Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

В этом уроке научимся определять число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными по взаимному расположению прямых. В прошлом уроке мы разобрали понятия решения и графика уравнения с двумя переменными.

Эти знания пригодятся в следующих уроках при изучении систем нелинейных уравнений.

Повторение теории

Будем рассматривать системы, в каждом уравнении которых можно выразить $y$ через $x$. Для этого коэффициент при $y$ должен быть отличен от нуля. Такие системы записывают в виде:

$$\left\{\begin{aligned}y&=\textcolor{blue}{k}_1x+\textcolor{green}{b}_1,\\y&=\textcolor{blue}{k}_2x+\textcolor{green}{b}_2,\end{aligned}\right.$$

где $k_1$, $k_2$, $b_1$ и $b_2$ — числовые коэффициенты.

Коэффициенты уравнения определяют расположение графика на координатной плоскости.

Коэффициент при $x$ определяет направление наклона прямой:

• $\textcolor{blue}{k}>0$ — прямая поднимается при движении слева направо;
• $\textcolor{blue}{k}<0$ — прямая опускается при движении слева направо. Если $k=0$, прямая горизонтальна.

Свободный член $\textcolor{green}{b}$ равен ординате точки пересечения прямой с осью $Oy$: эта точка имеет координаты $(0;b)$.

Решение системы — пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям. Поэтому каждому решению соответствует общая точка двух прямых. Сравнивая коэффициенты уравнений вида $y=kx+b$, можно определить, как расположены прямые и сколько решений имеет система:

{"questions":[{"content":"Чему равно число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Числу общих точек графиков уравнений","Числу коэффициентов в уравнениях","Числу свободных членов","Количеству переменных"],"answer":[0]}}}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Имеет ли решения система уравнений, если да, то сколько? $$\\left\\{\\begin{aligned}6y-4x&=7,\\\\8x-12y&=-14\\end{aligned}\\right.$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Одно решение","Нет решений","Бесконечное число решений"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения системы: $$\\left\\{\\begin{aligned}6y&=4x+7,\\\\-12y&=-14-8x;\\end{aligned}\\right.$$ $$\\left\\{\\begin{aligned}y&=\\frac{2}{3}x+\\frac{7}{6},\\\\y&=\\frac{2}{3}x+\\frac{7}{6}.\\end{aligned}\\right.$$","Коэффициенты при $x$: $$k_1=\\frac{2}{3},\\;k_2=\\frac{2}{3}.$$<br />Свободные члены: $$b_1=\\frac{7}{6},\\;b_2=\\frac{7}{6}.$$<br />$k_1=k_2$ и $b_1=b_2$, значит, прямые совпадают. Система имеет бесконечное число решений."]}]}

Часто задаваемые вопросы