Дробные рациональные уравнения

В 7 классе вы уже работали с целыми выражениями. Теперь настало время узнать секреты дробно-рациональных выражений, научиться решать их и применять знания в жизни.

Что такое дробные рациональные уравнения

Дробное рациональное уравнение — это уравнение, в левой или правой части которого (или в обеих) стоят дробные выражения.

Слово «рациональное» означает, что в числителе и/или знаменателе дроби будет стоять многочлен.

{"questions":[{"content":"Найдите среди приведенных выражений дробное рациональное.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{2x}{9}$","$4a-\\frac{b}{3a-4}$","$3x^{2}y$","$(a-b)\\cdot(a^{2}-b^{2})$"],"explanations":["В знаменателе дроби стоит не многочлен, а число.","","Выражение не содержит действия деления.","Выражение не содержит действия деления."],"answer":[1]}}}]}

Область допустимых значений и зачем она нужна

Итак, при решении каждого дробного рационального выражения нам нужно будет искать область допустимых значений для него.

Область допустимых значений (ОДЗ) — это набор значений переменной, при котором дробь будет иметь значение.

Дробь будет иметь значение тогда, когда выражение в ее знаменателе не будет равно нулю. Это важно, поскольку в школьном курсе математики на ноль делить нельзя.

{"questions":[{"content":"Каким должна быть ОДЗ дробного рационального выражения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Любые числа, кроме отрицательных.","Любые числа, кроме положительных.","ОДЗ не должна допускать превращения знаменателя в $0$."],"explanations":["В область допустимых значений выражения могут входить как положительные, так и отрицательные корни уравнения, а также равные нулю.","В область допустимых значений выражения могут входить как положительные, так и отрицательные корни уравнения, а также равные нулю.","Важно, чтобы значение всего выражения в знаменателе дроби (вне зависимости от того, какое число стоит в корне) не равнялось нулю."],"answer":[2]}}}]}

Практика

Решите дробное рациональное уравнение:

$\frac{x+2}{x^{2}-2x}-\frac{x}{x-2}=\frac{3}{x}$

Помните, что мы рассматриваем решения уравнения как точки пересечения оси $у$ на графике функции $y=F(x)$. При решении уравнения нам надо найти такие значения $x$, при которых y будет равен $0$, и прямая будет пересекать ось $y$ в обозначенной точке.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых $y=0$, перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и приведем дробь к общему знаменателю $x(x-2)$.

$\frac{x+2}{x(x-2)}-\frac{x \cdot x}{x(x-2)}-\frac{3 \cdot (x-2)}{x(x-2)}=0$

Выражение будет иметь смысл тогда, когда знаменатель дроби $x(x-2)$ будет не равным нулю. Для того чтобы определить точки, которые не могут существовать на графике, решим уравнение, находящееся в знаменателе дроби.

$\textcolor{darkgreen}{x=0}$

$\textcolor{purple}{x-2=0}$

Таким образом, $\textcolor{darkgreen}{x_{1}=0}$ и $\textcolor{purple}{x_{2}=2}$. Это значит, что полученные при решении уравнения корни не должны равняться $0$ и $2$.

Теперь, когда мы определили ОДЗ для знаменателя, решим уравнение в числителе, приравняв его к нулю.

$x+2-x^{2}-3(x-2)=0$

$x+2-x^{2}-3x+6=0$

$-x^{2}-2x+8=0$

Умножим это выражение на $–1$ и поменяем знаки слагаемых.

$x^{2}+2x-8=0$

Согласно обратной теореме Виета:

$x_{1}+x_{2}=-2$

$x_{1} \cdot x_{2} =-8$

Таким образом, $x_{1}=2$ и $x_{2}=-4$.

Вернемся к ОДЗ. Наше дробное рациональное уравнение не будет иметь смысла при значениях $x$, равных $0$ и $2$. Это значит, что из найденных корней первый не подходит.

Ответ: $x=-4$.

{"questions":[{"content":"Сколько корней может быть у дробного рационального уравнения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только один.","Только два.","Зависит от уравнения и ОДЗ."],"explanations":["Количество возможных корней зависит от самого уравнения и от того, сколько корней подходит под ОДЗ.","Количество возможных корней зависит от самого уравнения и от того, сколько корней подходит под ОДЗ.",""],"answer":[2]}}}]}

Практическая задача

Как нам в жизни может пригодиться умение решать дробные рациональные уравнения? Сейчас увидим магию уравнений в действии, решив практическую задачу.

Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму по изготовлению деталей за $8$ часов. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на $12$ часов меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый на выполнение нормы?

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Сколько часов тратит на выполнение нормы мастер, а сколько — ученик?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$ и $24$ ч.","$13$ и $25$ ч.","$1$ и $13$ ч.","$24$ и $36$ ч."],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы