Уравнения с двумя переменными и их системы

Пройдите тест, чтобы проверить, насколько хорошо вы освоили тему «Уравнения с двумя переменными и их системы». Вы потренируетесь определять степень уравнений, находить число решений без вычисления корней, решать системы графическим и алгебраическим способами, а также использовать системы уравнений для решения текстовых задач.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какие методы относятся к алгебраическому способу решения систем уравнений?[[choice-1]][[image-28]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Подстановки","Сложения","Графический","Умножения"],"answer":[0,1]},"image-28":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/chto-to-rasskazyvaet-s-gory-01.svg","width":"350"}},"id":"1"},{"content":"Какой должна быть система уравнений, чтобы можно было применить метод сложения?[[choice-2212]][[image-765]]","widgets":{"choice-2212":{"type":"choice","options":["Коэффициенты при одной переменной должны быть одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.","Система должна содержать одно уравнение с одной переменной.","Коэффициенты при всех переменных должны быть равны."],"answer":[0]},"image-765":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/ponyatie_telefon-01-1.svg","width":"350"}},"id":"1"},{"content":"Определите степень уравнения $$12xy-x=9.$$[[choice-8]][[image-56]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Первая","Вторая","Третья","Нулевая"],"answer":[1]},"image-56":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/edet-na-loshadi2-01-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Преобразуем уравнение так, чтобы в одной части от знака равенства находился многочлен стандартного вида, а в другой — $0$: $$12xy-x-9=0.$$","Определим степени одночленов, входящих в многочлен:<br />$12xy$ — одночлен второй степени;<br />$-x$ — одночлен первой степени;<br />$-9$ — одночлен нулевой степени.","Наибольшая степень — вторая. Значит, уравнение второй степени."],"id":"2"},{"content":"Определите степень уравнения $$(x^2+y)^2-x^4=0.$$[[choice-2386]][[image-2022]]","widgets":{"choice-2386":{"type":"choice","options":["Первая","Вторая","Третья","Четвертая"],"answer":[2]},"image-2022":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/hokkey_1-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки: $$\\cancel{x^4}+2x^2y+y^2\\cancel{-x^4}=0;$$ $$y^2+2x^2y=0.$$","Определим степени одночленов, входящих в многочлен:<br />$y^2$ — одночлен второй степени;<br />$2x^2y$ — одночлен третьей степени.","Наибольшая степень — третья. Значит, уравнение третьей степени."],"id":"2"},{"content":"Имеет ли решения система уравнений, если да, то сколько? $$\\left\\{\\begin{aligned}3-3y&=4x,\\\\-8x&=6y-6.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-93]][[image-1453]]","widgets":{"choice-93":{"type":"choice","options":["Нет решений","Одно решение","Бесконечное число решений","Два решения"],"answer":[2]},"image-1453":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/06/7-1-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Преобразуем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}-3y&=4x-3,\\\\-6y&=8x-6;\\end{aligned}\\right.$$ $$\\left\\{\\begin{aligned}y&=1-\\frac{4}{3}x,\\\\y&=1-\\frac{4}{3}x.\\end{aligned}\\right.$$","Уравнения равны, значит, прямые совпадают. Следовательно, система имеет бесконечное число решений."],"id":"3"},{"content":"Имеет ли решения система уравнений, если да, то сколько? $$\\left\\{\\begin{aligned}x+4y&=5,\\\\x-y+3&=0.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-508]][[image-1901]]","widgets":{"choice-508":{"type":"choice","options":["Нет решений","Одно решение","Бесконечное число решений","Два решения"],"answer":[1]},"image-1901":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/futbol_ok-tsveta-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}4y&=-x+5,\\\\-y&=-x-3;\\end{aligned}\\right.$$ $$\\left\\{\\begin{aligned}y&=-\\frac{1}{4}x+\\frac{5}{4},\\\\y&=x+3.\\end{aligned}\\right.$$","$k_1=-\\frac{1}{4},\\;k_2=1$: $k_1\\neq k_2$, значит, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение."],"id":"3"},{"content":"Какой способ решения систем уравнений дает приближенные значения?[[image-155]][[choice-186]][[image-3092]]","widgets":{"image-155":{"type":"image","url":""},"choice-186":{"type":"choice","options":["Алгебраический","Графический","Подстановки","Перебора"],"answer":[1]},"image-3092":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/01/kostyum-01.svg","width":"300"}},"id":"4"},{"content":"Если графики уравнений системы совпадают, то сколько решений имеет система?[[choice-835]][[image-999]]","widgets":{"choice-835":{"type":"choice","options":["Одно решение","Два решения","Бесконечное число решений","Нет решений"],"answer":[2]},"image-999":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/prelomlenie17_1.svg","width":"350"}},"id":"4"},{"content":"Найдите графически число решений системы уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}y&=x^2+5,\\\\y&=1.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-245]][[image-1510]]","widgets":{"choice-245":{"type":"choice","options":["Одно решение","Два решения","Бесконечное число решений","Нет решений"],"answer":[3]},"image-1510":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/sportivnyi-tvorcheskii-01-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Первое уравнение системы задает параболу, а второе — прямую, параллельную оси $x$ и проходящую через точку $y=1$.","В уравнении $y=x^2+5$ коэффициент при $x^2$ положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.","Найдем вершину параболы: $$x_0=\\frac{-b}{2a}=\\frac{0}{2}=0,\\;y_0=0^2+5=5.$$ Вершина параболы находится в точке $(0;5)$.","Следовательно, парабола расположена выше прямой $y=1$, и графики уравнений не имеют общих точек. Система не имеет решений."],"id":"5"},{"content":"Найдите графически число решений системы уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}y&=\\frac{1}{x},\\\\y&=-x.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-1250]][[image-1454]]","widgets":{"choice-1250":{"type":"choice","options":["Одно решение","Два решения","Бесконечное число решений","Нет решений"],"answer":[3]},"image-1454":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/amerikanskie_gorki-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Первое уравнение системы задает гиперболу, а второе — прямую.","В уравнении $y=\\frac{1}{x}$ коэффициент при $x$ положительный, значит, гипербола расположена в $I$ и $III$ четвертях.","В уравнении $y=-x$ коэффициент при $x$ отрицательный, значит, график убывает. Прямая проходит через начало координат и расположена во $II$ и $IV$ четвертях.","Следовательно, графики уравнений не имеют общих точек. Система не имеет решений."],"id":"5"},{"content":"Если из одного уравнения системы выразить переменную и подставить ее в другое уравнение, то каким будет уравнение?[[choice-409]][[image-1571]]","widgets":{"choice-409":{"type":"choice","options":["Уравнением с одной переменной","Уравнением с двумя переменными","Тождеством","Равносильным уравнением"],"answer":[0]},"image-1571":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/rybalka-01.svg","width":"350"}},"id":"6"},{"content":"Что нужно сделать при решении системы уравнений методом подстановки?[[choice-1590]][[image-1784]]","widgets":{"choice-1590":{"type":"choice","options":["Выразить одну переменную через другую.","Подставить выражение в другое уравнение.","Решить каждое уравнение отдельно.","Построить графики и найти точку пересечения."],"answer":[0]},"image-1784":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii-05.svg","width":"350"}},"id":"6"},{"content":"Решите систему уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}x^2-y^2&=21,\\\\x^2+y^2&=29.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-506]][[image-1636]]","widgets":{"choice-506":{"type":"choice","options":["$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=5,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=5,\\\\y_2&=-2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_3&=-5,\\\\y_3&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_4&=-5,\\\\y_4&=-2\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=5,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=5,\\\\y_2&=-2;\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=-5,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=5,\\\\y_2&=-2;\\end{aligned}\\right.$$"],"answer":[0]},"image-1636":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_istina_kriterii-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Сложим левые и правые части уравнений системы: $$x^2+x^2-y^2+y^2=21+29;$$ $$2x^2=50;$$ $$x^2=25;$$ $$x=\\pm5.$$","Найдем $y$ для $x=5$: $$x^2+y^2=29;$$ $$25+y^2=29;$$ $$y^2=4;$$ $$y=\\pm2.$$","Найдем $y$ для $x=-5$: $$x^2+y^2=29;$$ $$25+y^2=29;$$ $$y^2=4;$$ $$y=\\pm2.$$","Решения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=5,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=5,\\\\y_2&=-2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_3&=-5,\\\\y_3&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_4&=-5,\\\\y_4&=-2\\end{aligned}\\right.$$"],"id":"7"},{"content":"Решите систему уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}(x-1)(y-1)&=2,\\\\x+y&=5.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-2370]][[image-2887]]","widgets":{"choice-2370":{"type":"choice","options":["$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=3,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=2,\\\\y_2&=3\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=4,\\\\y_1&=1;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=1,\\\\y_2&=4\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=4,\\\\y_1&=1\\end{aligned}\\right.$$"],"answer":[0]},"image-2887":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/lug-pchela-pei-hazh-3.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки в первом уравнении системы: $$xy-x-y+1=2;$$ $$-xy+x+y-1=-2;$$ $$-xy+x+y=-1.$$","Подставим $x+y=5$: $$-xy+5=-1;$$ $$xy=6.$$","Запишем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}xy&=6,\\\\x+y&=5.\\end{aligned}\\right.$$","Выразим $y$ из второго уравнения системы и подставим в первое: $$y=5-x;$$ $$x(5-x)=6;$$ $$-x^2+5x-6=0;$$ $$x^2-5x+6=0.$$","Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=25-4\\cdot6=25-24=1.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.","Найдем корни уравнения: $$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-(-5)+\\sqrt{1}}{2}=\\frac{5+1}{2}=3;$$ $$x_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{5-1}{2}=2.$$","Найдем $y$ для каждого значения $x$: $$y_1=5-x_1=5-3=2;$$ $$y_2=5-x_2=5-2=3.$$","Решения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=3,\\\\y_1&=2;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=2,\\\\y_2&=3.\\end{aligned}\\right.$$"],"id":"7"},{"content":"Решите систему уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2&=25,\\\\xy&=12.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-708]][[image-1705]]","widgets":{"choice-708":{"type":"choice","options":["$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=3,\\\\y_1&=4;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=4,\\\\y_2&=3\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=2,\\\\y_1&=9;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=-2,\\\\y_2&=-9\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x&=3,\\\\y&=4\\end{aligned}\\right.$$"],"answer":[0]},"image-1705":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/5-2-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Заметим, что $x^2+y^2$ — часть формулы квадрата суммы: $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$$","Преобразуем первое уравнение: $$x^2+y^2+2xy-2xy=25;$$ $$(x+y)^2-2xy=25.$$","Подставим значение $xy=12$: $$(x+y)^2-2\\cdot12=25;$$ $$(x+y)^2=49;$$ $$x+y=7.$$","Объединим полученные уравнения в систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=7,\\\\xy&=12.\\end{aligned}\\right.$$","Выразим $x$ из первого уравнения и подставим во второе: $$x=7-y;$$ $$(7-y)y=12;$$ $$7y-y^2-12=0;$$ $$y^2-7y+12=0.$$","Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=49-4\\cdot12=49-48=1.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.","Найдем корни уравнения: $$y_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-(-7)+\\sqrt{1}}{2}=\\frac{7+1}{2}=4;$$ $$y_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-(-7)-\\sqrt{1}}{2}=\\frac{7-1}{2}=3.$$","Найдем $x$ для каждого значения $y$: $$x_1=7-y_1=7-4=3;$$ $$x_2=7-y_2=7-3=4.$$","Решения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=3,\\\\y_1&=4;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=4,\\\\y_2&=3.\\end{aligned}\\right.$$"],"id":"8"},{"content":"Решите систему уравнений $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=9,\\\\\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}&=0,5.\\end{aligned}\\right.$$[[choice-3268]][[image-3833]]","widgets":{"choice-3268":{"type":"choice","options":["$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=6,\\\\y_1&=3;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=3,\\\\y_2&=6\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=9,\\\\y_1&=3;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=9,\\\\y_2&=3\\end{aligned}\\right.$$","$$\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=9,\\\\y_2&=3\\end{aligned}\\right.$$"],"answer":[0]},"image-3833":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/sport-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $$\\frac{x+y}{xy}=0,5.$$","Подставим значение $x+y=9$: $$\\frac{9}{xy}=0,5;$$ $$xy=\\frac{9}{0,5};$$ $$xy=18.$$","Объединим полученные уравнения в систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=9,\\\\xy&=18.\\end{aligned}\\right.$$","Выразим $y$ из первого уравнения и подставим во второе: $$y=9-x;$$ $$x(9-x)=18;$$ $$-x^2+9x-18=0;$$ $$x^2-9x+18=0.$$","Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=81-4\\cdot18=81-72=9.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.","Найдем корни уравнения: $$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-(-9)+\\sqrt{9}}{2}=\\frac{9+3}{2}=6;$$ $$x_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{-(-9)-\\sqrt{9}}{2}=\\frac{9-3}{2}=3.$$","Найдем $y$ для каждого значения $x$: $$y_1=9-x_1=9-6=3;$$ $$y_2=9-x_2=9-3=6.$$","Решения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}x_1&=6,\\\\y_1&=3;\\end{aligned}\\right.\\quad\\left\\{\\begin{aligned}x_2&=3,\\\\y_2&=6.\\end{aligned}\\right.$$"],"id":"8"},{"content":"Произведение двух чисел равно $135,$ а их разность равна $6$. Найдите эти числа.[[choice-937]][[image-1778]]","widgets":{"choice-937":{"type":"choice","options":["$(15;9)$ и $(-9;-15)$","$15;9$","$-9;-15$"],"answer":[0]},"image-1778":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/6-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Обозначим числа — $x$ и $y$, где $x>y$.","Составим первое уравнение системы: $xy=135$.","Составим второе уравнение системы: $x-y=6$.","Объединим полученные уравнения в систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}xy&=135,\\\\x-y&=6.\\end{aligned}\\right.$$","Выразим $y$ из второго уравнения: $y=x-6$, и подставим в первое: $$x(x-6)=135.$$ Раскроем скобки: $$x^2-6x-135=0.$$","Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=6^2-4\\cdot(-135)=36+540=576.$$ $D>0$, значит, уравнение имеет два решения.","Найдем корни уравнения: $$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{6+\\sqrt{576}}{2}=\\frac{6+24}{2}=15;$$ $$x_2=\\frac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\frac{6-\\sqrt{576}}{2}=\\frac{6-24}{2}=-9.$$","Найдем $y$ для каждого $x$: $$y_1=x-6=15-6=9;$$ $$y_2=x-6=-9-6=-15.$$","Решениями задачи являются два набора чисел: $(15;9)$ и $(-9;-15)$."],"id":"0"},{"content":"В мастерской сшили $65$ курток и спортивных костюмов. Сколько сшили курток и сколько спортивных костюмов, если курток сшили в $1,6$ раз больше, чем спортивных костюмов?[[choice-321]][[image-2209]]","widgets":{"choice-321":{"type":"choice","options":["$40$ и $25$","$42$ и $23$","$38$ и $27$"],"answer":[0]},"image-2209":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/galereya-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Обозначим: $x$ — количество курток, $y$ — количество спортивных костюмов.","Всего сшили $65$ изделий: $x+y=65$.","Курток сшили в $1,6$ раз больше, чем спортивных костюмов: $x=1,6y$.","Запишем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=65,\\\\x&=1,6y.\\end{aligned}\\right.$$","Подставим значение $x=1,6y$ в первое уравнение: $$1,6y+y=65;$$ $$2,6y=65;$$ $$y=25.$$","Найдем $x$: $$x=1,6y=1,6\\cdot25=40.$$","Курток сшили $40$, спортивных костюмов — $25$."],"id":"0"}],"mix":1}</textarea></pre></div>