ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Числовые неравенства
Уравнения с параметром
В этом разделе мы научились решать системы уравнений с двумя переменными графическим и алгебраическим способами. Освоили решение текстовых задач с помощью систем уравнений. В заключительном уроке мы научимся решать уравнения с параметром.
Понятие уравнения с параметром
Могут встречаться такие уравнения, которые не имеют ни одного корня, и такие, у которых корнем может быть любое число. Если окажется, что корнем уравнения может быть любое число, то это уравнение является тождеством.
Пример
Решите уравнение
$$3(x+2)+5(x+5)=x+7(x+6).$$
Показать решение
Скрыть
Преобразуем уравнение: $$3x+6+5x+25=x+7x+42;$$ $$8x+31=8x+42;$$ $$31=42.$$
Получилось невозможное равенство. Следовательно, уравнение не имеет корней. Другими словами, нет ни одного значения $x$, при котором равенство выполняется.
Пример
Решите уравнение
$$3(x+2)+5(x+5)=x+7(x+4\frac{3}{7}).$$
Показать решение
Скрыть
Преобразуем уравнение: $$3x+6+5x+25=x+7x+31;$$ $$8x+31=8x+31;$$ $$0=0.$$
Уравнение верно при любом значении $x$.
Решение уравнений с параметром
Параметр — это буквенный коэффициент в уравнении, который может принимать числовые значения. Например, линейное уравнение с одной переменной: $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, или параметры.
Решить уравнение с параметром — значит определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения, а при каких — решений нет.
Таким образом, решая уравнение с параметром, мы изучаем, как меняется решение в зависимости от значения параметра.
Пример
Решите уравнение с параметром $p$:
$$px-p-1=0.$$
Показать решение
Скрыть
Перенесем $-p-1$ в левую часть: $$px=p+1.$$
Если $p\neq0$, то уравнение имеет единственное решение: $$x=\frac{p+1}{p}.$$
Если $p=0$, то уравнение принимает вид: $$0x=0+1;$$ $$0=1.$$
Значит, при $p=0$ уравнение не имеет корней.
Пример
Решите уравнение с параметром $p$:
$$3x^2-10px+3a^2=0.$$
Показать решение
Скрыть
Это квадратное уравнение относительно $x$ с параметром $p$.
Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-10p)^2-4\cdot3\cdot3p^2=100p^2-36p^2=64p^2.$$
Если $p\neq0$, то $D>0$. Значит, уравнение имеет два корня: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{10p+\sqrt{64p^2}}{2\cdot3}=\frac{10p+8p}{6}=3p;$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{10p-\sqrt{64p^2}}{2\cdot3}=\frac{10p-8p}{6}=\frac{1}{3}p.$$
Если $p=0$, то уравнение принимает вид: $$3x^2-10x\cdot0+3\cdot0^2=0;$$ $$3x^2=0;$$ $$x=0.$$
Значит, при $p=0$ уравнение имеет один корень.
Пример
При каких значениях $p$ сумма корней квадратного уравнения
$$y^2-(2p-1)y+p^2-p-2=0$$
равна 7?
Показать решение
Скрыть
Это квадратное уравнение относительно $y$ с параметром $p$.
Сумма корней квадратного уравнения находится по теореме Виета: $$y_1+y_2=-b;$$ $$y_1+y_2=-(-(2p-1));$$ $$y_1+y_2=2p-1.$$
По условию задачи: $$y_1+y_2=7.$$
Значит, $$2p-1=7;$$ $$2p=8;$$ $$p=4.$$
Часто задаваемые вопросы
Уравнение с параметром — это уравнение, в котором кроме неизвестной переменной (например, $x$) присутствует параметр (обозначается, например, $a$, $k$, $\lambda$ и т. п.). Значение параметра влияет на вид и количество решений уравнения.
Параметр — это переменная $a$, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти