Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Мы уже разобрались с тем, что такое дробные рациональные уравнения, узнали, как их решать и как находить ОДЗ для них. В этом уроке подробнее остановимся на решении задач с помощью дробных рациональных уравнений и на примере убедимся, как алгебра может пригодиться нам в реальной жизни.
Чем различаются задачи на дробные рациональные уравнения
Мы будем применять дробные рациональные уравнения при решении тех задач, в которых сравниваются характеристики и свойства разных предметов, явлений, чисел или даже существ.
Дробные рациональные уравнения будут нужны для того, чтобы с помощью подсчетов выбрать самый быстрый или самый медленный вариант, узнать концентрацию раствора, вычислить производительность труда и так далее.
Алгоритм решения задач
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений происходит поэтапно. Сейчас мы пошагово разберем решение задачи на конкретном примере.
Катер прошел по течению $120$ $км$. На этот же путь против течения от потратил времени в $1,5$ раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде равна $20$ $км/ч$.
Шаг 1. Определяем, что принять за переменную
В первую очередь необходимо определить, какую из величин мы примем за переменную. Обычно переменной обозначают ту величину или параметр, с которым сравнивают. Обозначить переменную можно любой буквой.
В данном случае идет сравнение скорости катера со скоростью течения, поэтому обозначим скорость течения за $x$.
Шаг 2. Составляем математическую модель
Следующим шагом станет составление математической модели на базе имеющихся данных. Для наглядности составим и заполним таблицу.
| Скорость, $км/ч$ | Время, $ч$ | Расстояние, $км$ | |
| По течению | $20+x$ | $\frac{120}{20+x}$ | $120$ |
| Против течения | $20-x$ | $\frac{120}{20-x}$ | $120$ |
Из условия задачи нам известно, что время, затраченное на дорогу против течения было в $1,5$ раза больше времени, затраченного на дорогу по течению. Отразим это в нашей математической модели, обозначив время по течению $t_{1}$, а время против течения $t_{2}$:
$$1,5\cdot t_{1}=t_{2}$$
Подставим известные нам значения из таблицы.
$1,5\cdot \frac{120}{20+x}=\frac{120}{20-x}$.
Поскольку в знаменателе дроби в левой и правой части уравнения стоит одно и то же число — $120$, мы можем разделить на него обе части для упрощения дальнейших вычислений.
Шаг 3. Решаем уравнение
После того, как мы разделили дроби в обеих частях уравнения на $120$, получим уравнение в следующем виде: $$\frac{1,5}{20+x}=\frac{1}{20-x}$$
Не забывайте, что на данном этапе необходимо найти ОДЗ уравнения.
$20+x=0$ и $20-x=0$
Значит $x_{1}=20$, $x_{2}=-20$
Теперь решим пропорцию.
$1,5(20-x)=20+x$
$30-1,5x=20+x$
$2,5x=10$
$x=4$
Этот ответ удовлетворяет ОДЗ. Значит, скорость течения (которую мы обозначали за $x$) равна $4$ $км/ч$.
Ответ: $4$ $км/ч$.
Практика
Задача № 1. Концентрация раствора
В раствор, содержащий $50$ $г$ соли, добавили $150$ $г$ воды. В результате концентрация соли уменьшилась на $7,5\%$. Найдите первоначальную концентрацию раствора.
Показать решение
Скрыть
Обозначим за $x$ массу воды. Концентрацию соли выразим через отношение массы соли в растворе к массе раствора.
| Вода, $г$ | Соль, $г$ | Концентрация соли | |
| Первонач. раствор | $x$ | $50$ | $\frac{50}{x+50}$ |
| Полученный раствор | $x+150$ | $50$ | $\frac{50}{x+50+150}$ |
Учитывая, что концентрация полученного раствора уменьшилась на $7,5\%$, составим математическую модель:
$\frac{50}{x+50+150}=\frac{50}{x+50}-\frac{7,5}{100}$
$\frac{50}{x+200}=\frac{50}{x+50}-\frac{3}{40}$
Найдем ОДЗ: $x+200=0$ и $x+50=0$, тогда $x_{1}=-200$ и $x_{2}=-50$.
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение.
$2000\cdot(x+50)=2000\cdot(x+200)-3(x+50)\cdot(x+200)$
$2000x+100\space000=2000x+400\space000-3(x^{2}+250x+10\space000)$
$300\space000-3x^{2}-750x-30\space000=0$
$3x^{2}+750x-270\space000=0$
$x^{2}+250x-90\space000=0$
Решим с помощью дискриминанта:
$D=250^{2}+4\cdot90\space000=62\space500+360\space000=422\space500$
$\textcolor{coral}{x_{1}}=\frac{-250-650}{2}=-450$ и $\textcolor{darkgreen}{x_{2}}=\frac{-250+650}{2}=200$
Из полученных корней нам подходит только $200$, ведь масса не может быть отрицательной.
Тогда первоначальная концентрация раствора будет: $\frac{50}{200+50}=0,2$ или $20\%$.
Ответ: первоначальная концентрация соли в растворе составляет $20\%$.
Задача № 2. Задача на действие с числами
Знаменатель обыкновенной несократимой дроби на $4$ больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на $2$, а знаменатель — на $21$, то дробь уменьшится на $\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь.
Показать решение
Скрыть
Обозначим переменной $x$ числитель дроби, тогда в знаменателе будет стоять выражение $x+4$, а вся дробь будет иметь вид $\frac{x}{x+4}$. Кроме того, мы знаем, что если исходную дробь увеличить в два раза, то получится выражение $\frac{x+2}{x+25}$, которое меньше первоначального на $\frac{1}{4}$.
Таким образом, получаем уравнение:
$\frac{x}{x+4}=\frac{x+2}{x+25}-\frac{1}{4}$
Найдем ОДЗ: $x=-4$ и $x=-25$.
Приведем дробь к общему знаменателю $4(x+4)(x+25)$ и упростим.
После этого выражение примет такой вид: $x^{2}-47x+132=0$.
Корни квадратного уравнения будут следующими: $x_{1}=44$ и $x_{2}=3$.
Под условие задачи с учетом полученных данных подходят дроби $\frac{44}{48}$ и $\frac{3}{7}$. Из них несократимой будет только $\frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$.
Задача № 3. Расчет производительности труда
Две мастерские должны были пошить $96$ курток. Первая мастерская шила в день на четыре куртки больше, чем вторая, и поэтому выполнила задание на два дня раньше. Сколько курток в день шила каждая мастерская?
Показать решение
Скрыть
Обозначим переменной $x$ количество курток, которое в день шила вторая мастерская. Тогда первая шила в день $x+4$ курток.
$\frac{96}{x}-\frac{96}{x+4}=2$
Найдем ОДЗ: $x=0$ и $x=-4$
$96(x+4)-96x=2x\cdot(x+4)$
$96x+384-96x=2x^{2}+8x$
$2x^{2}+8x-384=0$
$x^{2}-4x-192=0$
$x=\frac{-4+\sqrt784}{2}$
$x=\frac{-4+28}{2}$
$x=12$
Значит, вторая мастерская шила $12$ курток в день. Тогда первая мастерская шила $12+4=16$ курток в день.
Ответ: первая мастерская шила $16$ курток в день, а вторая — $12$.
Часто задаваемые вопросы
Это уравнение, которое позволяет математически представить ситуацию, описанную в задаче.
Да, поскольку решение производится с помощью дробно-рационального уравнения. В дроби знаменатель не должен быть равен нулю. Если найденные корни будут превращать знаменатель дроби в ноль, они не подойдут для решения.
Задачи на сопоставление производительности труда, чисел, скорости, времени и других величин, которые можно сравнить между собой.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти