Графический способ решения систем уравнений
Мы узнали, что уравнения с двумя переменными бывают не только линейными. В этом уроке мы с помощью графического способа научимся решать системы, в которых одно или оба уравнения — нелинейные. Графический способ решения систем уравнений применяют, когда точные значения корней найти трудно или невозможно, а для решения задачи достаточно приближенных значений.
Повторение теории
В 7 классе вы изучили графики линейных уравнений и научились решать системы линейных уравнений с двумя переменными.
Вспомним, что решением системы двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ называется пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям.
Чтобы решать графическим способом системы уравнений, нужно уметь определять вид графиков, которые они задают, и их расположение на координатной плоскости.
График функции
Мы будем рассматривать уравнения с двумя переменными, но при построении графиков удобно представлять их как функции — когда $y$ выражен через $x$.
Вы уже знакомы с несколькими видами функций и их графиками:
| Функция | Вид графика |
|---|---|
| Линейная $\textcolor{green}{y}=k\textcolor{blue}{x}+b$ | Прямая |
| Обратная пропорциональность $\textcolor{green}{y}=\frac{k}{\textcolor{blue}{x}}$ | Гипербола |
| Квадратичная $\textcolor{green}{y}=a\textcolor{blue}{x^2}+b\textcolor{blue}{x}+c$ | Парабола |
Расположение графика на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов:
| Функция | Значения коэффициентов |
|---|---|
| $\textcolor{green}{y}=k\textcolor{blue}{x}+b$ | $k >0$ — график возрастает, $k < 0$ — график убывает; $b$ — пересечение с осью $y$ |
| $\textcolor{green}{y}=\frac{k}{\textcolor{blue}{x}}$ | $k>0$ график лежит в $I$ и $III$ четвертях, $k<0$ — во $II$ и $IV$ четвертях |
| $\textcolor{green}{y}=a\textcolor{blue}{x^2}+b\textcolor{blue}{x}+c$ | $a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — ветви вниз; $c$ — пересечение с осью $y$; $x_0=\frac{-b}{2a}$ — вершина параболы |
Алгоритм решения систем уравнений графическим способом
- Выразите $y$ через $x$.
Перепишите каждое уравнение так, чтобы $y$ находился с одной стороны от знака равенства, а все остальное — с другой.
- Определите, какие графики задают уравнения системы.
Посмотрите, что это за функции и какой график соответствует каждой из них.
- Определите положение графиков на координатной плоскости.
Посмотрите на коэффициенты уравнения — они покажут, возрастает или убывает линейный график, куда направлены ветви параболы и в каких четвертях расположен график обратной пропорциональности. Определите, где график пересекает ось $y$. Найдите вершину для параболы.
- Определите точки пересечения.
Постройте графики и посмотрите, есть ли у них точки пересечения.
- Проверьте решения.
Подставьте найденные значения в уравнения и убедитесь, что равенства выполняются.
Практика
Пример 1
Решите графически систему уравнений
$$\left\{\begin{aligned}y-x^2&=0,\\2x-y+3&=0.\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
Выразим $y$ через $x$ для каждого уравнения системы: $$\left\{\begin{aligned}y&=x^2,\\y&=2x+3.\end{aligned}\right.$$
Рассмотрим первое уравнение $y=x^2$. Эта функция задает параболу. Коэффициент перед $x^2$ положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. В уравнении отсутствуют слагаемые $bx$ и $c$, следовательно, $b=0$ и $c=0$. Из этого делаем вывод, что вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, и график проходит через начало координат.
Составим таблицу значений для первого уравнения:
| $\textcolor{blue}{x}$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $\textcolor{green}{y}$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ |
Рассмотрим второе уравнение $y=2x+3$. Эта функция задает прямую. Коэффициент перед $x$ положительный, значит, график возрастает. Свободный член $c=3$, следовательно, график пересекает ось $y$ в точке $(0; 3)$.
Составим таблицу значений для второго уравнения:
| $\textcolor{blue}{x}$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $\textcolor{green}{y}$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
Построим графики по таблицам значений:
Из рисунка видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках: $A(-1; 1)$ и $B(3; 9)$. Следовательно, решениями системы являются следующие пары чисел:
$$\left\{\begin{aligned}x_1&=-1,\\y_1&=1;\end{aligned}\right.\quad\left\{\begin{aligned}x_2&=3,\\y_2&=9.\end{aligned}\right.$$
Пример 2
Найдите графически число решений системы уравнений
$$\left\{\begin{aligned}y&=x^2+1,\\xy&=3.\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
Во втором уравнении выразим $y$ через $x$ и запишем получившуюся систему: $$\left\{\begin{aligned}y&=x^2+1,\\y&=\frac{3}{x}.\end{aligned}\right.$$
Первое уравнение системы задает параболу, а второе — гиперболу.
Рассмотрим положение параболы на координатной плоскости. Коэффициент перед $x^2$ положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. В уравнении отсутствует слагаемое $bx$, следовательно, $b=0$. Свободный член $c=1$. Из этого делаем вывод, что вершина параболы находится в точке $(0; 1)$.
Теперь проанализируем положение гиперболы на координатной плоскости. В уравнении гиперболы числитель положительный, поэтому график расположен в $I$ и $III$ четвертях. Но так как парабола расположена выше оси $x$, пересечение возможно только с ветвью, находящейся в $I$ четверти. Значит, если графики пересекаются, то только в одной точке.
Построим схематично графики уравнений и проверим нашу догадку:
Из рисунка видно, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке. Система уравнений имеет одно решение.
Интересный факт
Крушение «Титаника» произошло в ночь на 15 апреля 1912 года. Он столкнулся с айсбергом в ледяных водах Северной Атлантики. На протяжении 73 лет никто не знал, где лежит «Титаник».
В 1985 году океанолог Роберт Баллард организовал поиски затонувшего лайнера. Он изучил последние сигналы от судна, показания очевидцев, направления течений и дрейф обломков. Все эти данные он выразил через уравнения, построил их графики — и нашел область пересечения. Именно в этом районе начались поиски.
В ночь на 1 сентября 1985 года глубоководный аппарат «Арго» обнаружил первые обломки, а спустя 10 часов — носовую часть «Титаника».
Так графический способ помог раскрыть тайну, спрятанную на дне океана.
Часто задаваемые вопросы
Графический способ решения систем уравнений — это способ, при котором для решения системы строят графики уравнений и находят точки их пересечения.
Графический способ применяют, когда найти точные значения корней трудно или невозможно.
Число решений равно количеству точек пересечения графиков. Точек пересечения может не быть, а может быть одна или несколько.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти