ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его график
В этом уроке мы познакомимся с нелинейными уравнениями с двумя переменными и узнаем, как определять их степень.
Решение уравнения
В 7 классе вы уже встречались с линейными уравнениями с двумя переменными. Линейное уравнение можно представить в виде функции, где $y$ выражен через $x$: $$y=kx+b\text{,}$$ где $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком такой функции является прямая.
В этой главе мы научимся решать нелинейные уравнения с двумя переменными. Решение нелинейного уравнения с двумя переменными в общем случае определяется так:
Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел, при подстановке которой получается верное равенство. В этом случае говорят, что пара чисел удовлетворяет уравнению.
Если решения нескольких уравнений совпадают, то уравнения — равносильные.
Графики нелинейных уравнений с двумя переменными могут выглядеть очень по-разному. Например, график квадратичной функции — парабола, а обратной пропорциональности — гипербола.
Как вы думаете, каким будет график уравнения $(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3$?
Этим уравнением математика признается в любви.
Практика
Задача
Является ли пара чисел $(\sqrt{22},-6)$ решением уравнения
$$x^2+y^2=58\text{?}$$
Показать решение
Скрыть
Подставим числа в уравнение и проверим выполнение равенства: $$(\sqrt{22})^2+(-6)^2=58$$ $$22+36=58$$ $$58=58$$
Равенство выполняется, значит, пара чисел $(\sqrt{22},-6)$ — решение уравнения $x^2+y^2=58$.
Определение степени уравнения
Чтобы определить степень уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так, чтобы в одной части от знака равенства оказался многочлен стандартного вида, а в другой — $0$. Степень уравнения будет равна степени этого многочлена.
Вспомним из курса 7 класса: степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в него. Если в одночлене есть произведение переменных, то их степени складываются.
Практика
Задача
Определите степень уравнения
$$(x-2y)^2-x^2=4y(y-x)+5x.$$
Показать решение
Скрыть
Раскроем скобки и упростим уравнение: $$\cancel{x^2}-2\cdot2xy+(2y)^2-x^2=4y^2-4xy+5x;$$ $$\cancel{-4xy}+\cancel{4y^2}-\cancel{4y^2}+\cancel{4xy}-5x=0;$$ $$-5x=0.$$
В результате упрощения остался одночлен первой степени. Значит, уравнение тоже первой степени.
Часто задаваемые вопросы
Степень уравнения помогает оценить количество решений и понять, каким будет график. Например, уравнение второй степени часто задает параболу, а уравнение первой степени — прямую.
Это одночлен нулевой степени.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти