Алгебраический способ решения систем уравнений
Мы научились решать системы, в которых одно или оба уравнения — нелинейные, с помощью графического способа. Он позволяет быстро оценить число решений и найти их приближенные значения. А в этом уроке мы рассмотрим алгебраический способ решения систем уравнений, который помогает находить точные значения корней.
Решение систем уравнений, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй
Для решения систем линейных уравнений мы использовали метод подстановки. Он подходит и для систем, в которых одно уравнение первой степени, а другое — второй.
Интересный факт
Методы подстановки и приведения к одному неизвестному появились еще в XVII веке, в работах Рене Декарта и Франсуа Виета. Именно они заложили основы алгебраического подхода к решению систем уравнений, который позволил перейти от приближенных значений к точным вычислениям.
Вспомним: чтобы решить систему с двумя переменными методом подстановки, нужно выразить одну переменную из одного уравнения и подставить ее в другое.
В системе, где одно уравнение — первой степени, а другое — второй, переменную удобнее выразить из уравнения первой степени и подставить в уравнение второй степени. Затем решить полученное уравнение с одной переменной.
Практика
Пример
Решите систему уравнений
$$\left\{\begin{aligned}y-x&=1,\\x^2+y^2&=5.\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
Из уравнения первой степени выразим $y$ через $x$:
$$y=x+1.$$
Заменим в уравнении второй степени $y$ на $x+1$:
$$x^2+(x+1)^2=5.$$
Применим формулу квадрата суммы и перенесем свободный член — $5$ в левую часть:
$$x^2+x^2+2x+1-5=0;$$
$$2x^2+2x-4=0.$$
$$x^2+x-2=0.$$
Решим приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-1,$$
$$x_1\cdot x_2=-2;$$
$$x_1=1,\;x_2=-2.$$
Система будет иметь два решения. Подставим значения $x_1$ и $x_2$ в уравнение первой степени и найдем $y_1$ и $y_2$:
$$\left\{\begin{aligned}x_1&=1,\\y_1&=2;\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}x_2&=-2,\\y_2&=-1.\end{aligned}\right.$$
Решение систем уравнений, в которых оба уравнения — второй степени
Решение таких систем может быть очень сложным. Поэтому мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи, которые можно решить способами подстановки или сложения.
Для систем с уравнениями второй степени способ сложения работает так же, как и для систем с линейными уравнениями. При необходимости подбирают множители, чтобы коэффициенты при одной переменной стали равны по величине, но с противоположными знаками. Затем складывают левую и правую части уравнений.
Практика
Пример
Решите систему уравнений
$$\left\{\begin{aligned}3x^2-2y&=1,\\2x^2-y^2&=1.\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $-3$:
$$\left\{\begin{aligned}6x^2-4y&=2,\\-6x^2+3y^2&=-3.\end{aligned}\right.$$
Сложим левые и правые части уравнений системы:
$$3y^2-4y=-1;$$
$$3y^2-4y+1=0.$$
Решим квадратное уравнение по формуле корней квадратного уравнения.
Найдем дискриминант:
$$D=b^2-4ac=16-4\cdot3\cdot1=16-12=4.$$
$D>0$, значит, уравнение имеет два решения.
Найдем корни уравнения:
$$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot3}=\frac{6}{6}=1;$$
$$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot3}=\frac{1}{3}.$$
Выразим $x$ из второго уравнения системы:
$$2x^2=1+y^2;$$
$$x=\pm\sqrt{\frac{1+y^2}{2}}.$$
Каждому значению $y$ соответствуют два значения $x$, противоположные по знаку. Таким образом, система имеет четыре решения. Найдем их:
$$x_1, x_2=\pm\sqrt{\frac{1+1^2}{2}}=\pm1;$$
$$x_3, x_4=\pm\sqrt{\frac{1+{(\frac{1}{3})}^2}{2}}=\pm\sqrt{\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}.$$
Полученные решения системы:
$$\left\{\begin{aligned}x_1&=1,\\y_1&=1;\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}x_2&=-1,\\y_2&=1;\end{aligned}\right.$$
$$\left\{\begin{aligned}x_3&=\frac{\sqrt{5}}{3},\\y_3&=\frac{1}{3};\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}x_4&=-\frac{\sqrt{5}}{3},\\y_4&=\frac{1}{3}.\end{aligned}\right.$$
Интересный факт
В XVII веке математики спорили, как лучше решать системы нелинейных уравнений: алгебраически или графически. До появления калькуляторов и компьютеров графический способ был главным инструментом для поиска решений.
А какой способ понравился вам больше?
Часто задаваемые вопросы
Графический способ помогает быстро оценить число решений, но дает только приближенные значения. Алгебраический способ применяют, когда нужно найти точные значения.
Если уравнения позволяют подобрать множители, чтобы при сложении сократить одну из переменных, используйте метод сложения.
Если переменную легко выразить из одного уравнения и подставить в другое, используйте метод подстановки.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти