ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Графический способ решения систем уравнений
Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными
В прошлом уроке мы повторили тему уравнений с двумя переменными. Вспомнили, как находить степень многочлена и научились определять степень уравнения. В этом уроке нас ждет исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
Эти знания пригодятся в следующих уроках при изучении систем нелинейных уравнений.
Повторение теории
Система двух линейных уравнений с двумя переменными может быть представлена в виде:
$$\left\{\begin{aligned}y&=\textcolor{blue}{k}_1x+\textcolor{green}{b}_1,\\y&=\textcolor{blue}{k}_2x+\textcolor{green}{b}_2,\end{aligned}\right.$$
где $k_1$, $k_2$, $b_1$ и $b_2$ — числовые коэффициенты.
Коэффициенты уравнения определяют расположение графика на координатной плоскости.
Коэффициент при $x$ определяет направление наклона прямой:
- $\textcolor{blue}{k}>0$ — график смотрит вверх;
- $\textcolor{blue}{k}<0$ — график смотрит вниз.
Свободный коэффициент $\textcolor{green}{b}$ показывает, в какой точке прямая пересекает ось $y$.
Сравнивая коэффициенты уравнений, можно определить, как расположены прямые относительно друг друга и сколько решений имеет система:
| $\textcolor{blue}{k}_1\neq \textcolor{blue}{k}_2$ | $\textcolor{blue}{k}_1=\textcolor{blue}{k}_2$, $\textcolor{green}{b}_1\neq \textcolor{green}{b}_2$ | $\textcolor{blue}{k}_1=\textcolor{blue}{k}_2$, $\textcolor{green}{b}_1=\textcolor{green}{b}_2$ |
|---|---|---|
| Прямые пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение | Прямые параллельны. Система не имеет решений | Прямые совпадают. Система имеет бесконечное число решений |
Практика
Задача
Имеет ли решения система уравнений, если да, то сколько?
$$\left\{\begin{aligned}x+y&=5,\\3x-2y&=8\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения системы: $$\left\{\begin{aligned}y&=5-x,\\y&=\frac{3}{2}x-4.\end{aligned}\right.$$
Коэффициенты при $x$:
$$k_1=-1,\;k_2=\frac{3}{2}.$$
$k_1\neq k_2$, значит, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
Задача
Какое из следующих уравнений нужно подставить во второе уравнение системы, чтобы она имела единственное решение?
$$\left\{\begin{aligned}x+2y&=5,\\?\end{aligned}\right.$$
Уравнения:
- $2x+4y=9$.
- $2x+4y=10$.
- $\frac{1}{4}y-4x=0$.
Показать решение
Скрыть
Выразим $y$ через $x$ для первого уравнения системы: $$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.$$
Коэффициенты уравнения: $$k_1=-\frac{1}{2},\;b_1=\frac{5}{2}.$$
Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при $x$ должны быть не равны: $$k_1\neq k_2.$$
Проверим уравнение $2x+4y=9$.
Выразим $y$ через $x$: $$4y=-2x+9;$$ $$y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{4}.$$
Коэффициенты уравнений системы: $$k_1=-\frac{1}{2},\;k_2=-\frac{1}{2};$$ $$b_1=\frac{5}{2},\;b_2=\frac{9}{4}.$$
$k_1=k_2$ и $b_1\neq b_2$, значит, прямые параллельны. Система не имеет решений.
Проверим уравнение $2x+4y=10$.
Выразим $y$ через $x$: $$4y=-2x+10;$$ $$y=-\frac{2}{4}x+\frac{10}{4};$$ $$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.$$
Коэффициенты уравнений системы: $$k_1=-\frac{1}{2},\;k_2=-\frac{1}{2};$$ $$b_1=\frac{5}{2},\;b_2=\frac{5}{2}.$$
$k_1=k_2$ и $b_1=b_2$, значит, прямые совпадают. Система имеет бесконечное число решений.
Проверим уравнение $\frac{1}{4}y-4x=0$.
Выразим $y$ через $x$: $$\frac{1}{4}y=4x;$$ $$y=16x.$$
Коэффициенты уравнений системы: $$k_1=-\frac{1}{2},\;k_2=16;$$ $$b_1=\frac{5}{2},\;b_2=0.$$
$k_1\neq k_2$, значит, прямые пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение.
Часто задаваемые вопросы
Потому что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Все точки этой прямой удовлетворяют системе, значит, система имеет бесконечное число решений.
Нужно сравнить коэффициенты при $x$ и свободные члены уравнений: $k_1\neq k_2$ — система имеет одно решение, $k_1=k_2$ и $b_1\neq b_2$ — решений нет, $k_1=k_2$ и $b_1=b_2$ — бесконечное число решений.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти