Дробные рациональные уравнения

Итак, мы уже изучили, что такое дробные рациональные уравнения, научились решать их и узнали, как применять полученные знания на практике. Тест позволит закрепить полученные знания, вспомнить об особенностях таких уравнений и важности ОДЗ, а также еще раз потренироваться решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какие признаки отличают дробные рациональные уравнения от других выражений?[[choice-1]][[image-41]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В правой и/или левой части уравнения стоит дробь. В числителе и/или знаменателе дроби стоит многочлен.","В уравнении встречается хотя бы один знак деления.","Наличие дроби, в знаменателе которой стоит переменная.","Один из корней уравнения обязательно равен нулю."],"explanations":["","Одного знака деления недостаточно. Это должно быть действие с многочленами, а не только с числами.","Одной переменной недостаточно. В числителе и/или знаменателе дроби должны стоять многочлены.","Это необязательное условие. Корни уравнения могут быть положительными, отрицательными или равными нулю."],"answer":[0]},"image-41":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/plyazh-internet-afrika-noutbuk-01.svg","width":"300"}}},{"content":"Для чего нужна область допустимых значений (ОДЗ)?[[choice-9]][[image-94]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Для того, чтобы исключить корни уравнения, при которых знаменатель дроби будет равен $0$, и дробь не будет иметь смысла.","Для того, чтобы найти корни уравнения.","Для того, чтобы узнать, при каких корнях уравнения числитель дроби будет равен $0$.","Для того, чтобы узнать, при каких корнях уравнения значение выражения будет равно $0$."],"explanations":["","Корни уравнения могут отличаться от значений ОДЗ.","ОДЗ показывает, при каких значениях переменной знаменатель дроби будет равен $0$.",""],"answer":[0]},"image-94":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii-05.svg","width":"300"}}},{"instruction":"Решите дробное рациональное уравнение","content":"$\\frac{3}{x-19}=\\frac{19}{x-3}$[[fill_choice_big-51]]","widgets":{"fill_choice_big-51":{"type":"fill_choice_big","options":["$x=22$","$x=3$","$x=19$","$x=-19$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Найдем ОДЗ: $x=19$ и $x=3$.<br />Решим уравнение методом пропорции.<br />$3(x-3)=19(x-19)$<br />$16x=352$<br />$x=22$<br />Корень $22$ соответствует ОДЗ."],"id":"0"},{"instruction":"Решите дробное рациональное уравнение","content":"$\\frac{x-11}{x-6}=\\frac{11}{16}$[[fill_choice_big-90]]","widgets":{"fill_choice_big-90":{"type":"fill_choice_big","options":["$x=22$","$x=11$","$x=6$","$x=-16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем ОДЗ: $x=6$.<br />Решим уравнение методом пропорции.<br />$16(x-11)=11(x-6)$<br />$5x=110$<br />$x=22$<br />Корень $22$ соответствует ОДЗ."],"id":"0"},{"instruction":"Решите дробное рациональное уравнение","content":"$\\frac{3x^{2}+2x-1}{x+1}=5$[[choice-87]]","widgets":{"choice-87":{"type":"choice","options":["$x=2$","$x_{1}=-1$, $x_{2}=2$","$x=-1$","$x=-5$"],"explanations":["Только корень $2$ соответствует ОДЗ.","Корень $-1$ не соответствует ОДЗ.","Корень $-1$ не соответствует ОДЗ.",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдем ОДЗ: $x=-1$.<br />Умножим все выражение на $x+1$, чтобы сократить знаменатель.<br />$3x^{2}+2x-1=5(x+1)$<br />$3x^{2}+2x-1=5x+5$<br />$3x^{2}-3x-6=0$<br />Упростим. Разделим уравнение на $3$.<br />$x^{2}-2-2=0$<br />Получаем два корня:<br />$x_{1}=-1$ <br />$x_{2}=2$","Корень $-1$ не соответствует ОДЗ, поэтому единственным корнем уравнения является $2$."],"id":"1"},{"instruction":"Решите дробное рациональное уравнение","content":"$\\frac{x}{x-2}-\\frac{7}{x+2}=\\frac{8}{x^{2}-4}$[[choice-168]]","widgets":{"choice-168":{"type":"choice","options":["$x=3$","$x=2$","$x_{1}=2$, $x_{2}=3$","$x=7$"],"explanations":["Только корень $3$ соответствует ОДЗ.","Корень $2$ не соответствует ОДЗ.","Корень $2$ не соответствует ОДЗ.",""],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Найдем ОДЗ.<br />$x=2$<br />$x=-2$<br />Общим знаменателем дробей будет $(x-2)(x+2)$, поскольку $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$.<br />Умножим каждый из членов выражения на общий знаменатель.<br />$\\frac{x(x-2)(x+2)}{x^{2}-4}-\\frac{7(x-2)(x+2)}{x^{2}-4}=\\frac{8(x-2)(x+2)}{x^{2}-4}$","После сокращения приведем подобные слагаемые.<br />$x(x+2)-7(x-2)=8$<br />$x^{2}+2x-7x+14=8$<br />$x^{2}-5x+6=0$<br />Корни уравнения будут следующими:<br />$x_{1}=2$<br />$x_{2}=3$","Корень $2$ не соответствует ОДЗ. Поэтому единственным корнем уравнения является $3$."],"id":"1"},{"content":"Пристани $A$ и $B$ расположены на реке. Скорость течения на участке реки между пристанями равна $3$ $км/ч$. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью $8$ $км/ч$. Найдите собственную скорость лодки.[[fill_choice_big-251]][[image-165]]","widgets":{"fill_choice_big-251":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$ $км/ч$","$11$ $км/ч$","$5$ $км/ч$","$24$ $км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-165":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/11/impuls11-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть $x$ $км/ч$ — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению будет равна $x+3$ $км/ч$, а скорость против течения будет равна $x-3$ $км/ч$. <br />Расстояние между пристанями примем равным $1$.","Составим и решим уравнение.<br />По условию средняя скорость равна $8$ $км/ч$, а путь туда и обратно будет $1+1=2$.<br />$\\big(\\frac{1}{x+3}+\\frac{1}{x-3}\\big)\\cdot8=2$<br />Найдем ОДЗ: $x=3$ и $x=-3$.<br />Разделим обе части на $8$.<br />$\\frac{1}{x+3}+\\frac{1}{x-3}=\\frac{1}{4}$<br />Приведем выражения в левой части к общему знаменателю $x^{2}-9$.<br />$\\frac{x-3+x+3}{x^{2}-9}=\\frac{1}{4}$<br />$x^{2}-9=8x$<br />$x^{2}-8x-9=0$<br />Получаем корни $x_{1}=9$ и $x_{2}=-1$. <br />Второй корень не подходит под условие задачи: скорость не может быть отрицательной. <br />Ответ: $9$ $км/ч$."],"id":"2"},{"content":"Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$. Расстояние между городами равно $70$ $км$. На следующий день он отправился обратно в город $A$, и на этот раз его скорость была на $3$ $км/ч$ больше, чем накануне. По дороге обратно велосипедист сделал остановку на $3$ часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$. Найдите скорость велосипедиста на обратном пути.[[fill_choice_big-358]][[image-226]]","widgets":{"fill_choice_big-358":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$ $км/ч$","$7$ $км/ч$","$3$ $км/ч$","$4$ $км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-226":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/obrazavr-na-velosipede.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть $x$ $км/ч$ — скорость велосипедиста на обратном пути, из города $B$ в город $A$. Тогда скорость на пути туда, из $A$ в $B$, будет равна $x-3$ $км/ч$.<br />Сделав на обратном пути остановку на $3$ часа, велосипедист потратил на обратный путь столько же времени. Это позволит нам составить уравнение.","Приравняем время, затраченное на путь туда ко времени, затраченному на путь обратно.<br />$3+\\frac{70}{x}=\\frac{70}{x-3}$<br />$\\frac{70+3x}{x}=\\frac{70}{x-3}$<br />Найдем ОДЗ: $x=0$ и $x=3$.<br />Решим уравнение методом пропорции.<br />$70x=70x-210+3x^{2}-9x$<br />$3x^{2}-9x-210=0$<br />Сократим уравнение на $3$.<br />$x^{2}-3x-70=0$<br />Получаем корни $x_{1}=10$ $x_{2}=-7$.<br />Второй корень не подходит под условие задачи.<br />Ответ: скорость велосипедиста на обратном пути была равна $10$ $км/ч$."],"id":"2"},{"content":"Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на $12$ вопросов теста, а Саша — на $22$. Мальчики начали решать тест одновременно, и Дима закончил работу позже Саши на $75$ минут. Сколько вопросов содержит тест?[[fill_choice_big-485]][[image-291]]","widgets":{"fill_choice_big-485":{"type":"fill_choice_big","options":["$33$","$150$","$48$","$75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-291":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/phase-3-final-v2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть $x$ — количество вопросов в тесте.<br />Тогда время, которое Дима тратит на решение теста, равно $\\frac{x}{12}$ часа. Саша тратит на решение теста $\\frac{x}{22}$ часа.<br />Время Димы больше на $75$ минут, или на $\\frac{5}{4}$ часа.","Составим и решим уравнение.<br />$\\frac{x}{12}-\\frac{x}{22}=\\frac{5}{4}$<br />Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $132$.<br />$\\frac{5x}{132}=\\frac{5}{4}$<br />$x=\\frac{132}{4}$<br />$x=33$.<br />Значит, тест содержит $33$ вопроса."],"id":"3"},{"content":"Три бригады изготовили вместе $248$ деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в $4$ раза больше, чем первая, и на $5$ деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада по сравнению с первой?[[fill_choice_big-579]][[image-343]]","widgets":{"fill_choice_big-579":{"type":"fill_choice_big","options":["На $86$ деталей","На $200$ деталей","На $48$ деталей","На $43$ деталей"],"placeholder":0,"answer":0},"image-343":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/shestirenka-01-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть $x$ — количество деталей, изготовленных второй бригадой. Тогда первая бригада изготовила $\\frac{x}{4}$, а третья бригада изготовила $x+5$ деталей. <br />Вместе три бригады изготовили $248$ деталей.","Составим и решим уравнение.<br />$x+\\frac{x}{4}+x+5=248$<br />Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $4$.<br />$\\frac{9x}{4}=248-5$<br />$\\frac{9x}{4}=243$<br />$x=108$","Получается, вторая бригада изготовила $108$ деталей. Значит, первая бригада изготовила $\\frac{108}{4}=27$ деталей.<br />Третья бригада изготовила $108+5=113$ деталей.<br />Посчитаем разность между количеством деталей, изготовленных третьей и первой бригадами.<br />$113-27=86$<br />Ответ: на $86$ деталей больше."],"id":"3"},{"content":"Первый сплав содержит $5\\%$ меди, второй — $13\\%$ меди. Масса второго сплава больше массы первого на $4$ $кг$. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $10\\%$ меди. Найдите массу третьего сплава.[[fill_choice_big-759]][[image-434]]","widgets":{"fill_choice_big-759":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$ $кг$","$8$ $кг$","$14$ $кг$","$6$ $кг$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-434":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kuznecz-pech-pechka-ogon-1.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Пусть масса первого сплава равна $x$ $кг$. Тогда масса второго сплава будет равна $(x+4)$ $кг$, а третьего — $(2x+4)$ $кг$.<br />При таком условии в первом сплаве содержится $0,05x$ $кг$ меди, а во втором — $0,13(x+4)$ $кг$. В третьем сплаве содержится $0,1(2x+4)$ $кг$ меди. <br />","Составим и решим уравнение.<br />$0,05x+0,13(x+4)=0,1(2x+4)$<br />$0,18x+0,52=0,20x+0,40$<br />$0,12=0,02x$<br />$x=6$<br />Значит, масса первого сплава равна $6$ $кг$, масса второго сплава: $6+4=10$ $кг$, а масса третьего сплава: $10+6=16$ $кг$.<br />Ответ: $16$ $кг$."],"id":"4"},{"content":"Мы смешали некоторое количество раствора вещества концентрацией $10\\%$ с такой же порцией раствора этого же вещества. Концентрация второй порции раствора составляет $12\\%$. Какова концентрация раствора, полученного при смешении первых двух?[[fill_choice_big-1088]][[image-473]]","widgets":{"fill_choice_big-1088":{"type":"fill_choice_big","options":["$11\\%$","$33\\%$","$14\\%$","$25\\%$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-473":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/uchenyi-himik-01.svg","width":"300"}},"hints":["Массу вещества в растворе обозначим как $x$ $г$.<br />Тогда в первом растворе содержится $0,1x$ $г$ вещества, а во втором — $0,12x$ $г$.<br />Концентрация раствора — это масса вещества, разделенная на массу всего раствора.","Составим и решим выражение.<br />$\\frac{0,1x+0,12x}{x+x}=\\frac{0,22x}{2x}=0,11$<br />Согласно ОДЗ, $x=0$.<br />Таким образом, ответ $0,11$ удовлетворяет ОДЗ.<br />Тогда концентрация раствора, полученного при смешении первых двух, будет равна $11\\%$."],"id":"4"}]}</textarea></pre></div>