Карточки
Тесты
Зави
Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его график
В этом уроке разберем, что называется решением и графиком уравнения с двумя переменными, и научимся определять степень уравнения, заданного многочленами.
Решение уравнения
В 7 классе вы уже встречались с линейными уравнениями с двумя переменными. Если коэффициент при $y$ не равен нулю, можно выразить $y$ через $x$ и получить функцию $$y=kx+b\text{,}$$ где $k$ и $b$ — некоторые числа. Ее график — прямая. Уравнение вида $x=a$ тоже задает прямую, но выразить из него $y$ через $x$ нельзя.
Теперь рассмотрим и нелинейные уравнения с двумя переменными. Сначала уточним, что называют решением такого уравнения:
Решением уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ называется упорядоченная пара чисел $(x;y)$, при подстановке которой получается верное равенство. Первое число подставляют вместо $x$, второе — вместо $y$. В этом случае говорят, что пара чисел удовлетворяет уравнению.
Два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают: каждое решение одного уравнения является решением другого и наоборот.
График уравнения с двумя переменными — это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Например, график уравнения $y=x^2$ — парабола, а уравнения $xy=1$ — гипербола.
Как вы думаете, каким будет график уравнения $(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3$?
Этим уравнением математика признается в любви.
Практика
Задача
Является ли пара чисел $(\sqrt{22},-6)$ решением уравнения
$$x^2+y^2=58\text{?}$$
Показать решение
Скрыть
Подставим числа в уравнение и проверим выполнение равенства: $$(\sqrt{22})^2+(-6)^2=58$$ $$22+36=58$$ $$58=58$$
Равенство выполняется, значит, пара чисел $(\sqrt{22},-6)$ — решение уравнения $x^2+y^2=58$.
Определение степени уравнения
Рассмотрим уравнения, в обеих частях которых стоят многочлены. Чтобы определить степень такого уравнения с двумя переменными, нужно перенести все слагаемые в одну часть и привести подобные. Получится многочлен стандартного вида, равный $0$. Если многочлен ненулевой, степень уравнения равна его степени.
Вспомним из курса 7 класса: степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в него. Если в одночлене есть произведение переменных, то их степени складываются.
Практика
Задача
Определите степень уравнения
$$(x-2y)^2-x^2=4y(y-x)+5x.$$
Показать решение
Скрыть
Раскроем скобки и упростим уравнение: $$x^2-4xy+4y^2-x^2=4y^2-4xy+5x;$$ $$\cancel{-4xy}+\cancel{4y^2}-\cancel{4y^2}+\cancel{4xy}-5x=0;$$ $$-5x=0.$$
В результате упрощения остался одночлен первой степени. Значит, уравнение тоже первой степени.
Часто задаваемые вопросы
В общем случае нет. Например, уравнение $x^2+y^2=0$ имеет единственное решение $(0;0)$, а уравнение $x^2+y^2=1$ — бесконечно много решений. Оба уравнения второй степени.
Если это ненулевое число, его степень равна нулю. Например, степень одночлена $-1$ равна нулю. Степень нулевого многочлена не определяют.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий