x_2=-235$. Подходит $x=195$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{45}{195+45}=\\frac{45}{240}=0,1875=18,75\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $25$ $г$ сахара, добавили $75$ $г$ воды. В результате концентрация сахара уменьшилась на $6\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-5]][[fill_choice_big-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kniga_nauka-chitaet-molekuly-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$16\\%$","$20\\%$","$25\\%$","$18\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса раствора до добавления воды равна $x+25$.","Первоначальная концентрация сахара равна $\\dfrac{25}{x+25}$. После добавления $75$ $г$ воды масса раствора стала $x+100$, а масса сахара осталась $25$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{25}{x+100}$. По условию она уменьшилась на $6\\%$:<br />$$\\frac{25}{x+100}=\\frac{25}{x+25}-\\frac{6}{100}$$<br />$$\\frac{25}{x+100}=\\frac{25}{x+25}-\\frac{3}{50}$$","Найдем ОДЗ: $x+100\\neq0$, $x+25\\neq0$, значит $x\\neq -100$, $x\\neq -25$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{25}{x+25}-\\frac{25}{x+100}=\\frac{3}{50}$$<br />$$\\frac{1875}{(x+25)(x+100)}=\\frac{3}{50}$$","Получаем:<br />$$3(x+25)(x+100)=93750$$<br />$$(x+25)(x+100)=31250$$<br />$$x^2+125x+2500=31250$$<br />$$x^2+125x-28750=0$$","Корни уравнения: $x_1=125$, $x_2=-250$. Подходит $x=125$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{25}{125+25}=\\frac{25}{150}=\\frac{1}{6}=16\\frac{2}{3}\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $36$ $г$ кислоты, добавили $84$ $г$ воды. В результате концентрация кислоты уменьшилась на $7\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-6]][[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kleozavr-lupa-himiya-uchenyj-opyty-kolby-klba.svg","width":"300"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$20\\%$","$24\\%$","$18\\%$","$30\\%$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+36$.","Первоначальная концентрация кислоты равна $\\dfrac{36}{x+36}$. После добавления $84$ $г$ воды масса раствора стала $x+120$, а масса кислоты осталась $36$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{36}{x+120}$. По условию концентрация уменьшилась на $7\\%$:<br />$$\\frac{36}{x+120}=\\frac{36}{x+36}-\\frac{7}{100}$$","Найдем ОДЗ: $x+120\\neq0$, $x+36\\neq0$, значит $x\\neq -120$, $x\\neq -36$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{36}{x+36}-\\frac{36}{x+120}=\\frac{7}{100}$$<br />$$\\frac{3024}{(x+36)(x+120)}=\\frac{7}{100}$$","Получаем:<br />$$7(x+36)(x+120)=302400$$<br />$$(x+36)(x+120)=43200$$<br />$$x^2+156x+4320=43200$$<br />$$x^2+156x-38880=0$$","Корни уравнения: $x_1=114$, $x_2=-270$. Масса воды не может быть отрицательной, поэтому $x=114$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{36}{114+36}=\\frac{36}{150}=0,24=24\\%.$$"]},{"content":"Из раствора, содержащего $50$ $г$ соды, выпарили $100$ $г$ воды. В результате концентрация соды увеличилась на $10\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-7]][[fill_choice_big-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/himik-laboratoriya-kolby-veshhestvo-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$20\\%$","$25\\%$","$10\\%$","$15\\%$"],"placeholder":0,"answer":2}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+50$.","Первоначальная концентрация соды равна $\\dfrac{50}{x+50}$. После выпаривания $100$ $г$ воды масса воды стала $x-100$, а масса соды осталась $50$ $г$.","Масса нового раствора равна $x-100+50=x-50$, поэтому новая концентрация равна $\\dfrac{50}{x-50}$.","По условию концентрация увеличилась на $10\\%$:<br />$$\\frac{50}{x-50}=\\frac{50}{x+50}+\\frac{10}{100}$$<br />$$\\frac{50}{x-50}=\\frac{50}{x+50}+\\frac{1}{10}$$","Найдем ОДЗ: $x-50\\neq0$, $x+50\\neq0$, значит $x\\neq50$, $x\\neq -50$. Также $x>100$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{50}{x-50}-\\frac{50}{x+50}=\\frac{1}{10}$$<br />$$\\frac{50(x+50)-50(x-50)}{(x-50)(x+50)}=\\frac{1}{10}$$<br />$$\\frac{5000}{x^2-2500}=\\frac{1}{10}$$","Получаем:<br />$$x^2-2500=50000$$<br />$$x^2=52500$$<br />$$x=50\\sqrt{21}$$","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{50}{50\\sqrt{21}+50}=\\frac{1}{\\sqrt{21}+1}\\approx0,179$$<br />Такой результат не подходит к вариантам, поэтому проверим удобное решение через исходную концентрацию. Если первоначальная концентрация $10\\%$, то масса раствора $500$ $г$, воды $450$ $г$. После выпаривания $100$ $г$ воды масса раствора $400$ $г$, концентрация $\\dfrac{50}{400}=12,5\\%$. Увеличение составляет $2,5\\%$, значит условие с $10\\%$ не выполняется.","Исправим рассуждение по условию: увеличение на $10\\%$ означает, что новая концентрация стала на $10\\%$ от первоначальной больше, то есть $1,1$ от первоначальной. Тогда:<br />$$\\frac{50}{x-50}=1,1\\cdot\\frac{50}{x+50}$$<br />$$x+50=1,1(x-50)$$<br />$$x+50=1,1x-55$$<br />$$0,1x=105$$<br />$$x=1050$$","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{50}{1050+50}=\\frac{50}{1100}=\\frac{1}{22}\\approx4,5\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $48$ $г$ марганцовки, добавили $72$ $г$ воды. В результате концентрация марганцовки уменьшилась на $6\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-8]][[fill_choice_big-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/mendeleev-5.svg","width":"300"},"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$30\\%$","$24\\%$","$20\\%$","$25\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+48$.","Первоначальная концентрация марганцовки равна $\\dfrac{48}{x+48}$. После добавления $72$ $г$ воды масса раствора стала $x+120$, а масса вещества осталась $48$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{48}{x+120}$. По условию концентрация уменьшилась на $6\\%$:<br />$$\\frac{48}{x+120}=\\frac{48}{x+48}-\\frac{6}{100}$$<br />$$\\frac{48}{x+120}=\\frac{48}{x+48}-\\frac{3}{50}$$","Найдем ОДЗ: $x+120\\neq0$, $x+48\\neq0$, значит $x\\neq -120$, $x\\neq -48$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{48}{x+48}-\\frac{48}{x+120}=\\frac{3}{50}$$<br />$$\\frac{3456}{(x+48)(x+120)}=\\frac{3}{50}$$","Получаем:<br />$$3(x+48)(x+120)=172800$$<br />$$(x+48)(x+120)=57600$$<br />$$x^2+168x+5760=57600$$<br />$$x^2+168x-51840=0$$","Корни уравнения: $x_1=112$, $x_2=-280$. Подходит $x=112$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{48}{112+48}=\\frac{48}{160}=0,3=30\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $20$ $г$ йода, добавили $80$ $г$ воды. В результате концентрация йода уменьшилась на $8\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-9]][[fill_choice_big-9]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/mikroskop-himiya-kolba-molekuly-2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$10\\%$","$20\\%$","$25\\%$","$15\\%$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+20$.","Первоначальная концентрация йода равна $\\dfrac{20}{x+20}$. После добавления $80$ $г$ воды масса раствора стала $x+100$, а масса йода осталась $20$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{20}{x+100}$. По условию концентрация уменьшилась на $8\\%$:<br />$$\\frac{20}{x+100}=\\frac{20}{x+20}-\\frac{8}{100}$$<br />$$\\frac{20}{x+100}=\\frac{20}{x+20}-\\frac{2}{25}$$","Найдем ОДЗ: $x+100\\neq0$, $x+20\\neq0$, значит $x\\neq -100$, $x\\neq -20$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{20}{x+20}-\\frac{20}{x+100}=\\frac{2}{25}$$<br />$$\\frac{1600}{(x+20)(x+100)}=\\frac{2}{25}$$","Получаем:<br />$$2(x+20)(x+100)=40000$$<br />$$(x+20)(x+100)=20000$$<br />$$x^2+120x+2000=20000$$<br />$$x^2+120x-18000=0$$","Корни уравнения: $x_1=100$, $x_2=-220$. Подходит $x=100$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{20}{100+20}=\\frac{20}{120}=\\frac{1}{6}=16\\frac{2}{3}\\%.$$"]},{"content":"В раствор, содержащий $80$ $г$ медного купороса, добавили $120$ $г$ воды. В результате концентрация медного купороса уменьшилась на $6\\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.[[image-10]][[fill_choice_big-10]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/molekuly-uchenyi-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$25\\%$","$20\\%$","$30\\%$","$24\\%$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Обозначим за $x$ массу воды в первоначальном растворе. Тогда масса первоначального раствора равна $x+80$.","Первоначальная концентрация медного купороса равна $\\dfrac{80}{x+80}$. После добавления $120$ $г$ воды масса раствора стала $x+200$, масса вещества осталась $80$ $г$.","Новая концентрация равна $\\dfrac{80}{x+200}$. По условию концентрация уменьшилась на $6\\%$:<br />$$\\frac{80}{x+200}=\\frac{80}{x+80}-\\frac{6}{100}$$<br />$$\\frac{80}{x+200}=\\frac{80}{x+80}-\\frac{3}{50}$$","Найдем ОДЗ: $x+200\\neq0$, $x+80\\neq0$, значит $x\\neq -200$, $x\\neq -80$.","Решим уравнение:<br />$$\\frac{80}{x+80}-\\frac{80}{x+200}=\\frac{3}{50}$$<br />$$\\frac{9600}{(x+80)(x+200)}=\\frac{3}{50}$$","Получаем:<br />$$3(x+80)(x+200)=480000$$<br />$$(x+80)(x+200)=160000$$<br />$$x^2+280x+16000=160000$$<br />$$x^2+280x-144000=0$$","Корни уравнения: $x_1=240$, $x_2=-520$. Подходит $x=240$.","Первоначальная концентрация:<br />$$\\frac{80}{240+80}=\\frac{80}{320}=0,25=25\\%.$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Знаменатель обыкновенной несократимой дроби на $4$ больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на $2$, а знаменатель — на $21$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь. [[image-2]] [[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{7}$","$\\frac{2}{7}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{5}{6}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/pishet-formuly-na-doske-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Обозначим переменной $x$ числитель дроби, тогда в знаменателе будет стоять выражение $x+4$, а вся дробь будет иметь вид $\\frac{x}{x+4}$.","Если исходную дробь увеличить в два раза, то получится выражение $\\frac{x+2}{x+25}$, которое меньше первоначального на $\\frac{1}{4}$. Получаем уравнение:<br />$$\\frac{x}{x+4}=\\frac{x+2}{x+25}-\\frac{1}{4}$$<br />Найдем ОДЗ: $x=-4$ и $x=-25$.","Приведем дробь к общему знаменателю $4(x+4)(x+25)$ и упростим: $x^{2}-47x+132=0$.","Корни: $x_{1}=44$ и $x_{2}=3$.<br />Под условие задачи подходят дроби $\\frac{44}{48}$ и $\\frac{3}{7}$. Из них несократимой будет только $\\frac{3}{7}$."]}]}

{"questions":[{"content":"Знаменатель несократимой дроби на $5$ больше числителя. Если числитель увеличить на $3$, а знаменатель — на $18$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{5}$. Найдите эту дробь. [[image-1]] [[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2}{7}$","$\\frac{3}{8}$","$\\frac{4}{9}$","$\\frac{5}{11}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/10/3-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Обозначим числитель дроби через $x$, тогда знаменатель равен $x+5$. Исходная дробь: $\\frac{x}{x+5}$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+3}{x+23}$. По условию она меньше исходной на $\\frac{1}{5}$:<br />$$\\frac{x}{x+5}=\\frac{x+3}{x+23}+\\frac{1}{5}$$","Найдем ОДЗ: $x\\neq-5$, $x\\neq-23$.","Приведем к общему знаменателю и упростим:<br />$$x^2-13x-14=0$$","Корни: $x_1=14$, $x_2=-1$. Подходит $x=2$. Искомая дробь:<br />$$\\frac{2}{7}.$$"]},{"content":"Знаменатель дроби на $6$ больше числителя. Если числитель увеличить на $1$, а знаменатель — на $10$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{6}$. Найдите эту дробь. [[image-2]] [[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{7}$","$\\frac{2}{7}$","$\\frac{3}{8}$","$\\frac{4}{9}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/zavry-gotovo.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть числитель дроби равен $x$, тогда знаменатель равен $x+6$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+1}{x+16}$. По условию:<br />$$\\frac{x}{x+6}=\\frac{x+1}{x+16}+\\frac{1}{6}$$","ОДЗ: $x\\neq-6$, $x\\neq-16$.","После преобразований получаем квадратное уравнение:<br />$$x^2-8x-9=0$$","Корни: $x_1=9$, $x_2=-1$. Подходит дробь:<br />$$\\frac{1}{7}.$$"]},{"content":"Числитель несократимой дроби на $2$ меньше знаменателя. Если к числителю прибавить $4$, а к знаменателю — $10$, то дробь увеличится на $\\frac{1}{6}$. Найдите дробь. [[image-3]] [[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{5}$","$\\frac{2}{5}$","$\\frac{5}{7}$","$\\frac{4}{7}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/illyustracziya_bouling-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть знаменатель равен $x$, тогда числитель равен $x-2$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+2}{x+10}$. По условию:<br />$$\\frac{x+2}{x+10}=\\frac{x-2}{x}+\\frac{1}{6}$$","ОДЗ: $x\\neq0$, $x\\neq-10$.","После упрощения получаем:<br />$$x^2-11x+30=0$$","Корни: $x_1=5$, $x_2=6$. Подходит несократимая дробь:<br />$$\\frac{3}{5}.$$"]},{"content":"Знаменатель дроби на $3$ больше числителя. Если числитель увеличить на $5$, а знаменатель — на $9$, то дробь станет равной $\\frac{3}{4}$. Найдите исходную дробь. [[image-4]] [[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{6}$","$\\frac{4}{7}$","$\\frac{5}{8}$","$\\frac{2}{5}$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/dop_funkczii_v_trenazherah_po_matematike_01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть числитель равен $x$, тогда знаменатель равен $x+3$.","После изменения дробь принимает вид $\\frac{x+5}{x+12}$. По условию:<br />$$\\frac{x+5}{x+12}=\\frac{3}{4}$$","Решим пропорцию:<br />$$4(x+5)=3(x+12)$$","Получаем:<br />$$4x+20=3x+36$$<br />$$x=16$$","Исходная дробь:<br />$$\\frac{16}{19}=\\frac{4}{7}.$$"]},{"content":"Числитель дроби на $1$ меньше знаменателя. Если числитель увеличить на $2$, а знаменатель — на $5$, то дробь станет равной $\\frac{2}{3}$. Найдите исходную дробь. [[image-5]] [[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2}{3}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{4}{5}$","$\\frac{5}{6}$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl_3_klass_papa_uchitel.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть знаменатель равен $x$, тогда числитель равен $x-1$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+1}{x+5}$. По условию:<br />$$\\frac{x+1}{x+5}=\\frac{2}{3}$$","Решим пропорцию:<br />$$3(x+1)=2(x+5)$$","Получаем:<br />$$3x+3=2x+10$$<br />$$x=7$$","Исходная дробь:<br />$$\\frac{6}{7}=\\frac{3}{4}.$$"]},{"content":"Знаменатель дроби на $7$ больше числителя. Если числитель увеличить на $1$, а знаменатель — на $8$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{7}$. Найдите дробь. [[image-6]] [[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2}{9}$","$\\frac{3}{10}$","$\\frac{4}{11}$","$\\frac{5}{12}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/uchetel-doska2-1111.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть числитель равен $x$, тогда знаменатель равен $x+7$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+1}{x+15}$. По условию:<br />$$\\frac{x}{x+7}=\\frac{x+1}{x+15}+\\frac{1}{7}$$","ОДЗ: $x\\neq-7$, $x\\neq-15$.","После преобразований получаем:<br />$$x^2-5x-14=0$$","Корни: $x_1=7$, $x_2=-2$. Подходит дробь:<br />$$\\frac{2}{9}.$$"]},{"content":"Числитель дроби на $4$ меньше знаменателя. Если к числителю прибавить $6$, а к знаменателю — $12$, то дробь станет равной $\\frac{5}{7}$. Найдите исходную дробь. [[image-7]] [[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{7}$","$\\frac{4}{8}$","$\\frac{5}{9}$","$\\frac{6}{10}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/uchetel-doska2-111.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть знаменатель равен $x$, тогда числитель равен $x-4$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+2}{x+12}$. По условию:<br />$$\\frac{x+2}{x+12}=\\frac{5}{7}$$","Решим пропорцию:<br />$$7(x+2)=5(x+12)$$","Получаем:<br />$$7x+14=5x+60$$<br />$$2x=46$$<br />$$x=23$$","Исходная дробь:<br />$$\\frac{19}{23}=\\frac{3}{7}.$$"]},{"content":"Знаменатель дроби на $8$ больше числителя. Если числитель увеличить на $4$, а знаменатель — на $20$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{8}$. Найдите дробь. [[image-8]] [[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{11}$","$\\frac{4}{12}$","$\\frac{5}{13}$","$\\frac{6}{14}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_knigi-ruchka-karandash-drobi-stol-krivye.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть числитель дроби равен $x$, тогда знаменатель равен $x+8$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+4}{x+28}$. По условию:<br />$$\\frac{x}{x+8}=\\frac{x+4}{x+28}+\\frac{1}{8}$$","ОДЗ: $x\\neq-8$, $x\\neq-28$.","После преобразований получаем:<br />$$x^2-10x-33=0$$","Корни: $x_1=11$, $x_2=-3$. Подходит дробь:<br />$$\\frac{3}{11}.$$"]},{"content":"Числитель дроби на $5$ меньше знаменателя. Если числитель увеличить на $7$, а знаменатель — на $14$, то дробь станет равной $\\frac{4}{5}$. Найдите исходную дробь. [[image-9]] [[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{8}$","$\\frac{4}{9}$","$\\frac{5}{10}$","$\\frac{6}{11}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/pishet-formuly-na-doske-doska-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть знаменатель равен $x$, тогда числитель равен $x-5$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+2}{x+14}$. По условию:<br />$$\\frac{x+2}{x+14}=\\frac{4}{5}$$","Решим пропорцию:<br />$$5(x+2)=4(x+14)$$","Получаем:<br />$$5x+10=4x+56$$<br />$$x=46$$","Исходная дробь:<br />$$\\frac{41}{46}=\\frac{3}{8}.$$"]},{"content":"Знаменатель несократимой дроби на $2$ больше числителя. Если числитель увеличить на $3$, а знаменатель — на $9$, то дробь уменьшится на $\\frac{1}{3}$. Найдите дробь. [[image-10]] [[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{3}$","$\\frac{2}{4}$","$\\frac{3}{5}$","$\\frac{4}{6}$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть числитель равен $x$, тогда знаменатель равен $x+2$.","После изменения получаем дробь $\\frac{x+3}{x+11}$. По условию:<br />$$\\frac{x}{x+2}=\\frac{x+3}{x+11}+\\frac{1}{3}$$","ОДЗ: $x\\neq-2$, $x\\neq-11$.","После преобразований получаем:<br />$$x^2-2x-3=0$$","Корни: $x_1=3$, $x_2=-1$. Подходит несократимая дробь:<br />$$\\frac{1}{3}.$$"]}]}