Решение задач по теме «Уравнения с двумя переменными и их системы»

Обозначим числа — $x$ и $y$, где $x>y$.

Разность двух чисел равна $18$: $$x-y=18.$$

Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления, равна $34$: $$x+y+\frac{x}{y}=34.$$

Объединим полученные уравнения в систему: $$\left\{\begin{aligned}x-y&=18,\\x+y+\frac{x}{y}&=34.\end{aligned}\right.$$

Выразим $x$ из первого уравнения: $$x=y+18,$$ и подставим во второе: $$(y+18)+y+\frac{y+18}{y}=34.$$

Разложим дробь и упростим уравнение: $$y+18+y+\frac{y}{y}+\frac{18}{y}=34;$$ $$2y+19+\frac{18}{y}=34;$$ $$2y+\frac{18}{y}=15.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим каждое слагаемое на $y$: $$y\cdot(2y)+y\cdot(\frac{18}{y})=15y.$$ $$2y^2-15y+18=0.$$

Решим уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=15^2-4\cdot2\cdot18=225-144=81.$$

$D>0$, значит, уравнение имеет два решения.

Найдем корни уравнения: $$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{15+\sqrt{81}}{2\cdot2}=\frac{24}{4}=6;$$ $$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{15-\sqrt{81}}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=1,5.$$

Найдем $x$ для каждого значения $y$: $$x_1=y_1+18=6+18=24;$$ $$x_2=y_2+18=1,5+18=19,5.$$

Решениями задачи являются два набора чисел: $(6;\;24)$ и $(1,5;\;19,5)$.

Обозначим:

$x$ — количество билетов, купленных 8 «А»;

$y$ — цена одного билета для 8 «А».

Запишем первое уравнение системы: $$xy=4900.$$

8 «Б» купил на $15$ билетов меньше — $(x-15)$, и заплатил за каждый билет на $30$ руб. больше — $(y+30)$.

Запишем второе уравнение системы: $$(x-15)(y+30)=3400.$$

Составим систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned}xy&=4900,\\(x-15)(y+30)&=3400\end{aligned}\right.$$ и решим ее.

Раскроем скобки во втором уравнении: $$xy+30x-15y-450=3400;$$ $$xy+30x-15y=3850.$$

Подставим значение $xy=4900$ и выразим $y$: $$4900+30x-15y=3850;$$ $$30x-15y=1050;$$ $$2x-y=-70;$$ $$y=2x+70.$$

Запишем систему: $$\left\{\begin{aligned}xy&=4900,\\y&=2x+70.\end{aligned}\right.$$

Заменим $y$ в первом уравнении на $(2x+70)$: $$x(2x+70)=4900.$$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $$2x^2+70x=4900;$$ $$x^2+35x=2450;$$ $$x^2+35x-2450=0.$$

Решим уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=35^2-4\cdot1\cdot(-2450)=1225+9800=11025.$$

$D>0$, значит, уравнение имеет два решения.

Найдем корни уравнения: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-35+\sqrt{11025}}{2}=\frac{-35+105}{2}=35;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-35-\sqrt{11025}}{2}=\frac{-35-105}{2}=-70.$$

Корень $x_2<0$, а это значит, что он не подходит по условию задачи — количество билетов не может быть отрицательным.

Найдем $y$ для $x=35$: $$y=2x+70=2\cdot{35}+70=140.$$

8 «А» купил $35$ билетов по $140$ рублей.

8 «Б» купил на $15$ билетов меньше: $35-15=20$ билетов, и заплатил за каждый билет на $30$ руб. больше: $140+30=170$ рублей.

Обозначим стороны прямоугольника — $x$ и $y$.

По условию задачи: $$P=2(x+y)=14;$$ $$S=xy=12.$$

Составим систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned}2(x+y)&=14,\\xy&=12;\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}x+y&=7,\\xy&=12.\end{aligned}\right.$$

Выразим $y$ из первого уравнения: $$y=7-x,$$ и подставим во второе: $$x(7-x)=12;$$ $$7x-x^2=12;$$ $$x^2-7x+12=0.$$

Решим уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.

Вычислим корни уравнения: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+\sqrt{1}}{2}=4;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-\sqrt{1}}{2}=3.$$

Найдем $y$ для каждого значения $x$: $$y_1=7-x=7-4=3;$$ $$y_2=7-x=7-3=4.$$

Стороны прямоугольника: $3\;\text{см}$ и $4\;\text{см}$.

Обозначим:

$x$ — время, за которое первый специалист выполняет всю работу один;

$y$ — время, за которое второй специалист выполняет всю работу один.

Всю работу примем за единицу.

Тогда за один час первый специалист выполняет $\frac{1}{x}$, а второй — $\frac{1}{y}$ работы.

Всю работу вместе они выполняют за $12$ часов: $$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\cdot12=1.$$

По половине работы они выполняют за $25$ часов: $$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=25.$$

Запишем систему и упростим: $$\left\{\begin{aligned}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\cdot12&=1,\\\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y&=25;\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&=\frac{1}{12},\\x+y&=50.\end{aligned}\right.$$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y=50-x$, и подставим в первое уравнение: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{50-x}=\frac{1}{12}.$$

Найдем общий знаменатель: $$\frac{50-x+x}{x(50-x)}=\frac{1}{12};$$ $$\frac{50}{x(50-x)}=\frac{1}{12}.$$

Избавимся от знаменателей, умножив каждую часть уравнения на $12x(50-x)$: $$12x(50-x)\frac{50}{x(50-x)}=\frac{12x(50-x)}{12};$$ $$12\cdot50=x(50-x);$$ $$600=50x-x^2;$$ $$x^2-50x+600=0.$$

Решим уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=50^2-4\cdot1\cdot600=2500-2400=100.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.

Вычислим корни уравнения: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{50+\sqrt{100}}{2}=30;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{50-\sqrt{100}}{2}=20.$$

Найдем $y$ для каждого $x$: $$y_1=50-x=50-30=20;$$ $$y_2=50-x=50-20=30.$$

Один специалист выполняет работу за $20$ часов, а другой — за $30$.